２０１０年第４期 数学教育研究 ・ ５９ ・ 常见递推数列类型及其通项公式的求法 王云冰 （江苏省扬中市新坝中学２１２２１１） 我们在研究数列｛ａ ）时，如果任一项ａ 与它的前 （后）一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示， 则此公式就称为数列的递推公式．通过递推公式给出 的数列，称之为递推数列．数列的递推关系在研究数列 问题中起到非常重要的作用，也是高考命题重点和热 点．由于其形式多变，解法灵活，技巧性较强，导致这一 内容成为学生学习数列问题的难点． 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过 对递推公式的变形、类比构造出等差数列或等比数列 问题或特殊的数列．本文针对常见的递推数列类型，归 纳其求通项公式的方法． 类型一 形如ｎ ＋１一口 十．厂（ ）和“ ＋１一口 ｆ（，ｚ） １．若厂（＂）为常数时，ａ ＋１＝ａ ＋ｄ和ａ ｎ＋１一ｎ ￡ （ｆ≠Ｏ）分别为等差数列和等比数列． ２．若，（ ）不为常数时，ａ ＋ ～ｎ 一厂（”）和 一 “ ，（ ），类比等差（比）数列求通项的方法：累加法和累乘 法求解（其中厂（ ）可以求和或积）． 例１ 已知数列｛Ⅱ ）中，ａ１—２，ａ ｌ—ａ 十 ＋２（ ∈Ｎ ），求０ ． 解：由ｎ ｌ—ａ ＋ ＋２得当 ≥２时，ａ ～ａ—ｌ一 ＋１，．‘．。２一ａｌ一３，ａ ３一ａ ２—４，口４一ａ３—５，…，ａ 。＂ｌ —ｎ＋ｌ 把上面 一１个式子左右两边同时相加，得ａ 一。 一３＋４＋５＋…十 ＋１，．‘．ａ 一２十３十４＋５＋…十 十１ ２ ２ ，当 一１时，ｎ 一２也满足， ． ＋３ｎ ・・ａ 一—— 一 例２ 已知数列｛ａ ｝中各项为正数，ｎ 一１， （以＋１）＆：＋１一 ｎ ＋ａ 口 ＋ｌ一０（ ∈Ｎ ），求以 ． 解：由已知得［（ｎ＋１）ｄ ＋１一Ｆｌａ ］［ｄ ＋１＋ｎ ］一０，即 一— ａ ，ｚ＋１ 当 ≥２时， 二． ， 。 ｎ－－２，…，堕一 “ １ ，ｆ “ ２ ，￡ 』 “ｌ 把上面 一１个式子左右两边同时相乘，得： ・ “ １ ａ ２ｎ－－１ ｎ－－２１ …一一… 一 ． 即ｎ 一 ｕ ２ Ｈ１ Ｈ ，￡ｌ ｕ１ ｔｌ ｔ０ １ 当 一１时，口 一１也满足，．。．ｎ 一 类型二形如ａ ＋ 一ｐａ ＋＿厂（ｎ）（其中Ｐ为常数） １．若＿厂（ｎ）为常数时，ａ ＋ 一ｐａ ＋ｄ（ｐ、ｄ为常数）， 类比直线方程 —ｋｘ＋ｂ，可变形为点斜式 一ｃ— ｋ（ｚ—ｃ）的形式，即ａ ＋ｃ— （ｎ ＋ｃ），构造出新的等 比数列（ａ ＋ｃ） 例３ 已知数列｛ａ ｝满足ｎ１—１，ａ ＋ ＝２ａ ＋１ （ｎ∈Ｎ ），求ａ ． 解：设ａ ＋１十ｃ一２（ａ ＋ｃ）则ａ ＋ｌ一２ａ ＋ｃ又ａ ＋１ —２ａ ＋１即ｆ＝１，． ．ａ １＋１—２（“ 十１） 构造数列｛ａ ３－１）是以ａ ＋１—２为首项，２为公比 的等比数列 。．．