澧县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

一、选择题

1． 已知两点M（1，），N（﹣4，﹣），给出下列曲线方程： ①4x+2y﹣1=0；

22

②x+y=3；

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ ③④

+y2=1；

2

﹣y=1．

在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④

2． 已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． 设函数的集合

，平面上点的集合

，则在同一直角坐标系中，P中函数

的图象恰好经过Q中

两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10

4． 在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（ ）

A．13 B．26 C．52 D．56

5． 设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）

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A． B． C．

D．

6． 如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．

①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形 ②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥 ③存在点D，使CD与AB垂直并且相等

④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是（ ）

A．①② B．②③ C．③

D．③④

kx＋b

7． 函数f（x）＝，关于点（－1，2）对称，且f（－2）＝3，则b的值为（ ）

x＋1A．－1 C．2

8． 已知等差数列{an}满足2a3﹣aA．2

B．4

C．8

D．16

B．1 D．4

+2a13=0，且数列{bn} 是等比数列，若b8=a8，则b4b12=（ ）

29． 已知角的终边经过点(sin15,cos15)，则cos的值为（ ）

A．

13133 B． C. D．0 24244 C．

10．A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ） A．

B．

D．

11．已知三个数a1，a1，a5成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{an}的前三 项，则能使不等式a1a2an11a1a21成立的自然数的最大值为（ ） an第 2 页，共 17 页

A．9 B．8 C.7 D．5 12．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

二、填空题

13．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）． ①设A，B为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；

②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线

﹣

=1与椭圆

有相同的焦点．

14．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；

②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；

④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．

10，abba，则ab= ▲ ． 316．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数fxxlnxax有两个极值点，则实数a的

15．已知ab1，若logablogba取值范围是．

17．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：度．

：2，则这个二面角的平面角是

18．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．

三、解答题

19．已知f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行． （1）求函数的单调区间；

（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1﹣4c2恒成立，求实数c的取值范围．

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20．

设函数f(x)e，g(x)lnx．

x（Ⅰ）证明：g(x)2（Ⅱ）若对所有的x0，都有f(x)f(x)ax，求实数a的取值范围．

21．设0＜||≤2，函数f（x）=cos2x﹣||sinx﹣||的最大值为0，最小值为﹣4，且与的夹角为45°，求|+|．

22．已知函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b． （1）求证：a＞0时，的取值范围；

（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．

23．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元） （1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．

e； x第 4 页，共 17 页

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．

24． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF平面ABCD，EF//AB，

AD2,ABAF2EF1，点P在棱DF上.

（1）求证：ADBF；

（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （3）若FP1FD，求二面角DAPC的余弦值. 3

25．已知函数f（x）=

，求不等式f（x）＜4的解集．

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26．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若

，求

的值．

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澧县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】 D

【解析】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交． MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），

∵①4x+2y﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．

222

②x+y=3与y=﹣2（x+），联立，消去y得5x﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的

=

垂直平分线有交点，

③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得9x﹣24x﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线

2

有交点，

2

④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得7x﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有

交点， 故选D

2． 【答案】A

*

【解析】解：p：对于任意n∈N，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列， *

则￢p：∃n∈N，an+2﹣an+1≠d；￢q：数列 {an}不是公差为d的等差数列，

由￢p⇒￢q，即an+2﹣an+1不是常数，则数列 {an}就不是等差数列，

*

若数列 {an}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N，使得an+2﹣an+1≠d，

即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者， 故选：A．

【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．

3． 【答案】B

【解析】本题考查了对数的计算、列举思想

a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合； a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；

a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个 4． 【答案】B

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【解析】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10， 代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4， 故数列的前13项之和S13==故选B

=

=26

【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．

5． 【答案】D

【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减

结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C

当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B 故选D

【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题

6． 【答案】D

【解析】

【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．

【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3， ∴AC=BC=，AB=

当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2 此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确

使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；

取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确； 先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可 ∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确 故选D 7． 【答案】

【解析】解析：选B.设点P（m，n）是函数图象上任一点，P关于（－1，2）的对称点为Q（－2－m，4－n），

则，恒成立．

k（－2－m）＋b

4－n＝－1－m

由方程组得4m＋4＝2km＋2k恒成立， ∴4＝2k，即k＝2，

km＋bn＝

m＋1

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2x＋b－4＋b

∴f（x）＝，又f（－2）＝＝3，

x＋1－1∴b＝1，故选B. 8． 【答案】D

【解析】解：由等差数列的性质可得a3+a13=2a8，

2

即有a8=4a8，

解得a8=4（0舍去）， 即有b8=a8=4，

2

由等比数列的性质可得b4b12=b8=16．

故选：D．

9． 【答案】B 【解析】

考

点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义. 10．【答案】B

【解析】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R， 则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，

其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2πR， 则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P=故选B．

=．

【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．

11．【答案】C 【解析】

试题分析：因为三个数a1,a1,a5等比数列，所以a1a1a5,a3，倒数重新排列后恰

2

好为递增的等比数列{an}的前三项，为,,11111，公比为，数列是以为首项，为公比的等比数列，则

8422an第 9 页，共 17 页

不等式a1a2an11a1a211n811212n8等价为，整理，得1an12122n27,1n7,nN，故选C. 1

考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式. 12．【答案】D

【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；

C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线； 故选：D．

二、填空题

13．【答案】 ②③ ．

【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．

②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．

③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．

④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．

故正确的命题为②③． 故答案为：②③．

【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．

14．【答案】 ①③④

【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，

当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，

③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角 ∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=∵侧棱长为2，∴

在直角△POC中，tan∠PCO=

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∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，

④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径， 即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆， 故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确， 故答案为：①③④

15．【答案】43 【解析】

试题分析：因为ab1，所以logba1，又logablogba3101101logbalogba3或（舍），3logba33因此ab3，因为abba，所以b3bbb3bb3,b1b3,a33，ab43 考点：指对数式运算

16．【答案】.

