鞍山师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＡｎｓｈａｎ Ｎｏｒｍａｌ ｅ ２０ １ ６－０８，１ ８（４）：１—５ 时变波动率和随机利率模型下的动态投资研究 孙瑞娇，杜晓婷 （山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛２６６５９０） 摘要在金融市场中，假设风险资产价格的波动率随时间的变化而变化，它的函数表达式由随机环境下 的波动率去掉随机项的部分确定，无风险利率是随机的，用Ｈｕｌｌ－Ｗｈｉｔｅ随机利率模型来刻画，根据动态规 划中的Ｂｅｌｌｍａｎ最优性原理，建立了基于幂效用函数的风险资产和无风险资产的动态投资组合模型，给出 了使期望效用最大化的最优投资策略． 关键词 时变波动率；Ｈｕｌｌ—Ｗｈｉｔｅ随机利率模型；动态投资组合；Ｂｅｌｌｍａｎ最优性原理；期望效用最大化 中图分类号Ｆ８３２．４８；０２１１．６ 文献标识码Ａ 文章篇号１００８－２４４１（２０１６）０４—０００１・０５ 投资组合是投资者将资金投资于风险资产和无风险资产的组合，它的目的在于分散风险，使终端财 富最大化．自Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ提出分散投资和效率投资组合理论ｌ１，２Ｊ以来，在最优投资组合问题上出现了许 多显著的研究成果，尤其是波动率随机化或无风险利率随机化下的投资组合．对于随机利率下的投资组 合，国内外学者大部分研究了Ｈｏ—Ｌｅｅ随机利率模型、Ｖａｓｉｃｅｋ随机利率模型或Ｃｏｘ．Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌ－Ｒｏｓｓ（ＣＩＲ） 随机利率模型ｌ ３￣６ｊ下的投资组合问题，而很少与具体的时变波动率或随机波动率结合来研究投资组合 问题． Ｈｕｌｌ—Ｗｈｉｔｅ随机利率模型作为Ｈｏ．Ｌｅｅ随机利率模型的推广模型，比其它随机利率模型能更好地匹 配当前的利率期限结构，并且它所描述的利率过程是一个无套利的Ｍａｒｋｏｖ过程［７～１１ Ｊ，具有较好的性 质和研究价值．对于风险资产价格的波动率，有一种随机波动率，其过程遵循几何布朗运动，可以保证波 动率的非负性【ｌ２ Ｊ．不确定性下的理性决策有３种准则：一是数学期望最大化准则，二是期望效用准则， 三是后期望效用准则．２０世纪５Ｏ年代，Ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ提出了期望效用函数理论，针对金 融市场中的投资组合问题，依据期望效用准则，在不确定的情况下，为了最大化期望效用，必须事先做出 适当的投资决策Ｌ １３，ｌ４ Ｊ． 本文在常浩【ｌ５ Ｊ提出的Ｈｏ—Ｌｅｅ利率模型下的动态投资组合的基础上，采用Ｈｏ．ｅＬｅ利率的推广模 型——Ｈｕｕ—Ｗｈｉｔｅ随机利率模型，并与具体的时变波动率相结合，研究动态投资组合问题．应用期望效用 函数理论，建立了幂效用函数下的动态投资组合模型，并给出了最优投资策略的显示表达式． １投资组合模型 假定投资者选择了金融市场中的两种资产进行投资，一种是无风险资产，比如通常情况下的债 券，另一种是风险资产，比如股票或衍生金融产品，投资周期为［０，Ｔ］．用Ｐ（ｔ），Ｓ（ｔ）分别表示无风险 资产和风险资产在ｔ时刻的价格，它们的价格过程对应着下面的２个方程： 』｛ Ｐ （）ｔ ～’ｚ， （（）１） 【Ｐ（０）＝１， 收稿日期２０１６－０４－２１ 作者简介孙瑞娇（１９９１一），女，山东聊城人，山东科技大学数学与系统科学学院硕士研究生 ２ 鞍山师范学院学报 第１８卷 』 ㈩＋ｒ（圳¨ ㈤， （２） 【ｓ（０）：Ｓｏ＞０， 其中，ｒ（ｔ）为ｔ时刻的无风险利率，Ａ（ｔ）为风险资产在ｔ时刻的风险溢价， （ｔ）为风险资产价格在ｔ时 刻的波动率，Ｂ（ｔ）为一维的标准布朗运动． 