福州市中考数学试卷及答案

数 学 试 卷

（全卷共4页，三大题，共22小题；满分150分；考试时间120分钟）

友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡上，答在本试卷上无效.

毕业学校 姓名 考生号

一、选择题(共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）

1．2009的相反数是( )

A．－2009 B．2009 C．11 D． 200920092．用科学记数法表示660 000的结果是( )

4566

A．66×10 B．6.6×10 C．0.66×10 D．6.6×10 3．已知∠1=30°，则∠1的余角度数是( )

A．160° B．150° C．70° D．60° 4．二元一次方程组xy2,的解是( )

xy0A．x0,x2,x1,x1, B． C． D． y2.y0.y1.y1.5. 图1所示的几何体的主视图是( )

6．下列运算中，正确的是( ) 336824 A.x+x=2x B. 2x－x=1 C.(x)=x D. x÷x=x图1 A． B． C． D．

27．若分式有意义，则x的取值范围是( )

HMGCNFDBAx1A．x≠1 B．x>1 C． x=1 D．x<1 图2

E8．如图2，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是( )

A．2DE=3MN， B．3DE=2MN， C． 3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F

9．将1、2、3三个数字随机生成的点的坐标，列成下表。如果每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，则这个点在函数y=x图象上的概率是( )

PD（1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3） 12A．0．3 B．0．5 C． D．

33AB图3

C10．如图3， 是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周， P为 上任意一点，若AC=5，

则四边形ACBP周长的最大值是( )

A． 15 B． 20 C．15+52 D．15+55

二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分.请将答案填入答题卡的相应位置）

11．分解因式：x2x= 12．请写出一个比5小的整数 13. 已知x2，则x3的值是

14. 如图4，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上 ，OD∥AC，若BD=1，则BC的长为

15．已知, A、B、C、D、E是反比例函数y22216（x>0）图象上五个整x数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示）

三、解答题(满分90分．请将答案填入答题卡的相应位置）

16．(每小题7分，共14分） （1）计算：2-5×

2

图5

1+2（2）化简：（x－y）（x+y）+（x－y）+（x+y）

517．(每小题8分，共16分）

(1)解不等式：3xx2，并在数轴上表示解集.

(2)整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作。假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？ 18．（满分10分）

如图6，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD 19．（满分12分）以下统计图描述了九年级（1）班学生在为期一个月的读书月活动中，三个阶段（上旬、中旬、下旬）日人均阅读时间的情况：

图6

（1）从以上统计图可知,九年级(1)班共有学生 人; （2）图7-1中a的值是 ;

（3）从图7-1、7-2中判断,在这次读书月活动中,该班学生每日阅读时间 （填“普遍增加了”或“普遍减少了”）; （4）通过这次读书月活动，如果该班学生初步形成了良好的每日阅读习惯，参照以上统计图的变化趋势，至读书月活动结束时，该班学生日人均阅读时间在0.5~1小时的人数比活动开展初期增加了 人。 20.（满分12分）

如图8，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，

请按要求完成下列各题： （1） 用签字笔画AD∥BC（D为格点），连接CD； ．．．

（2） 线段CD的长为 ；

（3） 请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数．．值是 。

（4） 若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 21．（满分12分）

如图9，等边ABC边长为4，E是边BC上动点，EHAC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PEEB。设ECx(0x2)。 (1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）； (2)Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时,求 示）；

(3)当（2）中 的EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围。 22．（满分14分）

已知直线l：y=－x+m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180°，得到△FEM，则点E在y轴上, 点F在直线l上;取线段EO中点N,将ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点.记：过点F的双曲线为C1，过点M且以B为顶点的抛物线为C2，过点P且以M为顶点的抛物线为C3.