【解析】由题意,y′=lnx+1−2mx

令f′（x）=lnx−2mx+1=0得lnx=2mx−1，

函数fxxlnxmx有两个极值点,等价于f′（x）=lnx−2mx+1有两个零点， 等价于函数y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点，

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，

1时，直线y=2mx−1与y=lnx的图象相切， 21由图可知,当021则实数m的取值范围是（0,），

21故答案为：（0,）.

2当m=

17．【答案】 75 度．

【解析】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部

时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，

由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：

故答案为：75． 键．

18．【答案】

．

：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．

【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关

3

【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有2=8种方案， 而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种， 所以甲胜出的概率为

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故答案为．

【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由题意：f′（x）=3x2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为﹣3； 由已知

所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

所以由f′（x）=3x2﹣6x＞0得心x＜0或x＞2； 所以当x∈（0，2）时，函数单调递减；

当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）由（1）知，函数在x∈（1，2）时单调递减，在x∈（2，3）时单调递增； 所以函数在区间[1，3]有最小值f（2）=c﹣4要使x∈[1，3]，f（x）＞1﹣4c2恒成立 只需1﹣4c2＜c﹣4恒成立，所以c＜故c的取值范围是{c|c

或c＞1．

或c＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．

20．【答案】

【解析】（Ⅰ）令ee，

1exe

F(x)g(x)2lnx2F(x)22xxxxx由F(x)0xe ∴F(x)在(0,e]递减，在[e,)递增，

ee∴ F(x)minF(e)lne20 ∴F(x)0 即g(x)2成立． …… 5分

exxx（Ⅱ） 记h(x)f(x)f(x)axeeax， ∴ h(x)0在[0,)恒成立，

xx h(x)eea， ∵ h(x)exex0x0，

∴ h(x)在[0,)递增， 又h(0)2a， …… 7分 ∴ ① 当 a2时，h(x)0成立， 即h(x)在[0,)递增， 则h(x)h(0)0，即 f(x)f(x)ax成立； …… 9分 ② 当a2时，∵h(x)在[0,)递增，且h(x)min2a0， ∴ 必存在t(0,)使得h(t)0．则x(0,t)时，h(t)0，

即 x(0,t)时，h(t)h(0)0与h(x)0在[0,)恒成立矛盾，故a2舍去．

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综上，实数a的取值范围是a2． …… 12分 21．【答案】

2

【解析】解：f（x）=cosx﹣||sinx﹣|| =﹣sin2x﹣||sinx+1﹣|| =﹣（sinx+

2）+

+1﹣||=0，

=

+1﹣||， ＜0，

∵0＜||≤2，∴﹣1≤﹣由二次函数可知当sinx=﹣

时，f（x）取最大值

当sinx=1时，f（x）取最小值﹣||﹣||=﹣4， 联立以上两式可得||=||=2， 又∵与的夹角为45°， ∴|+|=

=

【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及二次函数的最值和模长公式，属基础题．

22．【答案】

【解析】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣， ∴3a+2b+2c=0． 又3a＞2c＞2b， 故3a＞0，2b＜0， 从而a＞0，b＜0，

又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b ∵a＞0，∴3＞﹣3﹣即﹣3＜＜﹣．

（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c． 下面对c的正负情况进行讨论： ①当c＞0时，∵a＞0， ∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0

所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点； ②当c≤0时，∵a＞0，

∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0

所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点； 综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点

＞2，

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∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根． 故x1+x2=﹣，x1x2==从而|x1﹣x2|=∵﹣3＜＜﹣， ∴

|x1﹣x2|

．

=

=

=

．

【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元， 由题设f（x）=k1x，g（x）=k2由图知f（1）=，∴k1= 又g（4）=，∴k2= 从而f（x）=

，g（x）=

（x≥0）

，（k1，k2≠0；x≥0）

（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元 y=f（x）+g（10﹣x）=令

，∴

，（0≤x≤10），

（0≤t≤

）

当t=，ymax≈4，此时x=3.75

∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．

【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．

24．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.

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（3）因为AB平面ADF，所以平面ADF的一个法向量n1(1,0,0).由FP且此时P(0,1FD知P为FD的三等分点32222,).在平面APC中，AP(0,,)，AC(1,2,0).所以平面APC的一个法向量3333n2(2,1,1).……………………10分

|n1n2||n1||n2|6，又因为二面角DAPC的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为3所以|cosn1,n2|6.……………………………………………………………………12分 325．【答案】

【解析】解：函数f（x）=

当x≥﹣1时，2x+4＜4，解得﹣1≤x＜0； 当x＜﹣1时，﹣x+1＜4解得﹣3＜x＜﹣1． 综上x∈（﹣3，0）．

不等式的解集为：（﹣3，0）．

26．【答案】

，不等式f（x）＜4，

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【解析】（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ∴OD∥AE又AE⊥DE ∴DE⊥OD，又OD为半径 ∴DE是的⊙O切线

（II）解：过D作DH⊥AB于H， 则有∠DOH=∠CAB

设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x 由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x 又由△AEF∽△DOF可得

∴

【点评】本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题．

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