口 ＋１—２・２一 一２ 即ｎ 一２ 一１ ２．若＿厂（ ）一ｑｎ＋￡，即ｎ ＋ｌ＝ｐａ ＋ｑ ＋ （Ｐ、ｑ、ｔ为 常数），类比构造以Ｐ为公比的等比数列｛ｎ ＋ｃｎ＋ ） 例４已知数列｛ａ ｝满足ａ 一１，ａ ＋ 一２ａ ＋３ｎ十 ２（”∈Ｎ ），求ａ ． 解：设ｎ ＋１＋ｃ（ｎ＋１）＋ｄ一２（ｎ ＋ｃｎ＋ ），则ｎ ＋１ —２ａ ＋ｃＨ—ｃ＋ｄ 又ａ ＋１—２ａ ＋３ｎ＋２ ． ．ｆ一３，ｄ一５ ‘．．ａ １＋３（ｎ＋１）４－５—２（ｎ ＋３ｎ＋５） 构造数列｛ａ ＋３ｎ＋５｝是以ａ ＋３＋５—９为首项，２ 为公比的等比数列 ‘．．ｎ ＋３ｎ＋５—９・２一 即ｎ 一９・２一 一３ 一５ ３．若＿厂（ ）一ｒｑ ，即＆ ＋ｌ—ｐａ ＋ｒｑ （Ｐ、ｇ、ｒ为常 数），类比构造以Ｐ为公比的等比数列｛。 十ｃｑ ），当Ｐ —ｑ时，则化为以古公差的等差数列｛ ａｎ｝ 例５已知数列｛ａ ）满足ａ 一２ａ ＋３・５”，ａ 一６ （，ｚ∈Ｎ ），求ａ ． 解：设ａ ＋１十ｃ・５ 一２（“ 十ｆ・５ ），则Ⅱ ＋１— ２ａ 一３ｃ・５ 又ａ ＋１—２ａ ＋３・５ ．。．ｆ一一１ ． ．ａ ＋１—５ 一２（ｎ 一５ ） 构造数列（ａ ５ ）是以ａ ～５－－－１为首项，２为公 比的等比数列， ． ．ａ 一５ 一１・２一 即＆ 一２一 十５ 例６ 已知数列｛ａ ｝满足ａ １＝２ａ ＋３・２ ，ａ１＝２ （ Ｃ－Ｎ ），求ａ ． 解：由＆ ＋ｌ＝２ａ ＋３・２ ，两边同除以２ “＿ｚＪ寸Ｎ ａ ｎ＋＋】ｌ一一 ａｎ３十 则 一 ａ．一 ３，， 构造数列｛ ａｎ｝是以鲁一１为首项，萼为公差的等 差数列， ・ａ￣．－＝１ｑ－（ 一１）・号，即 一（ ３”～丢）・２ ４．若＿厂（ ）一ｒｑ ＋ｓｎ＋ ，即ａ ＋ｌ—ｐａ ＋ｒｑ ＋ｓｎ＋ ｔ（ｐ、ｑ、ｓ、ｒ、￡为常数），类比构造以Ｐ为公比的等比数列 ｛ａ ＋ｃｑ ＋ｄｎ＋Ｐ｝ 例７已知数列｛ａ ）满足ａ ＋ 一２ａ ＋３ ＋２ｎ一１， ｎ１一ｌ（ ∈Ｎ ），求醯 ． 解：设ａ ＋１＋ｆ・３ ＋ｄ（ ＋１）＋ｅ一２（“ ＋ｃ・３ ＋ｄｎ＋Ｐ），则ｎ ＋１＝２ａ 一ｃ・３ ＋ｄｎ—ｄ＋Ｐ 又ｎ ＋１—２ａ ＋３ ＋２ｎ １ ．‘．ｃ一一１，ｄ一２，ｅ一１ ・ ６０・ 数学教育研究 ２０１０年第４期 ’・・口 ＋ｌ一３…十２（ 十１）十１—２【ａ 一３”十２ｎ十１） 构造数列（口 一３ ＋２ｎ＋１）是以ａ１—３＋２＋ｌ一１ 为首项，２为公比的等比数列 ‘．．类型四 形如ｎ ＋ 一ｐａ ＋ ＋ｇ４ （户、ｇ为不为。的 常数）可构造数列｛。 ＋ｍ ） 口 一３ ＋２ｎ．ｑ－１＝１・２一 即口 ＝２一 ＋３ 一２ｎ 例１１已知数列｛ｎ ｝满足口１＝１，口２—２，口科２一÷ 口 ＋ｌ＋÷ｎ （ ∈Ｎ ），求ｎ ． 一１ 类型三形如ａ 一ｆ（ａ ） １．若厂（ｎ ）一瓦Ｃａ鬲ｎ，即 常数），两边取倒数构造数列． 