(1) 如图10，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，

②求C1、C2的函数解析式；

（2）当m发生变化时， ①在C1的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由。

图10

②若C2、C3中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。

图8 x的代数式表EFPQ的面积（用含

中考数学二模试卷

参与试题解析

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2014•拱墅区二模）的值等于（ ）

±2 A． 4 B． ﹣4 C．

考点： 算术平方根．

分析： 根据算术平方根的意义，可得答案． 解答： 解：=4，

故选：A．

D． 2

点评： 本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个．

2．（3分）（2014•拱墅区二模）如果ax2+2x+=（2x+）2+m，则a，m的值分别是（ ） A． 2，0

考点： 难度星级： 专题： 分析： 解答：

B． 4，0

C．

2，

D．

4，

完全平方公式． 五星

计算题．

运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可． 解：∵ax2+2x+=4x2+2x++m，

∴，

解得．

点评： 3．（3分）（2013•临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）

故选D．

本题考查了完全平方公式，利用公式展开，根据对应项系数相等列式是求解的关键．

△BEC≌△DEC A． AB=AD B． AC平分∠BCD C． AB=BD D．

考点： 线段垂直平分线的性质． 难度星五星 级：

分析： 根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三

角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC．

解答： 解：∵AC垂直平分BD，

∴AB=AD，BC=CD，

∴AC平分∠BCD，EB=DE， ∴∠BCE=∠DCE，

在Rt△BCE和Rt△DCE中，

，

∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）， 故选：C．

点评： 此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任

意一点，到线段两端点的距离相等．

4．（3分）（2014•拱墅区二模）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）

A． 3米 B． 4米 C． 4.5米 D． 6米

考点： 相似三角形的应用．

分析： 标注字母，判断出△ACD和△ABE相似，再利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 解答： 解：如图，由题意得，△ACD∽△ABE，

∴即

==， ，

解得BE=6，

即树的高度为6米． 故选D．

点评： 本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质． 5．（3分）（2011•嘉兴）多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（ ）

A． 极 差是47 B． 众数是42 C． 中位数是58 D． 每月阅读数量超过40的有4个月

考点： 极差；折线统计图；中位数；众数． 难度星五星 级：

专题： 计算题．

分析： 根据统计图可得出最大值和最小值，即可求得极差；出现次数最多的数据是众数；将这8个数按大

小顺序排列，中间两个数的平均数为中位数；每月阅读数量超过40的有2、3、4、5、7、8，共六个月．

解答： 解：A、极差为：83﹣28=55，故本选项错误；

B、∵58出现的次数最多，是2次， ∴众数为：58，故本选项错误； C、中位数为：（58+58）÷2=58，故本选项正确；

D、每月阅读数量超过40本的有2月、3月、4月、5月、7月、8月，共六个月，故本选项错误； 故选C．

点评： 本题是统计题，考查极差、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重

新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

6．（3分）（2014•拱墅区二模）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）

A． r B． C． 2r r

考点： 圆锥的计算． 难度星二星 级：

分析： 首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可． 解答： 解：∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr．

设圆锥的母线长为R，则

=2πr，

D． 3r

解得：R=3r．

根据勾股定理得圆锥的高为2r， 故选B．

点评： 本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键．

7．（3分）（2012•柳州）小兰画了一个函数y=（ ）

的图象如图，那么关于x的分式方程

=2的解是

A． x=1 B． x=2 C． x=3 D． x=4

考点： 反比例函数的图象． 难度星五星 级：

专题： 压轴题． 分析：

关于x的分式方程=2的解就是函数y=中，纵坐标y=2时的横坐标x的值，据此即可

求解．

解答：

解：关于x的分式方程

=2的解就是函数y=

中，纵坐标y=2时的横坐标x的值．根据

图象可以得到：当y=2时，x=1． 故选A．

点评：

本题考查了函数的图象，正确理解：关于x的分式方程坐标y=2时的横坐标x的值是关键．

8．（3分）（2011•黔南州）在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为p，OP与x轴正方向的夹角为a，则用[p，α]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P的坐标为（1，1），则其极坐标为[，45°]．若点Q的极坐标为[4，60°]，则点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． （2，2） （2，2） （2，﹣2） （2，2）

考点： 解直角三角形；点的坐标． 难度星五星 级：

专题： 新定义．

分析： 根据特殊角的三角函数值求出Q点的坐标．

解答： 解：作QA⊥x轴于点A，则OQ=4，∠QOA=60°，

故OA=OQ×cos60°=2，AQ=OQ×sin60°=2， ∴点Q的坐标为（2，2）． 故选A．

=2的解，就是函数y=

中，纵

点评： 解决本题的关键是理解极坐标和点坐标之间的联系，运用特殊角的三角函数值即可求解． 9．（3分）（2012•淄博）如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则

的值为（ ）

A．

B．

C．

D．

考点： 旋转的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形． 难度星四星 级：

分析： 根据旋转得出∠NCE=75°，求出∠NCO，设OC=a，则CN=2a，根据△CMN也是等腰直角三角形

设CM=MN=x，由勾股定理得出x2+x2=（2a）2，求出x=a，得出CD=a，代入求出即可．

解答： 解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，

∴∠ECN=75°， ∵∠ECD=45°，

∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°， ∵AO⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴∠ONC=30°，

