一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）A．1+i
=（
）B．1﹣i
C．﹣1+i
（新课标Ⅰ）
D．﹣1﹣i
2．（5分）已知集合A={x|x﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（A．[1，2）
B．[﹣1，1]
C．[﹣1，2）
D．[﹣2，﹣1]
2
）
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（A．f（x）?g（x）是偶函数C．f（x）?|g（x）|是奇函数
2
）
B．|f（x）|?g（x）是奇函数D．|f（x）?g（x）|是奇函数
2
﹣my4．（5分）已知F为双曲线C：x=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的
一条渐近线的距离为（A．
B．3
）
C．
m
D．3m
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（A．
B．
C．
）
D．
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（
）
第1页（共28页）
A．B．
C．
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的M=（
）
D．
a，b，k分别为1，2，3，则输出的
A．B．
），β∈（0，
C．
），且tanα＝C．2α﹣β＝
D．，则（D．2α+β＝
）
8．（5分）设α∈（0，A．3α﹣β＝9．（5分）不等式组
B．3α+β＝
的解集记为D，有下列四个命题：
p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（A．p2，p3
）
B．p1，p4
C．p1，p2
第2页（共28页）
D．p1，p3
10．（5分）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若A．
B．3
=4
，则|QF|=（
C．
）
D．2
2
3211．（5分）已知函数f（x）=ax﹣3x+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，
则实数a的取值范围是（A．（1，+∞）
）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）
1，粗实线画出的是某多面体的三
）
B．（2，+∞）
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为
视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（
A．6B．6C．4D．4
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（x﹣y）（x+y）的展开式中xy的系数为14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过甲说：我去过的城市比乙多，但没去过乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为
．
=（
+
），则
与
的夹
B城市；
8
27
．（用数字填写答案）
A，B，C三个城市时，
15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若角为
．
16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为
．
第3页（共28页）
三、解答题
17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λＳn﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量
指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值其中μ近似为样本平均数
2
和样本方差s2（同一组中数据
Z服从正态分布N（μ，σ），
2
2
，σ近似为样本方差s．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了
100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指
标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：
≈12.2．
2
若Z～N（μ，σ）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．
第4页（共28页）
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；
（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为（Ⅰ）求E的方程；
+=1（a＞b＞0）的离心率为，
，O为坐标原点．
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
21．（12分）设函数f（x）=aelnx+切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
x
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得
第5页（共28页）
选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：
+
=1，直线l：
（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且
3
3
+=．
（Ⅰ）求a+b的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
第6页（共28页）
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）A．1+i
=（
）B．1﹣i
C．﹣1+i
D．﹣1﹣i
【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位算求得结果．【解答】解：故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位属于基础题．
i的幂运算性质，
=
=﹣（1+i）=﹣1﹣i，
i的幂运算性质，计
2．（5分）已知集合A={x|x﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（A．[1，2）
B．[﹣1，1]
C．[﹣1，2）
D．[﹣2，﹣1]
2
）
【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出
A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），
第7页（共28页）
∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（A．f（x）?g（x）是偶函数C．f（x）?|g（x）|是奇函数
）
B．|f（x）|?g（x）是奇函数D．|f（x）?g（x）|是奇函数
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x）?g（﹣x）=﹣f（x）?g（x），故函数是奇函数，故
A错误，
|f（﹣x）|?g（﹣x）=|f（x）|?g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）?|g（﹣x）|=﹣f（x）?|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）?g（﹣x）|=|f（x）?g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
4．（5分）已知F为双曲线C：x﹣my=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（A．
B．3
）
C．
m
D．3m
22
【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到
第8页（共28页）
直线的距离公式，可得结论．
【解答】解：双曲线C：x﹣my=3m（m＞0）可化为∴一个焦点为（
，0），一条渐近线方程为
=
．
=0，
2
2
，
∴点F到C的一条渐近线的距离为故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（A．
B．
C．
）
D．
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有2=16种情况，
周六、周日都有同学参加公益活动，共有∴所求概率为故选：D．
【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件个数和试验中基本事件的总数．
解题时先
=．
2﹣2=16﹣2=14种情况，
4
4
A包含的基本事件的
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致
第9页（共28页）
为（）
A．B．
C．D．
【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到期和最值，结合图象正确选择．
【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|?|sinx|=|sin2x|，其周期为T=故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，关键，同时考查二倍角公式的运用．
正确表示函数的表达式是解题的
，最大值为
，最小值为0，
f（x）的表达式，然后化简，分析周
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的M=（
）
a，b，k分别为1，2，3，则输出的
第10页（共28页）
A．B．C．D．
【考点】EF：程序框图．【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出【解答】解：由程序框图知：第一次循环
M的值．
M=1+=，a=2，b=，n=2；
第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=
，a=，b=
，n=4．
．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=故选：D．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，解答此类问题的常用方法．