先考虑一种遵循几何布朗运动的随机波动率 （ｔ），它满足如下的随机微分方程： ： ｏｒ（ｔ） ＋叩ａＢ（ｆ）， （３） （０）＝ ０＞０． 根据ｈｏ公式口Ｊ以得剑 ㈤＝ ｏｅｘｐ 一 ㈤】． 假设风险资产价格的波动率 （￡）是一个时变函数，去掉 （ ）带有随机项的部分，记 ）＝ｔｒｏｅｘｐ 一 ２ 其中， 。为风险资产价格在０时刻的波动率，卢，叼为常数． 对于无风险利率ｒ（ｔ）。假定它是随机的．应用Ｈｕｌ１．Ｗｈｉｔｅ随机利率模型．满足的随机微分方程如下： ｆｄｒ（￡）＝［ （ ）一 （ ）ｒ（ｆ）】ｄ ＋ ｄＢ（ ）， 【ｒ（０）＝ｒ０， （４） 则可得： 其中，Ｏ（ｔ）， （ｔ）是确定的时变函数，ｏｒ，是常数，Ｂ（ｔ）是一维布朗运动，并且ｄＢ（ｔ）＝ Ｐ（ｔ）ｄＢ（ｔ），Ｊｄｒ（ｆ）＝［ （ ）一 （ ）ｒ（ ）】ｄｔ＋ ｒｐ（ｔ）ｄ日（ ）， 【ｒ（０）＝ （５） 另外，令Ｙ（ｔ）为ｔ时刻投资者的总财富， （ｔ）为ｔ时刻投资者投资于风险资产的额度占总财富的 比例，本文也称其为投资策略，则１一 （ｔ）为ｔ时刻投资者投资于无风险资产的比例．可以得到财富过程 ｛ｙ（ ），ｔ∈［０，Ｔ］）满足的随机微分方程是： ㈤】ｙ（ ） 州帆） ， 【Ｙ（０）＝Ｙｏ＞０， 结合式（１）、（２）得到： ［ｄＹ（ｔ）＝［Ａ（ｔ） （ｔ）＋ｒ（ｔ）］Ｙ（ｔ）ｄｔ＋ （ｔ）Ｙ（ｔ） （ｔ）ｄＢ（ｔ）， Ｉ Ｙ（０）＝Ｙｏ． （５） 在可行投资策略所组成的集合Ｄ＝｛ （ｔ），ｔ∈［０，Ｔ］）内，投资者希望可以找到一种使期末财富的 期望效用最大化的投资策略．假定投资者是理性的，即厌恶风险的，用幂效用函数 （ ）： ｑ ，ｑ≠０，ｇ＜１， 来刻画．于是建立以下的动态投资组合模型： …Ｅｆ １ ｔ．ｄＹ（￡） ［Ａ（ ） （ ）＋，（ ）】ｌ，（ ）ｄｆ＋ （ ）ｌ，（ ） （￡）ｄ曰（￡）， ．（７） ｌ，（０）＝Ｙｏ＞０． 第４期 孙瑞娇，等：时变波动率和随机利率模型下的动态投资研究 ３ ２最优投资策略 上文定义的幂效用函数在投资周期［Ｏ，７１］内是一个光滑的严格凹函数，并且—ｄＵ （ｙ）：ｙｑ－ｔ＞０， ｄ２ Ｕ（ｙ）—＝（ｇ一１）ｙ ＜。，根据凹函数的性质，存在唯一的最优投资策略 ＋（￡）使得模型中的期望效用 最大． 定义值函数 （ｔ，ｒ，ｙ）＝ ｓ ｕ ｐ Ｅ ［］ｚ（ｔ），Ｌｇｌ ｒ（￡）＝ｒ，ｌ，（ｔ）＝），］， （８） ｒ，ｙ）一． ｑ 结合式（５）、（６），根据Ｂｅｌｌｍａｎ最优性原理 ，值函数 （￡，ｒ，ｙ）对应下面的ＨＪＢ方程 ｛ ＋［Ａ（ ） （ ）＋ｒ】）， ＋［ （ ）一 （ ）ｒ］ ＋ ＋ Ｉ， ＋（９） ｒｏ ｐ（￡） （ｔ）ｙｘ（ｔ） ）＝０， 其中， ， ， ， ， ， 分别是Ｉ，（ｆ，ｒ，ｙ）关于ｔ，ｒ，Ｙ的一阶偏导与二阶偏导数．对式（９）左边大括号 内的部分关于 （ｔ）求偏导数，由于是凹规划问题，一阶最优性条件也是充分条件．进而由一阶最优性条 件得： Ａ（ｔ）ｙＶ￣＋ （ｔ）ｙ （ｔ）＋ Ｐ（ｔ）Ｏｒ（ｔ）ｙ ＝０， （１０） 从而得最优解 Ｏ＇ｒｐ（ｔ） Ｖ￣ｙ一 ， ） 这是模型的隐式解． 将式（１１）代人式（９）可以得到： Ⅷ㈤ 咖】 ＋ ＋ Ａ （ｔ） ２ｐ （ ） Ａ（￡） ，ｐ（ ） （ｆ） ２ ｒＯ（ｔ） ＝０．（１２） 以下定理给出最优投资策略的显示表达式： 定理在时变波动率和Ｈｕｌｌ—Ｗｈｉｔｅ随机利率模型下，如果效用函数是Ｕ（ｙ）＝ ，ｇ≠０且ｇ＜１，则 模型（７）的最优投资策略的显示表达式是 （ ）＝ —二 Ａ（ ）ｅｘｐ［（７／２－ Ｂ） 】一 兰 ｅｘｐ［（ 一 ）ｔ］ ｅｘｐ【 （ｓ） 】ｄ后．