设OC=a，则CN=2a，

∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN， ∴△CMN也是等腰直角三角形，

设CM=MN=x，则由勾股定理得：x2+x2=（2a）2， x=a，

即CD=CM=a，

∴

=

=

，

故选C．

点评： 本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，旋转性质，三角形的

内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但有一定

的难度．

10．（3分）（2014•拱墅区二模）以下说法： ①关于x的方程x+=c+的解是x=c（c≠0）； ②方程组

的正整数解有2组；

③已知关于x，y的方程组其中正确的有（ ）

②③ A．

，其中﹣3≤a≤1，当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；

①② B． ①③ C． ①②③ D．

考点： 分式方程的解；二元一次方程组的解．

分析： ①直接解出方程的解即可；②首先将方程②变为（x+y）z=23，得出z的值，进而求出将z=1代

入原方程转化为

，求出即可；

③将a的值代入求出即可．

解答：

解：①关于x的方程x+=c+的解是x=c或x=（c≠0），故此选项错误；

②方程组方程组

的正整数解有2组， ，

∵x、y、z是正整数， ∴x+y≥2

∵23只能分解为23×1 方程②变为（x+y）z=23 ∴只能是z=1，x+y=23 将z=1代入原方程转化为

，

解得x=2、y=21或x=20、y=3

∴这个方程组的正整数解是（2，21，1）、（20，3，1），故此选项正确； ③关于x，y的方程组

，其中﹣3≤a≤1，解得x=1+2a，y=1﹣a，x+y=2+a，

当a=1时，x+y=3，故方程组的解也是方程x+y=4﹣a=3的解，此选项正确． 故选：A．

点评： 此题主要考查了分式方程的解法以及二元二次方程组的解法等知识，正确将原式变形是解题关键．

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．

11．（4分）（2014•拱墅区二模）已知无理数1+2ab的值为 20 ．

考点： 估算无理数的大小．

，若a＜1+2

＜b，其中a、b为两个连续的整数，则

分析： 首先估算出的取值范围，进一步得出1+2的取值范围，确定a、b的数值，即可得出答案． 解答： 解：∵1＜＜2，

∴4＜1+2＜5， ∴a=4，b=5， ∴ab=20．

故答案为：20．

点评： 此题考查了无理数的估算，确定无理数的整数部分是本题的关键，是一道基础题． 12．（4分）（2014•拱墅区二模）数据a，4，2，5，3的平均数为b，且a和b是方程x2﹣4x+3=0的两个根，则这组数据的标准差是 ．

考点： 标准差；解一元二次方程-因式分解法；算术平均数．

分析： 根据数据a，4，2，5，3的平均数为b，其中a，b是方程x2﹣4x+3=0的两个根，建立关于a，b

方程组，求出a，b的值，再根据标准差的公式计算出标准差即可．

解答： 解：∵数据a，4，2，5，3的平均数为b，其中a，b是方程x2﹣4x+3=0的两个根，

∴解得

；

，

∴这组数据的标准差是

=

；

故答案为：．

点评： 本题考查了方差与标准差，解题的关键是根据题意建立方程组求出a，b的值以及熟练掌握标准差

的求法公式，本题属于统计中的基本题．

13．（4分）（2014•拱墅区二模）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形，使黑色部分成为轴对称图形，这样的白色小方格有： c，h，k，m （填字母）．

考点： 利用轴对称设计图案．

分析： 直接利用轴对称图形的性质分析得出即可．

解答： 解：如图所示：现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形，

使黑色部分成为轴对称图形，这样的白色小方格有：c，h，k，m（填字母）． 故答案为：c，h，k，m．

点评： 此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键． 14．（4分）（2014•拱墅区二模）如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为 （120+90）cm ．（若结果带根号则保留根号）

考点： 由三视图判断几何体．

分析： 由正视图知道，高是15cm，两顶点之间的最大距离为40cm，应利用正六边形的性质求得底面对边

之间的距离，然后所有棱长相加即可．

解答： 解：根据题意，作出实际图形的上底，如图：AC，CD是上底面的两边．作CB⊥AD于点B，

则BC=10，AC=20，∠ACD=120°， 那么AB=AC×sin60°=10， 所以AD=2AB=20，

胶带的长至少=20×6+15×6=120+90（cm）． 故答案为：（120+90）cm．

点评： 本题考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力；注意知道正六边形两个顶点间的最大距离求对边之间的距离需构造直角三角形利用相应的三角函数求解．

