工程数学作业(第二次)hao

第3章 线性方程组 第4章 矩阵的特征值及二次型

（一）单项选择题(每小题2分，共16分)

x12x24x31x1 ⒈用消元法得x0的解x2x32为（C）．

x32x3 A. [1,0,2] B. [7,2,2]

C. [11,2,2] D. [11,2,2]

x12x23x3 ⒉线性方程组2x1x36（B）．

3x23x34 A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解 解：将增广矩阵进行初等行变换

1232232232101610244244033433410000 增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=3=未知量的个数，线性方程组有唯一解； 故B正确。

10 ⒊向量组0,1,00,12,30的秩为（A）． 00114 A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

10111001 ⒋设向量组为1,2,3,4，则（B011）是极大无关组．01011 A. 1,2 B. 1,2,3 C. 1,2,4 D. 1

解：

11101111010011,2,3,401110110010001001010111 010101110010101110110010011101110010 所以极大无关组是1,2,3．故B正确。00000000

1

⒌A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（B）． A. 秩(A)秩(A) B. 秩(A)秩(A) C. 秩(A)秩(A) D. 秩(A)秩(A)1

⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（B）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D）．

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解

⒏若向量组1,2,,s线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出．

A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量 注：9、10题填D、C

（二）填空题(每小题2分，共16分)

x1x20 ⒈当 1 时，齐次线性方程组有非零解．

xx0211111解：齐次线性方程组的系数矩阵， 101当1时，有系数矩阵的秩=1小于未知量的个数=2， 齐次线性方程组有非零解．

 ⒊向量组1,2,3,1,2,0,1,0,0,0,0,0的秩是 3 ．

⒉向量组10,0,0,21,1,1线性 相关 ． ⒋设齐次线性方程组1x12x23x30的系数行列式1230，则这个方

程组有 非零 解，且系数列向量1,2,3是线性 相关 的． ⒌向量组11,0,20,1,30,0的极大线性无关组是1,2． ⒍向量组1,2,,s的秩与矩阵向量有 2 个．

⒏设线性方程组AXb有解，X0是它的一个特解，且AX0的基础解系为X1,X2，则AXb的通解为XX0k1X1k2X2． 注：9、10题填AI0 、A

（三）解答题(每小题10分，共60分)

1．用消元法解线性方程组

11,2,,s的秩 相同 ．

⒎设线性方程组AX0中有5个未知量，且秩(A)3，则其基础解系中线性无关的解

A

2

x13x22x3x463x18x2x35x402x 1x24x3x412x14x2x33x42解：

132163⑴13216A38150⑵－⑶＋⑷＋⑴2⑴017818214112058101413201348⑶＋5⑵1321613216⑷－⑵017818(⑶，⑷)0178180027399000－10－122600101226002739－901321613216⑷＋3⑶01781801781800－10－1226001－1400－33－120001－3x12采用回代法求得方程组的解为x21x31 x432．设有线性方程组

11x111y 11z2 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?

解：

1111111111120112112111011213 110112 00(1)(2)(1)(1)2当1且2时，方程组有唯一解；当1方程组有无穷多解.

3．判断向量能否由向量组1,2,3线性表出，若能，写出一种表出方式．其中3

82353756,1,2,3 710310321解 设:k11k22k33,

0372358175632358 1231321100373211075－6337373710101003017250172516 028310－002281283105275201111000015777103103103017250172501725 0046600200233330065006500094r(1,2,3)3，r(1,2,3,)4，即线性方程组无解 ∴不能由1,2,3线性表示。

4．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关；（2）求出该向量组的一个极大无关组。

1311173912,28,30,46

39334133631113111045104110111739022500080601120112000解 29330000000000034133600000000000(1) 向量组的秩为3，向量组线性相关；(2) 向量组的一个极大无关组为1,2,4

5．求齐次线性方程组

001 00x13x2x32x405xx2x3x01234 x11x2x5x012344x403x15x2的一个基础解系．

4

1312131205/140解: 5123014371013/1401112501437001 350401431000000x15/14x3x23/14x3, x40令x314，得基础解系X1(53140)T

6．求下列线性方程组的全部解．

x15x22x33x4113x1x24x32x45x19x24x

4175x13x26x3x41解：

15231111A31425⑵＋3⑴1523⑶＋⑴⑷－5⑴014272819041701422853611702841456152311⑶－⑵⑷＋2⑵01427280000000000x19x13x41采用回代法求得方程组的一般解为72x127x312x42在一般解中令x3x40，得到一个特殊解x0(1，－2，0，0)

x91方程组相应的齐次方程组AX=0的一般解为1xx4732 x217x312x4令x37得到一个基础解x0X1(9,1,7,0)

4令x30得到另一个基础解xX2(1,1,0,422) 所以原方程组的全部解为XX0K1X1K2X2 （四）证明题(每小题4分，共8分)

5

7．试证：任一4维向量[a1,a2,a3,a4]都可由向量组

111101111,2,3,4

00110001线性表出，且表出方式唯一，写出这种表出方式。

证明：可由1,2,3,4线性表出，即线性方程组1x12x23x34x4有解：xiki(i1,2,3,4)

110011101111a11a200a30a4010000100001a1a2a2a3 a3a4a41[a1,a2,a3,a4,]000r(a1,a2,a3,a4)r(a1,a2,a3,a4,)4

线性方程组有唯一解，故由1,2,3,4线性表出的方式唯一.

表出方式为 (a1a2)1(a2a3)2(a3a4)3a44

其中kiaiai1(i1,2,3,4)

⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．

证明: 设线性方程组AXb，其相应的齐次线性方程组为AXO， 当线性方程组AXb有解时，有r(A)r(Ab)，

AXb有唯一解r(A)r(Ab)n（变量个数）AXO仅有零解。

9.设是可逆矩阵A的特征值，且0，试证：

1是矩阵A的特征值。

1证明: 因为是可逆矩阵A的特征值，所以有Axx，

1当A可逆时，有xAx，因为0，

1 所以有Ax

1x，故

1是矩阵A的特征值。

1 10.用配方法将二次型f(x1,x2,x3)x1x22x32x1x22x1x32x2x3化为标准型，并写出满秩的线性变换．

解：f(x1,x2,x3)x1x22x32x1x22x1x32x2x3 x12x1(x2x3)x22x32x2x3

22 (x1x2x3)2(x2x1)2x22x32x2x3 2 (x1x2x3)2x3

222222222 6

令 y1x1x2x3,y2x2,y3x3 （1）

22即得 f(x1,x2,x3)y1 y3x1y1y2y3由（1）式解出x1,x2,x3，即得 x2y2

xy33x1111y1或写成 x20x301001y2 y37