（ ３） 证明 由于Ｕ（ｙ）＝ ，ｑ≠０且ｑ＜１，假设值函数 Ｖ（ｔ，ｒ，Ｙ）＝ｅｘｐ［Ｍ（ｔ）ｒ＋Ｎ（ｔ）］ ＝ｇ（ｔ，ｒ）Ｌ，Ｍ（Ｔ）＝Ｎ（Ｔ）＝０， 其中，ｇ（ｔ，ｒ）＝ｅｘｐ［Ｍ（ｔ）ｒ＋Ｎ（ｔ）】，则值函数关于ｔ，ｒ，Ｙ的一阶和二阶偏导数为 ＝ 等，ｇ ＝ｇ，等，ｇ ＝ｇｙ ｌ， ＝ｇ 鲁，ｇ ’ ＝（９—１）ｇｙｑ－２， Ｄ一 ｇ， ｑ－１． 将它们代人式（１２）可得 ４ 鞍山师范学院学报 第１８卷 ｛ｇｌ＋ 其中，记 （￡）＝ 又因为 加一 】ｇｒ＋ ＋ｒ一 ， （ ）＝ （￡）．可以得到 一 譬）等－ｏ， 】ｑｇ一 警２一ｏ． 咖一 】ｇｒ＋８ ２（ｔ） ＋ｒ一 ｇ ＝［ｒＭ’（ ）＋Ｎ （ ）】ｇ，ｇ，＝Ｍ（ｔ）ｇ，ｇ ＝Ｍ （ ）ｇ， 其中，Ｍ （ｔ），Ｎ （ｔ）分别表示它们关于ｔ的导数，代入式（１４）得 删 一 一 芝詈 二 ）ｅｘｐ［ （ｔ）ｒ＋Ⅳ（ ）】＝０． 消除式（１５）对ｒ的依赖性可以得到下面两个方程： Ｍ （ｔ）一Ｏｌ（ｔ）Ｍ（ｔ）＋ｑ＝０，Ｍ（Ｔ）＝０， Ⅳ ㈤＋ 解得 一 卜 ㈣一 －ｏ， ． （ｔ）＝一ｑ ｅｘｐ【 （ｓ）ｄｓ】ｄ ， ＝ 所以 ： 一 ，一 一 ｙｒ． ｑ’ ｙＶ＝ ｑ １＝ １ 一 一Ｊ Ｌｘｐ Ｊ ～ Ｊ叫舨 。 ｑ 又风险资产价格在 时刻的波动率为 （ ）＝ｏｒｏｅｘｐ【（卢一 ） 】，根据式（１１）可得 （ ） —二 Ａ（ ）ｅｘｐ［（叼 一ｚ ） 】一 ： ｅｘｐ［（ ２一／３）ｔ】 ｅｘｐ［ （ｓ）ｄｓ】ｄ ． ３小结和展望 在时变波动率和Ｈｕｌｌ－Ｗｈｉｔｅ随机利率模型下的最优投资策略 （￡）与波动率参数卢，叼和随机利率 参数ａ（ｔ），ｏｒ，有关，而与随机利率参数Ｏ（ｔ）无关．因此波动率与利率共同影响着投资者做何种决策．本 文所建立的动态投资组合模型是在时变波动率和随机利率下建立的，在随机波动率和随机利率下也可 以建立相应的动态投资组合模型，求得最优解． 参考文献 ［１］埃尔顿．现代投资组合理论和投资分析［Ｍ］．６版．北京：中国人民大学出版社，２００６． ［２］张卫国．现代投资组合理论［Ｍ］．北京：科学出版社，２００７． ［３］皮里沃．随机利率模型及相关衍生品定价［Ｍ］．伟晓，译．天津：南开大学出版社，２０１０． ［４］Ｈａｏ Ｒ，Ｌｉｕ Ｙ，Ｗａｎｇ Ｓ．Ｐｒｉｃｉｎｇ Ｃｒｅｄｉｔ Ｄｅｆａｕｌｔ Ｓｗａｐ ｕｎｄｅｒ Ｆｒａｃｔｉｏｎａ／Ｖａｓｉｃｅｋ Ｉｎｔｅｒｅｓｔ Ｒａｔｅ Ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａ／ ｒ｝ｒ｝ 第４期 孙瑞娇，等：时变波动率和随机利率模型下的动态投资研究 ｍ ５ Ｆｉｎａｎｃｅ，２０１４，４（１）：１０－２０． Ｉｎｏｕｅ Ａ，Ｍｏｒｉｕｃｈｉ ｓ，Ｎａｋａｍｕｒａ Ｙ．Ａ Ｖａｓｉｃｅｋ—Ｔｙｐｅ ｓｈ０ｎ Ｒａｔｅ Ｍｏｄｅｌ Ｗｉｔｈ Ｍｅｍｏｒｙ Ｅｆｆｅｃｔ［Ｊ］．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ＆Ａｐｐｌｉｃａ— ｔｉｏｎｓ，２０１５，３３（６）：１０６８－１０８２． Ａｌｆｏｎｓｉ Ａ．Ｈｉｓｈ ｏｒｄｅｒ ｄｉｓｃｒｅｔｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ＣＩＲ ｐｒｏｃｅｓｓ：Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ａｆｆｉｎｅ ｔｅｒｍ ｓｔｌａｌｅｔｕｒｅ ａｎｄ Ｈｅｓｔｏｎ ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０１０，７９（２６９）：２０９－２３７． 