15．（4分）（2014•拱墅区二模）如图，已知点A（1，0）、B（7，0），⊙A、⊙B的半径分别为1和2，当⊙A与⊙B相切时，应将⊙A沿x轴向右平移 3或5或7或9 个单位．

考点： 圆与圆的位置关系；坐标与图形性质． 分析： 根据相切的两种情况分类讨论即可．

解答： 解：当外切且⊙B在⊙A的右侧时，⊙A向右平移3个单位；

当内切且圆心B在圆心A的右侧时，⊙A向右平移5个单位； 当内切且圆心B在圆心A的左侧时，⊙A向右平移7个单位； 当外切且⊙B在⊙A的左侧时，⊙A向右平移9个单位； 故答案为：3或5或7或9．

点评： 本题考查了两圆的位置关系及坐标与图形的性质，分两类四种情况讨论是解决本题的关键．

16．（4分）（2014•拱墅区二模）已知，如图，双曲线y=（x＞0）与直线EF交于点A，点B，且AE=AB=BF，连结AO，BO，它们分别与双曲线y=（x＞0）交于点C，点D，则： （1）AB与CD的位置关系是 AB∥CD ； （2）四边形ABDC的面积为

．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： （1）首先过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BN⊥x轴于点N，

由双曲线y=（x＞0）与直线EF交于点A、点B，且AE=AB=BF，可设点A的坐标为（m，），得到点B的坐标为：（2m，

），则可由S△OAB=S△OAM+S梯形AMNB﹣S△OBN，求得△AOB的面

）2==，继而可得

=

，所以AB∥CD

积，易得△ODH∽△OBN，可得（（2）由

=

，∠COD=∠AOB则可证得△COD∽△AOB，然后由相似三角形面积比等于相似比

的平方，求得答案．

解答： 解：（1）如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BN⊥x轴于点

N，

∴AM∥DH∥BN∥y轴，

设点A的坐标为：（m，）， ∵AE=AB=BF， ∴OM=MN=NF， ∴点B的坐标为：（2m，

），

∴S△OAB=S△OAM+S梯形AMNB﹣S△OBN=2+×（+）×（2m﹣m）﹣2=3， ∵DH∥BN，

∴△ODH∽△OBN， ∴

=

=

，

∵DH•OH=2，BN•ON=4， ∴（

）2==，

同理：（∴

=

）2=， ，

∴AB∥CD

故答案为：AB∥CD （2）∵

=

，∠COD=∠AOB，

∴△COD∽△AOB， ∴

=（

）2=，

∴S△COD=， ∴S四边形ABDC=． 故答案为：．

点评： 此题考查了反比例函数中k的几何意义以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅

助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17．（6分）（2014•拱墅区二模）请用直尺和圆规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上，面积相同的图形视为同一种．（保留作图痕迹）．

考点： 作图—应用与设计作图．

分析： 作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1，F1，G1，H1；连接H1E1，E1F1，G1F1，G1H1．四边形E1F1G1H1

即为菱形； 还可以在B2C2上取一点E2，使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合；以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2；以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2；连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形．

解答： 解：所作菱形如图①，图②所示．说明：作法相同的图形视为同一种．例如：类似图③，④的

图形视为与图②是同一种．

点评： 此题综合考查了菱形和矩形的性质以及一些基本作图的综合应用，锻炼学生的动手操作能力．

18．（8分）（2014•拱墅区二模）先化简，再求代数式的值：（

﹣

）÷

，其中sin230°＜a＜

tan260°，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值．

考点： 分式的化简求值；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题． 分析：

先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=

得到＜a＜3，从而得到满足条件的整数a为2，再把a=2代入

解答：

解：原式=

==

，

， •

•

，然后根据特殊角的三角函数值中计算即可．

∵sin30°=，tan60°=∴

＜a＜3，

∵a≠1，

∴整数a为2， 当a=2时，原式=

=．

点评： 本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得

到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了特殊角的三角函数值．

19．（8分）（2014•拱墅区二模）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字﹣1，﹣2，﹣3，﹣4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．

（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；

（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数y=x﹣1的图象上的概率； （3）求小强、小华各取一次小球所确定的数x、y满足y=x﹣1的概率．

考点： 列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题．

分析： （1）列表得出所有等可能的情况数即可；

（2）找出所确定的点（x，y）落在一次函数y=x﹣1的图象上的情况数，即可求出所求的概率； （3）找出所确定的数x、y满足y=x﹣1的情况数，即可求出所求的概率．