根据框图的流程模拟运行程序是
8．（5分）设α∈（0，A．3α﹣β＝
），β∈（0，），且tanα＝C．2α﹣β＝
，则（D．2α+β＝
）
B．3α+β＝
第11页（共28页）
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】化切为弦，整理后得到
sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系
可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα＝
，
即sinαcosβ=cosα+cossinβα，sin（α﹣β）=cosα=sin（∵α∈（0，∴当故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．
），β∈（0，
），），
）=cosα成立．
，得：
时，sin（α﹣β）=sin（
9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（A．p2，p3
）
B．p1，p4
C．p1，p2
D．p1，p3
【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】作出不等式组【解答】解：作出图形如下：
的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．
第12页（共28页）
由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，
p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，?（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2正确；
p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3错误；
p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．
D下方，故p4：?（x，y）
10．（5分）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若A．
B．3
=4
，则|QF|=（
C．
）
D．2
2
【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得直线PF的方程，与y=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，
第13页（共28页）
2
∵=4，
∴|PQ|=3d，
∴不妨设直线PF的斜率为﹣∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
（x﹣2），
=﹣2
，
11．（5分）已知函数f（x）=ax﹣3x+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（A．（1，+∞）
）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）
32
B．（2，+∞）
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意可得f′（x）=3ax﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax﹣3x+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax﹣3x+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f（x）=ax﹣3x+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=
﹣3?
+1＞0；
第14页（共28页）
3
2
3
2
3
2
2
2
故a＜﹣2；综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，零点的判定的应用，属于基础题．
同时考查了函数的
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三
）
视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（
A．6B．6C．4D．4
【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．
【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴
．AC=
=6，AD=4
，
显然AC最长．长为6．故选：B．
第15页（共28页）
【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（x﹣y）（x+y）的展开式中xy的系数为案）
8
27
﹣20 ．（用数字填写答
【考点】DA：二项式定理．
【专题】11：计算题；5P：二项式定理．
【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，
∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20
【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过甲说：我去过的城市比乙多，但没去过乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为
A ．
B城市；
A，B，C三个城市时，
【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】可先由乙推出，可能去过的一个，再由丙即可推出结论．
【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
第16页（共28页）
A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中
B城市，则乙只能是去过A，B中的任
则由此可判断乙去过的城市为故答案为：A．
A．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．
15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若角为
90°．
=（+），则与的夹
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若即2即
+=
+
，
=（
+
），
的和向量是过A，O的直径，
则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则即
⊥与
，
的夹角为90°，
故答案为：90°
【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，关键，比较基础．
利用圆直径的性质是解决本题的
16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为
．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化简已知可得
2a﹣b=c﹣bc，结合余弦定理可求
2
2
A的值，
由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．
第17页（共28页）
【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC?（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c?2a﹣2b+ab﹣b=c﹣bc，又因为：a=2，所以：△ABC面积而b2+c2﹣a2=bc?b+c﹣bc=a
2
+c﹣bc=4?b
22
2
2
2
2
，
，
?bc≤4所以：故答案为：
．
，即△ABC面积的最大值为
．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
三、解答题
17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λＳn﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）利用anan+1=λＳn﹣1，an+1an+2=λＳn+1﹣1，相减即可得出；
（Ⅱ）假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣（an+1﹣an）=2d，an+1）+
为等差数列的充要条件是
．得到λＳn=
，解得λ即可．
，根据{an}
第18页（共28页）
【解答】（Ⅰ）证明：∵anan+1=λＳn﹣1，an+1an+2=λＳn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）=λａn+1∵an+1≠0，∴an+2﹣an=λ．
（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴∴∴λＳn=1+
根据{an}为等差数列的充要条件是此时可得
，an=2n﹣1．
．
，
，=
，解得λ=4．
，d．
因此存在λ=4，使得{an}为等差数列．
【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，分类讨论的思想方法，属于难题．
n项和公式、等
考查了推理能力和计算能力、
18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量
指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数用该组区间的中点值作代表）；
第19页（共28页）
和样本方差s（同一组中数据
2
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值其中μ近似为样本平均数
2
Z服从正态分布N（μ，σ），
2
，σ近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了
100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指
标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：
≈12.2．
2
若Z～N（μ，σ）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；所表示的意义．
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
