2004年高考试题——数学(江西卷)(理)

2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（江苏卷）

第I卷（选择题共60分）

一、选择题(5分×12=60分)

1．设集合P={1，2，3，4}，Q={xx2,xR}，则P∩Q等于 A．{1，2} B． {3，4} C． {1} D． {-2，-1，0，1，2} 2．函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为

A．

π 2（ ）

（ ）

B．π C．2π D．4π

3．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，

则不同的选法共有 （ ） A．140种 B．120种 C．35种 D．34种

4．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 （ ）

A．

100πcm3 3500π3cm 3

B． D．

208π3cm 34163πcm3 3C．

x2y25．若双曲线21的一条准线与抛物线y28x的准线重合，则双曲线的离心率为

8b

A．2

D．42

（ ）

B．22 C． 4

6．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外

阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ） A．0.6小时 B．0.9小时 C．1.0小时 D．1.5小时

人数(人)

20

15

10

5 1 0 0.5 1.0 1.5 2.0 时间(小时)

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7．(2xx)4的展开式中x3的系数是

A．6 B．12 C．24

D．48

（ ） （ ）

8．若函数yloga(xb)(a0,a1)的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则

A．a=2,b=2

B．a=2 ,b=2

C．a=2,b=1

D．a=2 ,b=2

9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）

先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是

52531

A． B． C．

216216216

91

D．

216

（ ） （ ）

10．函数f(x)x33x1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是

A．1，-1 B．1，-17 C．3，-17

D．9，-19

11．设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A

点，它的反函数y=f 1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已

-

知四边形OAPB的面积是3，则k等于

34

A．3 B． C．

23

6

D．

5

（ ）

12．设函数f(x)x(xR)，区间M=[a，b](aM=N成立的实数对(a，b)有 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题(4分×4=16分)

13．二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6 则不等式ax2+bx+c>0的解集是_______________________.

2

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14．以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.

a1(3n1)15．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是

2_______________________.

16．平面向量a，b中，已知a=(4，-3)，b=1，且a·b=5，则向量b=__________. 三、解答题(12分×5+14分=74分) 17．已知0<α<

παα5π，tan+cot=，求sin(α)的值. 22223

18．在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1

上，且CC1=4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；

D1 (Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离. C1

O ·

A1 B1

· H

P

D C

A B

19．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.

某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

20．设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.

3

(Ⅰ)若首项a1 ，公差d1，求满足Sk2(Sk)2的正整数k；

2

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2(Sk)2成立.

1

21．已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).

2 (Ⅰ)求椭圆的方程；

3

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(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M. 若MQ2QF，求直线

l的斜率.

22．已知函数f(x)(xR)满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 λ(x1x2)2(x1x2)[f(x1)f(x2)]

和f(x1)f(x2)x1x2，其中λ是大于0的常数. 设实数a0，a，b满足 f(a0)0和baλf(a) (Ⅰ)证明λ1，并且不存在b0a0，使得f(b0)0； (Ⅱ)证明(ba0)2(1λ2)(aa0)2； (Ⅲ)证明[f(b)]2(1λ2)[f(a)]2.

参

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．(,2)(3,) 15．2

14．(x1)(y2)25 16．(,)

224535三、解答题

17．本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力

和运算能力.满分12分.

254,得sin.

22sin2532 0,cos1sin.

25

解：由已知tancot

从而 sin()sincoscossin

333 4

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41331(433). 52521018．本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

满分12分. 解法一：（I）连结BP.

∵AB⊥平面BCC1B1， ∴AP与平面BCC1B1所成的角就是∠APB, ∵CC1=4CP,CC1=4，∴CP=I.

在Rt△PBC中，∠PCB为直角，BC=4，CP=1，故BP=17.

在Rt△APB中，∠ABP为直角，tan∠APB=

AB417, BP17

∴∠APB=arctan417. 1719．本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分

12分.

解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.

xy10,0.3x0.1y1.8,由题意知

x0,y0.目标函数z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线l0:x0.5y0，并作平行于直线l0的一组直线x0.5yz,zR, 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且 与直线x0.5y0的距离最大，这里M点是直线xy10 和0.3x0.1y1.8的交点.

解方程组xy10, 得x=4，y=6

0.3x0.1y1.8,

此时z140.567（万元）.

70 当x=4，y=6时z取得最大值.

5

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答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.

20．本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分12分.

解：（I）当a13,d1时， 2n(n1)3n(n1)12 Snna1dnnn

2222141由Sk2(Sk)2,得kk2(k2k)2，

221即 k3(k1)0 又k0,所以k4.

4（II）设数列{an}的公差为d，则在Sn2(Sn)中分别取k=1,2,得

2

S1(S1),2S4(S2)2a1a12,（1） 即43212

d(2a1d)（2） 4a122

由（1）得 a10或a11. 当a10时,代入(2)得d0或d6,

2若a10,d0,则an0,Sn0,从而Sk(Sk)成立

若a10,d6,则an6(n1),由S318,(S3)324,Sn216知 s9(S3),故所得数列不符合题意. 当a11时,代入(2)得2246d(2d)2,解得d0或d2

2若a11,d0,则an1,Snn,从而Sk2(Sk)成立;

若a11,d2,则an2n1,Sn13(2n1)n,从而S(Sn)成立.

22 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

①{an} : an=0，即0，0，0，…； ②{an} : an=1，即1，1，1，…； ③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…，

21．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.

6

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x2y2解：（I）设所求椭圆方程是221(ab0).

ab由已知，得 cm,

c1, 所以a2m,b3m. a2

x2y2故所求的椭圆方程是1 224m3m（II）设Q（xQ,yQ），直线l:yk(xm),则点M(0,km) 当MQ2QF时,由于F(m,0),M(0,km),由定比分点坐标公式，得

02m2mkm01,yQkm.1231234m2k2m22mkm又点Q(,)在椭圆上,所以92921.

334m3m解得k26,xQ

当MQ2QF时,xQ0(2)(m)km2m,yQkm.

1212

4m2k2m21,解得k0. 故直线l的斜率是0，26. 于是

4m23m222．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分

14分.

证明：（I）任取x1,x2R,x1x2,则由 (x1x2)(x1x2)[f(x1)f(x2)] 和|f(x1)f(x2)||x1x2| ②

可知 (x1x2)2(x1x2)[f(x1)f(x2)]|x1x2||f(x1)f(x2)||x1x2|2， 从而

21. 假设有b0a0,使得f(b0)0,则由①式知

0(a0b0)2(a0b0)[f(a0)f(b0)]0矛盾.

∴不存在b0a0,使得f(b0)0.

7

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（II）由baf(a) ③

可知 (ba0)[aa0f(a)](aa0)2(aa0)f(a)[f(a)] ④ 由f(a0)0和①式，得(aa0)f(a)(aa0)[f(a)f(a0)](aa0) ⑤ 由f(a0)0和②式知，[f(a)][f(a)f(a0)](aa0) ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 (ba0)(aa0)2(aa0)(aa0) (1)(aa0)

2222222222222222222（III）由③式可知[f(b)][f(b)f(a)f(a)]

[f(b)f(a)]22f(a)[f(b)f(a)][f(a)]2

(ba)222[f(a)]22[f(a)2ba2[f(b)f(a)][f(a)]2 （用②式）

2(ba)[f(b)f(a)][f(a)]2

(ba)2[f(a)]2 （用①式）

2[f(a)]222[f(a)]2[f(a)]2(1)[f(a)]22 8