高考数学试卷

数学试卷

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).

如果事件A、B相互，那么P(A·B)=P(A)·P(B).

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(K)=kmPk(1-P)n-k

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只

有一项是符合题目要求的.

(1)已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于 (A)4 (B)5

(C)6

(D)7

(2)设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (3)曲线C:

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

xcos1.(为参数)的普通方程为

ysin1

(B) (x+1)2+(y+1)2=1

(A)(x-1)2+(y+1)2=1 (C) (x+1)2+(y-1)2=1

(D) (x-1)2+(y-1)2=1

1(4)若点P分有向线段AB所成的比为-，则点B分有向线段PA所成的比是

3311(A)- (B)- (C) (D)3

222(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是

(A)简单随机抽样法 (C)随机数表法 (6)函数y10x21

(B)抽签法

(D)分层抽样法

(0x1)的反函数是

(A)y1lgx(x＞(C) y1lgx(1) 10

(B)y1lgx(x＞

1) 1011＜x≤1 (D) y1lgx(＜x≤1 1010(7)函数f(x)=

x的最大值为 x11

(A)

2 5 (B)

1 2 (C)

2 2 (D)1

x216y221的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为 (8)若双曲线3p(A)2

(B)3

(C)4

(D)42

(9)从编号为1,2,„,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为

(A) (10)若(x+

1 84 (B)

1 21 (C)

2 5 (D)

3 51n

)的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为 2x(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

(11)如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为

(A)模块①，②，⑤ (C)模块②，④，⑤ （12）函数f(x)=

(B)模块①，③，⑤ (D)模块③，④，⑤

sinx(0≤x≤2)的值域是

54cosx

11,] 4411(C)[-,]

22(A)[-11] 3322(D)[-,]

33(B)[-,二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡相应位置上.

2

5，则A（CUB）＝ （13）已知集合＝1，2，3，4，5，A=2，3，4，B=4， . （14）若x0,则（2x+3）(2x-3)-4x(xx)＝ .

（15）已知圆C： xy2xay30（a为实数）上任意一点关于直线l：x-y+2=0 的对称点都在圆C上，则a= . （16）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点

A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 种（用数字作答）.

2214321412-1212

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知bca3bc，求： （Ⅰ）A的大小;

（Ⅱ）2sinBcosCsin(BC)的值.

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分.）

在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：

（Ⅰ）恰有两道题答对的概率; （Ⅱ）至少答对一道题的概率. （19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.） 设函数f(x)xax9x1(a0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求： （Ⅰ）a的值;

（Ⅱ）函数f(x)的单调区间. （20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）

如图（20）图， 和为平面，l,A,B,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角l的大小为 （Ⅰ）点B到平面的距离;

（Ⅱ）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）.

322222，求： 33

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足： PMPN2.

（Ⅰ）求点P的轨迹方程;

PM12PM2PN（Ⅱ）设d为点P到直线l： x的距离，若,求的值.

d2（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ）小问6分） 设各项均为正数的数列{an}满足a12,ana （Ⅰ）若a232n1n2a(nN*).

1,求a3,a4,并猜想a2008的值（不需证明）; 4an4对n≥2恒成立，求a2的值. （Ⅱ）若22a1a2

4

参

一、选择题：每小题5分，满分60分.

(1)C (2)A (3)C (4)A (5)D (6)D (7)B (8)C (9)B (10)B (11)A (12)C 二、填空题：每小题4分，满分16分.

(13) |2 , 3| (14) -23 (15) -2 (16) 12 三、解答题：满分74分.

(17)（本小题13分）

解：(Ⅰ)由余弦定理，abc2bccosA,

222b2c2a23bc3故cosA,2bc2bc2

所以A6. (Ⅱ) 2sinBcosCsin(BC)

2sinBcosC(sinBcosCcosBsinC)sinBcosCcosBsinC sin(BC)

sin(A)1sinA.2(18)（本小题13分）

解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次重复试验，且每次试验中

“选择正确”这一事件发生的概率为

1. 4 由重复试验的概率计算公式得： (Ⅰ)恰有两道题答对的概率为 P4(2)C2()() 414234227. 1280 (Ⅱ)解法一：至少有一道题答对的概率为

34481175 1.