CP：正态分布曲线的特点及曲线
【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；
（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数
和样本方差s分别为：
2
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
2222
×0.02+（﹣20）×0.09+（﹣10）×0.22+0×0.33+10×0.24+20s=（﹣30）2
2
×0.08+30×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知
Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200
2
﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，率求解，考查运算能力．
以及正态分布的特点及概
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；
第20页（共28页）
（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．
【专题】5H：空间向量及应用．
【分析】（1）连结BC，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C1，交B1C于点O，连结AO⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，向为y轴的正方向，
的方向为x轴的正方向，|
|为单位长度，
的方
的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可
得两平面的法向量，可得所求余弦值．
【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，
∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO?平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，
（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，
的方向为x轴的正方向，|
|为单位长度，
的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，
∵∠CBB，，∴△CBB1=60°1为正三角形，又AB=BC
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∴A（0，0，∴
=（0，0），
），B（1，0，0，），B1（0，，
），
=
=（1，0，
，0），C（0，
），
=
，0）=（﹣1，
，
设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，
则，可取=（1，，），
同理可得平面A1B1C1的一个法向量∴cos＜，＞=
=，
=（1，﹣，），
∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为
【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．
20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为（Ⅰ）求E的方程；
+=1（a＞b＞0）的离心率为，
，O为坐标原点．
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入
，
利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
第22页（共28页）
【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知所以
，b2=a2﹣c2=1，故E的方程
，得．…．（5分）
又，
（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线y2）将y=kx﹣2代入
l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，
，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
时，
当△=16（4k2﹣3）＞0，即
从而
又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积
=
设
，则t＞0，
，
，
当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，
x﹣2或y=﹣
x﹣2．…（12分）
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，用，考查转化思想以及计算能力．
椭圆的求法，基本不等式的应
21．（12分）设函数f（x）=aelnx+切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
x
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；程．
6H：利用导数研究曲线上某点切线方
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【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣数h（x）=
﹣x
f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解
，设函数g（x）=xlnx，函
，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g
（x）min，h（x）max；
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=
+
，
由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=elnx+∵f（x）＞1，∴exlnx+
﹣x
x
，
﹣
，
＞1，∴lnx＞
∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣∴当x∈（0，
，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，
，+∞）时，g′（x）＞0．
）时，g′（x）＜0；当x∈（
故g（x）在（0，）上单调递减，在（+∞）上的最小值为g（）=﹣．
，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，
设函数h（x）=xe﹣，则h′（x）=e（1﹣x）．
∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．
【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．
﹣x﹣x
选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延
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长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．【专题】15：综合题；5M：推理和证明．
【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，
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由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．
【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：
+
=1，直线l：
（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取
x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数
方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到直线l的距离，除以
sin30进°一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：故曲线C的参数方程为对于直线l：
，
+
|PA|的最大值与最小值．
P到
=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
，（θ为参数）．
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由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为则
．
，其中α为锐角．
．．
训练了点到直线的距离公式，体
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，现了数学转化思想方法，是中档题．
选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且
3
3
+=．
（Ⅰ）求a+b的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
【考点】RI：平均值不等式．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得的最小值．
（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b=6．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且∴
=+≥2
，∴ab≥2，时取等号．≥2
．=2≥2
，当且仅当2a=3b时，取等号．=4
＞6，
=4
，当且仅当a=b=
时取等号，
+=
，
2a+3b＞8，从而可得不存在
a，b，使得
ab≥2，再利用基本不等式求得
a+b
3
3
当且仅当a=b=∵a+b≥2
3
33
3
∴a+b的最小值为4（Ⅱ）∵2a+3b≥2而由（1）可知，2
第27页（共28页）
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，否具备，属于基础题．
要注意检验等号成立条件是
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