1.4.3 正切函数的性质与图象
使用时间：
学情分析：学生对三角函数已有一定的认识，在学习函数的基础上学习三角
函数的图像与性质
教学目标：1．知识与技能：
会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握 正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
2.过程与方法
在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比
的方法, 学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.
3．情感、态度、价值观:
通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激 发学生热爱科学、努力学好数学的信心.
教学重点：正切函数的性质与图象的简单应用. 教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用.
教学任务：任务一、正切函数的图象的作法及五点法作图
任务二、正切函数的性质
检测工具：目标检测 教学过程：
一．激情导课
(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课. 二．民主导学
任务一、 正切函数的图象的作法
①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学
习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？
第1页（共3页）
②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？ ③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？
④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？
你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？ 任务二、正切函数的性质
教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式
tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠2+kπ,k∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π. (2)奇偶性 由诱导公式
tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠2+kπ,k∈Z
可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函
k数也是中心对称函数,它的对称中心是(2,0)k∈Z.
(3)单调性
通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2,2)
内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2+kπ,2+k
π),k∈Z内都是增函数. (4)定义域
y 根据正切函数的定义tanα=x,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点
第2页（共3页）
时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可
表示为kπ+2,k∈Z,所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+2,k∈Z},而不是{α≠2+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质. (5)值域
由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于2且无限
接近2时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于且无限接近时,正切
22线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因此,tanx在(,)内可以取任意实数,但没有最大
22值、最小值.
因此,正切函数的值域是实数集R.
例题讲解
例1：求函数y=tan(2x+3)的定义域、周期和单调区间. 三．检测导结：
1、本节我们是如何研究正切函数的性质和图像的？ 2、我们是从哪几个方面探究正切函数性质的？ 作业：1.4A组6、7、8
板书设计：
教学反思：
第3页（共3页）