256256 1P4(0)1C4()()

014 解法二：至少有一道题答对的概率为

C4()()C4()()C4()()C4()()

113442214234231433441443405

10854121256256256256

175.256(19)(本小题12分)

解：(Ⅰ)因f(x)xax9x1 所以f(x)3x2ax9

222a2a2. 3(x)933aa2. 即当x时，f(x)取得最小值933 因斜率最小的切线与12xy6平行，即该切线的斜率为-12，

a212,即a29. 所以93 解得a3,由题设a0,所以a3. (Ⅱ)由(Ⅰ)知a3,因此f(x)x3x9x1,

32f(x)3x26x93(x3(x1)令f(x)0,解得：x11,x23.当x(,1)时，f(x)0,故f(x)在(，1）上为增函数； 当x(1,3)时，f(x)0,故f(x)在（1， 3）上为减函数；当x(3,+)时，f(x)0,故f(x)在（3，）上为增函数.由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(,1）和（3，）；单调递减区间为（1，3）.

（20）（本小题12分）

解：（1）如答（20）图，过点B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D.

由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.

因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB′C=

2.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=,BD=BB′·sinBB′D 336

=3. （Ⅱ）连接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A,AA′⊥l,知A′ACB′为矩形，故AC∥l.所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角. 在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=

222，则由余弦定理， 3BC=B'BB'CB'CcosBB'C19. 因BD平面

，且DCCA，由三策划线定理知ACBC.

BC19，sinBAC=. AB52故在△ABC中，∠BCA=

因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin

（21）（本小题12分） 解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线. 因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=3,

y2所以双曲线的方程为x=1.

32-

(II)解法一：

由（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线. 因此半焦距e=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=3.

y2R所以双曲线的方程为x-=1. 32

(II)解法一：

由（I）及答（21）图，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|2, ① 知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. ② 将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=117117,舍去,所以 44|PN|=117. 4因为双曲线的离心率e=所以d=

c1|PN|=2,直线l:x=是双曲线的右准线，故=e=2, a2d1|PN|,因此 2|PM|2|PM|4|PN|24|PN|117 d|PN||PN|解法：

7

设P（x,y），因|PN|1知 |PM|=2|PN|22|PN|>|PN|,

故P在双曲线右支上，所以x1. 由双曲线方程有y2=3x2-3. 因此

|PN|(x2)2y2(x2)23x234x24x1.

从而由|PM|=2|PN|2得

2x+1=2(4x2-4x+1)，即8x2-10x+1=0. 所以x=

5175178(舍去x=8). 有|PM|=2x+1=

9174 d=x-

12=1178.

故

|PM|d91748117117. （22）（本12分） 解：（I）因a1=2,a2=2-2,故

由此有a1=2(-2)0, a2=2(-2)4, a3=2(-2)2, a4=2(-2)3, 从而猜想an的通项为

a)n1n2(2(nN*),

所以a2xn=2(2)2xn.

(Ⅱ)令xn=log2an.则a2=2x2,故只需求x2的值。

设Sn表示x2的前n项和，则a1a2„an=2sn,由22≤a1a2„an＜4得

23≤Sn＝x1+x2+„+xn＜2(n≥2). 因上式对n=2成立，可得23≤xa11+x2，又由1=2,得x1＝1,故x2≥2.

2由于a1=2，anan31an2(n∈N*),得x3n2xn1xn2(n∈N*),即 x3n22xn1(xn22x11n1)2xn12(xn12xn)， 因此数列｛x1n+1+2xn｝是首项为x2+2,公比为2的等比数列，故

8

xn+1+2xn=(x2+2)

12n1 (n∈N*).

将上式对n求和得 Sn+1－x1+2Sn=(x2+2)(1+

111+„+n1)=(x2+2)(2－n1)（n≥2）. 222)＜5（n≥2）.

因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1,故

(x2+2)(2－

12n1因此2x2－1＜下证x2≤2n1＜

－

x22（n≥2）. n1211，若淆，假设x2＞，则由上式知，不等式 22x22

2x21对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x2≤又x2≥

1. 211z，故z2=，所以a2=22=2. 229