一 （户、ｑ、ｃ为 解：设ｎ ＋２＋ｘａ ＋１＝ｙ（ａ ＋ｌ＋ｘａＨ），贝ｑ口 ＋２；；（ — ｘ）ａ ＋１＋ｘｙａ 又ｎ ＋ｚ＝ ａ ＋１十÷口 例８已知数列｛ｎ ）满足ｎ 一２，ｎ ＋ 一 ≥ （ ∈Ｎ ），求ｎ ． 解：由ｎ ＋ 一 ．．． 一１ 口 。． —ｚ一号 ｆｌ 一一１ ． ｌｚ，两边取倒数得 ３ 一 ・．．・ 一： １ ÷ ｌ 一一了 ｎ ＋。一口 ＋ 一一了１（ｎ ＋ 一口 ） 口ｎ＋１ 构造数列｛ ）是以 一丢为首项，３为公差的等 差数列 ・．构造数列｛ｎ ～ｎ ）是以。。一ｎ 一１为首项，一÷ 为公比的等比数列 ・．．１ ． １＋（ １）．３卿ｎ ＝ ｎ 一ｎ 一（一÷）一 利用累加的方法求得 ７ ３， １、”一 ２．若，（ｎ 御 一 （ 。 — 一了， 为常数），类比构造数列｛而ａ．－４ｅ｝ 例９已知数列（口 ｝满足吼＝３，日 ＋ 一 ｛ （ ∈Ｎ ），求ａ ． 类型五 形如ｐａ ＋１ ｎ ＋ｑａ ＋ｌ＋ｍａ ＋ｔ一０（Ｐ、ｑ、 ｍ、￡为常数）可构造数列｛ １ ｊ 例１２已知数列｛ａ ｝满足ｍ＝一４，ｎ ＋ｌｎ ＋７ａ ＋１ 一ｎ ４－９—０（ｎ∈Ｎ ），求ａ ． 解：由。 ＋１如十７ ＋１一ｎ 十９—０得 ＋ｌ一 转化为类型三（例９） ， 解：设 】＋ｃ一 ＋ｃ一 ＝ ｃ 一觜 ｃ一一 或ｃ一一ｚ ， 设 ４－一．＋ｃ一 ＋ｃ一 ＋ ＋ 一２＝５ ａｎｍ２② 则口 ＋ 一１一。 ａｎ ｍ ｌ① ｎ ７ｃ．．．９．．．—— ， 一 ｎ ＋３一 ａ．４－３，由①②得 一号籍 构造数列｛Ｉ ａ口ｎｍ１—ｚ ｝Ｊ 是以 １Ⅱ一 一２为首项， ＿詈０＿ 为公 两边取倒数 １ 一÷ １ 一１ ａ．４－３—４ 籍一ｚ・（詈）一 即ｎ 一１ ＋２ 构造数列｛ ）是以 一一１为首项，÷为 公差的等比数列 一 ３．若ｆ（ａ ）一Ｐ（ｎ ） ，即日 ＋１：Ｐ（口 ） （ 、ｒ为常 数，且 ＞ｏ，ｎ ＞Ｏ），可采用两边取对数的方法转化构 造数列． 例１０已知数列｛ａ ）满足ｎ 一３，ｎ ＋ 一３口 ，ｎ ＞０ （ ∈Ｎ ），求口 ． 丢 一 解：。． 口 ＞０，．‘．在ｎ ＋１—３ａ：两边取对数， 得ｌｇａ ＋１一ｌｇ３ａ：一２１ｇａ ＋ｌｇ３，转化为类型二 设ｌｇａ ＋１＋ｃ：２（１ｇａ ＋ｃ） ｃ—ｌｇ３ ｌｇ０卅１＋ｃ一２（１ｇａ ＋ｃ） ｆ—ｌｇ３ ’．由以上分析可知，在处理数列的递推关系问题时， 如果我们能将复杂的递推关系转化为简单的递推关 系，尤其转化为等差等比数列的递推关系或是我们熟 悉的递推关系，问题就能迎刃而解．在教学中不能让学 生死记硬背类型方法，而要不断提出新的问题，让具有 类比性、挑战性的问题激发学生学习的主动性和创造 性，让学生在利用类比构造法解决问题的过程中理解 并熟练掌握各种方法，同时学生的创新意识和创新能 力得到加强和提高． ・ｌｇａ ＋１＋ｌｇ３—２（１ｇａ ＋ｌｇ３） 构造数列｛ｌｇａ ＋ｌｇ３）是以ｌｇａ１十ｌｇ３—２１ｇ３为首 项，２为公比的等比数列 ． ．［责任编校钱骁勇］ １ｇａ ＋ｌｇ３一（２１ｇ３）・２ ＿。，即ｎ 一３ 一