沈传河，王向荣．Ｈｕｌｌ—ｗｈｉｔｅ随机利率模型在债券价值分析中的应用［Ｊ］．统计与决策，２００５（１８）：２１—２３．． ｃｈ Ａ．Ｇｒｚｅｌａｋ，Ｃｏｍｅｌｉｓ Ｗ．Ｏｏｓｔｅｒｌｅｅ，Ｓａｃｈａ Ｖａｎ Ｗｅｅｒｅｎ．Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｅｑｕｉｔｙ ｍｏｄｅｌｓ Ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｈｕｌ１． Ｗｈｉｔｅ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｒａｔｅ ｐｒｏｃｅｓｓ［Ｊ］．Ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ Ｆｉｎａｎｃｅ，２０１２，１２（１）：８９－１０５． Ｋｉｍ Ｊ Ｈ，Ｙｏｏｎ Ｊ Ｈ，Ｙｕ Ｓ Ｈ．Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｈｕｌｌ—Ｗｈｉｔｅ Ｒａｔｅ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｅｓｔ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆｕｔｕｒｅｓ Ｍａｒ． ｋｅｔｓ，２０１４，３４（９）：８１９—８３７． Ｌｅｏｎａｒｄ Ｔｅｈｕｉｎｄｊｏ．Ｐｒｉｃｉｎｇ ｏｆ Ｍｕｌｔｉ—Ｄｅｆａｕｌｔａｂｌｅ Ｂｏｎｄｓ ｗｉｔｈ ａ Ｔｗｏ－Ｃｏｒｒｅｌａｔｅｄ—Ｆａｃｔｏｒ Ｈｕｌｌ—Ｗｈｉｔｅ Ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅ． ｍａｔｉｃａｌ Ｆｉｎａｎｃｅ，２００７，１４（１）：１９—３９． Ｃａｐｐ６ Ｏ，Ｍｏｕｌｉｎｅｓ Ｅ，Ｒｙｄ６ｎ Ｔ．Ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ ｉｎ ｈｉｄｄｅｎ Ｍａｒｋｏｖ ｍｏｄｅｌｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２００５． 韩立岩，泮敏．基于奈特不确定性随机波动率期权定价［Ｊ］．系统工程理论与实践，２０１２（６）：１１７５－１１８３． Ｒａｂｉｎ Ｍ．Ｒｉｓｋ ａｖｅｒｓｉｏｎ ａｎｄ ｅｘｐｅｃｔｅｄ・ｕｔｉｌｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ：Ａ ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｈｅｏｒｔｅｍ［Ｊ］．Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃａ，２０００，６８（５）：１２８１－１２９２． 张新丽，张璐，王欣．风险投资并购退出行为的演化博弈分析［Ｊ］．辽宁师范大学学报：自然科学版，２０１３，３６（３）：３２３ －３２８． ［１５］ 常浩．Ｈｏ－ｅｅ利率模型下多种风险资产的动态投资组合［Ｊ］．Ｌ数理统计与管理，２０１５，３４（３）：５６１－５７０． ［１６］ 雍炯敏，楼红卫．最优控制理论简明教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６． Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｏｆ ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｒａｔｅ ｍｏｄｅ ＳＵＮ Ｒｕｉｊｉａｏ，ＤＵ Ｘｉａｏｔｉｎｇ （Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆＳｃｉｏｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ Ｓｈａｎｄｏｎｇ ２６６５９０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｍａｒｋｅｔｓ，ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｉｓ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｉｃｅ ｏｆ ｉｓｋｙ ａｓｓｅｔ ｃｈａｎｇｅｓ ｏｖｅｒ ｔｉｍｅ ａｎｄ ｉｔｓ ｒｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｗｉｔｈｏｕｔ ｔｈｅ ｐａｒｔ ｏｆ ａ ｒａｎｄｏｍ ｉｔｅｍ．Ｔｈｅ ｎｏｎ—ｒｉｓｋ ｉｎ－ ｔｅｒｅｓｔ ｒａｔｅ ｉｓ ｒａｎｄｏｍ，ｗｉｔｈ Ｈｕｌｌ—Ｗｈｉｔｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｒａｔｅ ｍｏｄｅｌｓ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ．Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ Ｂｅｌｌｍａｎ ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｓ ａ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｍｏｄｅｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｐｏｗｅｒ ｕｔｉｌｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｏｂｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｏｐｔｉｍａｌ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ．Ａｎｄ ｆｉｎａｌｌｙ ｔｈｅｎ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｅｘ— ｐｒｅｓｓｉｏｎｓ ｏｆ ｏｐｔｉｍａｌ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｓｔｒａｔｅｇｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｔｉｍｅｖａｒｙｉｎｇ ｖｏ！ａｔｉｌｉｔｙ；Ｈｕｌｌ－Ｗｈｉｔｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｒａｔｅ ｍｏｄｅｌ；ｄｙｎａｍｉｃ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ；Ｂｅｌｌｍａｎ ｐｒｉｎ— ｃｉｐｌｅ ｏｆ ｏｐｔｉｍａｌｉｔｙ；ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｕｔｉｌｉｔｙ ｍａｘｉｍｉｚａｔｉｏｎ （责任编辑：张冬冬）
