关于分组(堆)问题的七个模型及求法

关于分组（堆）问题的七个模型及求法

依兰高中 数学组 刘 岩

引例 将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？ ⑴分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； ⑵分给甲、乙、丙3人，每人2本；

⑶分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本； ⑷分成3堆，每堆2 本；

⑸分别分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本； ⑹分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本. ⑺分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；

分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的. ②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题.

解： ★

⑴【有序不等分】没有指定人应得数量的非均匀问题：①从6本中取3 本

23CC作为一堆有6种取法，②从余下的3本中取2本作为一堆有3种取法，1C③从余下的1本中取1本作为一堆有1种取法，④将三堆依次分给甲乙

丙三人有A33种分法. 所以方法数为：

3213C6C3C1A3＝360；

⑵【有序等分】相当于指定人应得数量的均匀问题：①学生甲从6本中

2C取2本有6种取法，②学生乙从余下的4本中取2本有C种取法，③学生丙从余

242C下的2本中取2本有2种取法.

222C所以方法数为：6C4C2＝90；

⑶【无序不等分】是分堆的非均匀问题：①从6本中取3 本作为一堆有C63种取法，②从余下的3本中取2本作为一堆有C32种取法，③从余下的1本中取1本作为一堆有C11种取法. 所以方法数为C6C3C1＝60；

★ ⑷ 【无序等分】是分堆的均匀问题：相当于①学生甲从6本中取2本有C62种取法，②学生乙从余下的4本中取2本有C42种取法，③学生丙从余下的2本

2222CC中取2本有2种取法.方法数为6C4C2＝90.然后再取消甲乙丙的分配

321顺序，

2223CCCA故方法数为 23＝15；

★★⑸【有序局部等分】是部分均匀地分给人的问题：

4113C6C2C1P3方法数为＝90； 2A2★★⑹【无序局部等分】是部分均匀地分堆的问题：

11CC2C12方法数为＝15. A2⑺ 【定序不等分】是指定人应得数量的非均匀分组：①学生甲从6本中

32C取3 本有6种取法，②学生乙从余下的3本中取2本有C3种取法，③学生丙从

余下的1本中取1本有C11种取法.

所以方法数为C6C3C1＝60；以上问题归纳为：

非等分 等分 有序（分给人） 无序（分成堆） 321CCCA222C6C4C2 36213133 321C6C3C1 2223C6C4C2A3

部分等分

411C6C2C1P33 2A211CC2C1 2A2例（2007宁夏理科第16题）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）

分析：5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，说明必有某一个工厂安排了两个班，其余的3个工厂各有一个班，由于到一个工厂的两个班的“地位”是等同的（无序），不能出现谁先进入谁后进入的局面，也就是说这两个班要同时进入（无序）到这个工厂才可以. 因此应该先分组后到班.

111C52C3C2C110种3解：由题意，先将5个班分为四组（2～1～1～1）有

A3分法；再将这四组依次分配到4个工厂有A4424种分配方法. 根据分步计数原理，共有10×24＝240种不同的进行社会实践分配方案. 故填240.

点评：本题极易出错的解法是：先给4个工厂各分1个班有A54120种分法，

1再将余下的一个班分配到4个工厂之一有A44种方法. 最后根据分步计数原

理，共有120×4＝480种不同的进行社会实践分配方案. 恰是正确答案240的2倍. 请读者说明出现这种情况的原因。