解答： 解：（1）列表如下：

y ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣4 x ﹣1 （﹣1，﹣1） （﹣1，﹣2） （﹣1，﹣3） （﹣1，﹣4） ﹣2 （﹣2，﹣1） （﹣2，﹣2） （﹣2，﹣3） （﹣2，﹣4） ﹣3 （﹣3，﹣1） （﹣3，﹣2） （﹣3，﹣3） （﹣3，﹣4） ﹣4 （﹣4，﹣1） （﹣4，﹣2） （﹣4，﹣3） （﹣4，﹣4）

（2）所有等可能的情况有16种，其中所确定的点（x，y）落在一次函数y=x﹣1的情况有3种，分别为（﹣1，﹣2）；（﹣2，﹣3）；（﹣3，﹣4），

则P=

；

（3）所有等可能的情况有16种，其中所确定的数x、y满足y=x﹣1的情况有3种，（﹣1，﹣2）；（﹣2，﹣3）；（﹣3，﹣4）， 则P=

．

点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．（10分）（2014•拱墅区二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．

（1）求过O，B，E三点的二次函数关系式； （2）求直线DE的解析式和点M的坐标；

（3）若反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上．

考点： 反比例函数综合题． 分析：

（1）首先把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax2+bx+c，可得

，解此方程

即可求得答案； （2）首先设直线DE的解析式为：y=kx+b，然后将点D，E的坐标代入即可求得直线DE的解析式，又由点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，可得点M的纵坐标为2，继而求得点M的坐标；

（3）由反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M，即可求得该反比例函数的解析式，又由点N在BC边上，B（4，2），可得点N的横坐标为4．然后由点N在直线y=﹣x+3上，求得点N的坐标，

即可判断点N是否在该函数的图象上．

解答： 解：（1）设过O，B，E三点的二次函数关系式为：y=ax2+bx+c；

把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax2+bx+c，得

，

解得：，

∴过O，B，E三点的二次函数关系式为：y=﹣x2+x；

（2）设直线DE的解析式为：y=kx+b， ∵点D，E的坐标为（0，3）、（6，0）， ∴

，

解得，

∴直线DE的解析式为：y=﹣x+3；

∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形， ∴点M的纵坐标为2．

又∵点M在直线y=﹣x+3上， ∴2=﹣x+3． ∴x=2．

∴M（2，2）；

（3）∵y=（x＞0）经过点M（2，2）， ∴m=4．

∴该反比例函数的解析式为：y=， 又∵点N在BC边上，B（4，2），

∴点N的横坐标为4． ∵点N在直线y=﹣x+3上， ∴y=1． ∴N（4，1）． ∵当x=4时，y==1， ∴点N在函数y= 的图象上．

点评： 此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

21．（10分）（2010•泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC．

（1）求证：AE⊥DE；

（2）设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD=5，AE=8，求

的值．

考点： 难度星级： 专题： 分析：

勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理；解直角三角形． 五星

计算题；证明题；压轴题． （1）由四边形ABCD是▱，可知AB∥CD，那么就有∠BAD+∠ADC=180°，又AE、DE是∠BAD、∠ADC的角平分线，容易得出∠DAE+∠ADE=90°，即AE⊥DE；

（2）由于AD∥BC，AE是角平分线，容易得∠BAE=∠BEA，那么AB=BE=CD=5，同理有CE=CD=5，容易得出AD=BC=BE+CE=10．

在Rt△ADE中，利用勾股定理可求DE，由于AD是直径，所以tan∠FAG=于是

解答：

=

，即可求．

，而∠FAG=∠DAE，

（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°． 又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC， ∴∠DAE+∠ADE=90°， ∴∠AED=90°，

∴AE⊥DE．

（2）解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=BC， ∴∠DAE=∠BEA． 又∵∠DAE=∠BAE， ∴∠BEA=∠BAE，

∴BE=AB=5．

同理EC=CD=5．

∴AD=BC=BE+EC=10． 在Rt△AED中，DE=

又∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠FAG=∠DAE． ∵AD是直径， ∴∠AFD=90°， ∴tan∠FAG=∴

，

==．

=

=6．

=tan∠DAE=

点评： 本题综合考查了平行四边形的性质、三角函数值、勾股定理等知识． 22．（12分）（2014•拱墅区二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．

（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？

（2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？

（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．

考点： 四边形综合题．

分析： （1）做题首先要画示意图，如图．由折叠知，△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，进而可由AB边

的关系知，若E平分FP，则BP=

，AP=

．由已知分析易得CP⊥QP，则△QAP∽△PBC，

即由边之间的成比例得关于AQ的方程，解出即可．

（2）由（1）易得EP=BP，FP=AP，PB+AP=10．线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2则表示EF=2，但有两种可能，PF=EP+2或EP=FP+2．于是得到两个关系式，易得结论． （3）“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者，思考点P运动即折纸特点，QF不能与A共线．当CE与QF共线时，P点恰为AB中点，如图，两线段都在CD上．当CE与A共线时，即连接对角线AC，CE在AC上，此时△AEP∽△ABC，进而AP的长易得．

解答： 解：（1）由△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，得到△QFP和△PCE，则△AQP≌△FQP，

△CPB≌△CPE

∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE． ∵EF=EP，

∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB． ∵AB=4， ∴PB=， ∴AP=．

∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2（∠QPA+∠CPB）， ∴∠QPA+∠CPB=90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=90°，

∴∠CPB+∠PCB=90°， ∴∠QPA=∠PCB，

在△QAP和△PBC中，

，

∴△QAP∽△PBC， ∴

，

∴，

∴．

（2）由题意，得PF=EP+2或EP=FP+2． 当EP﹣PF=2时， ∵EP=PB，PF=AP， ∴PB﹣AP=2． ∵AP+PB=4， ∴2BP=6， ∴BP=3， ∴AP=1．

当PF﹣EP=2时， ∵EP=PB，PF=AP， ∴AP﹣PB=2． ∵AP+PB=4， ∴2AP=6． ∴AP=3．

故AP的长为1或3．

（3）①若CE与点A在同一直线上，如图2，连接AC，点E在AC上， 在△AEP和△ABC中，

，

∴△AEP∽△ABC， ∴

．

设AP=x，则EP=BP=4﹣x， 在Rt△ABC中， ∵AB=4，BC=2， ∴AC=2， ∴

．

解得 ．

②若CE与QF在同一直线上，如图3， ∵△AQP≌△EQP，△CPB≌△CPE， ∴AP=EP=BP， ∴2AP=4， ∴AP=2．

点评： 本题考查的是折叠、重合的几何性质﹣﹣图形全等，这一点我们可以直接使用．另外还考查了我们

的思维想象能力，对于根据某点折叠，运动中图形的变化我们需要有一个大概的认识，做题时如果想象困难，可以利用手边的演算纸现场理解．

23．（12分）（2014•拱墅区二模）已知抛物线y=3ax2+2bx+c （1）若a=b=1，c=﹣1求该抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若a=，c=2+b且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3，求b的值； （3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）直接将a=b=1，c=﹣1代入求出即可；

（2）利用当x=﹣b＜﹣2时，即b＞2，此时﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2；当x=﹣b＞2时，即b＜﹣2，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=22+2×2b+b+2；当﹣2≤﹣b≤2时，即﹣2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b时，取最小值为﹣3，分别求出符合题意的答案即可；

（3）由y=1得3ax2+2bx+c=1，则△=4b2﹣12a（c﹣1），求出△的符号得出答案即可．

解答： 解：（1）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为：y=3x2+2x﹣1，

∵方程3x2+2x﹣1=0的两个根为：x1=﹣1，x2=．

∴该抛物线与x轴公共点的坐标是：（﹣1，0）和（，0）；

（2）a=，c﹣b=2，则抛物线可化为：y=x2+2bx+b+2，

其对称轴为：x=﹣b，

当x=﹣b＜﹣2时，即b＞2，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3，

此时﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2， 解得：b=3，符合题意，

当x=﹣b＞2时，即b＜﹣2，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=22+2×2b+b+2， 解得：b=﹣，不合题意，舍去．

当﹣2≤﹣b≤2时，即﹣2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b时，取最小值为﹣3， 此时﹣3=（﹣b）2+2×（﹣b）b+b+2， 化简得：b2﹣b﹣5=0， 解得：b1=综上：b=3或b=

（不合题意，舍去），b2=

．

．

（3）由y=1得3ax2+2bx+c=1， △=4b2﹣12a（c﹣1）， =4b2﹣12a（﹣a﹣b）， =4b2+12ab+12a2， =4（b2+3ab+3a2）， =4[（b+a）2+a2]， ∵a≠0，△＞0，

所以方程3ax2+2bx+c=1有两个不相等实数根， 即存在两个不同实数x0，使得相应y=1．

点评： 此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一元二次方程的解法等知识，利用分类讨论得出是

解题关键．