高二数学上学期期末考试试题 理 新人教通用版

2019高二年级期末考试 数学试卷（理科）

时量：120分钟 总分：150分 命题人：

班级__________ 姓名___________ 考号___________

一．选择题 （每小题5分，共60分）

1．已知复数za4a2iaR，则“a2”是“z为纯虚数”的 （ ）

2A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件

x2y22．已知双曲线1的一焦点与抛物线y28x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方

3b程为( ) A. y3．已知A.

13x B. y3x C. yx D. y3x 33，如果

B.

，

，则( )

C.

D.

4．用数学归纳法证明等式1222n1n2n1222212n2n213，

当nk1时，等式左端应在nk的基础上加上（ ）

122k11 k1315．命题p:xR， x2axa20，命题q:xR，使得x2，则下列命题中

xA. k12k2 B. k1k2 C. k1 D.

222为真命题的是（ ）.

A. pq B. pq C. pq D. pq

6．已知a(2,1,3),b(1,4,2),若a,b,c三个向量共面，则实数c（，4，5）桑水

（ ）

A．-1 B．0 C．1 D．5

7．学校艺术节对同一类的a,b,c,d四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“是c或d作品获得一等奖”; 乙说:“b作品获得一等奖”;

丙说:“a,d两项作品未获得一等奖”; 丁说:“是c作品获得一等奖”.

若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是：（ ）

A. a B. b C. c D. d 8.若函数f（x）=

，则f(x)是（ ）

A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数 C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数

9．直三棱柱ABCA1B1C1中， BCA90， CACC12CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（ ）

A. 32555 B. C. D. 553510．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则

999a2a3a3a4a4a59等于( )

a2015a2016

A.

2012201320142014 B. C. D. 2013201220152013，给出下列结论：

11．已知函数f（x）=

①（1，+∞）是f（x）的单调递减区间；

②当k∈（﹣∞，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点； ③函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点．

桑水

其中正确结论的序号是（ ） A．①②③

B．①②

2 C．①③ D．②③

12．如图，已知抛物线y4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆

x12y21于点A,B,C,D四点，则AB4CD的最小值为（ ） 4

A.

11131517 B. C. D. 2222二.填空题 （每小题5分，共20分） 13．设i为虚数单位，若复数z14．由函数

，

aiaR的实部与虚部互为相反数，则a_____ 12i的图象及两坐标轴围成的图形（如图中的

阴影部分）的面积是__________．

x2y215．点F为双曲线C:221a0,b0的右焦点，以F为圆心

ab的圆过坐标原点O，且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率为__________．

16．已知函数fxxR满足f11，且fx的导函数f(x)满足fx1，则3fx

x2的解集为_____________ 33三．解答题 （ 17题10分，18题至22题每小题12分，共 70分） 17．设函数fx2x2x2. （1）求不等式fx2的解集；

桑水

（2）xR， fxt27t恒成立，求实数t的取值范围. 2

18．如图，有一边长为6的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒．

（1）试用表示方盒的容积（2）求方盒容积

19．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为{，并写出的范围；

的最大值及相应的值．

x3cosysin （为参数)，以原点O为

极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线C2的极坐标方程为sin(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.

42

4(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.

20．如图在棱锥PABCD中， ABCD为矩形， PD面ABCD， PB2， PB与面PCD成450角， PB与面ABD成300角.

（1）在PB上是否存在一点E，使PC面ADE，若存在确定E点位置，若不存在，请说明理由；

（2）当E为PB中点时，求二面角PAED的余弦值.

桑水

3x2y231,21.已知椭圆C:221ab0经过点P，离心率。 eab22（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设过点E0,2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，0为坐标原点，求OPQ的面积的最大值。

22．已知函数f（x）=x﹣（a+2）x+alnx（a为实常数）． （1）若a=﹣2，求曲线 y=f（x）在x=1处的切线方程； （2）讨论函数f（x）在[1，e]上的单调性；

（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．

2

桑水

2019高二年级期末考试

数学试卷参

一选择题。

1．已知复数za4a2iaR，则“a2”是“z为纯虚数”的 （ ）

2A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D

x2y22．已知双曲线1的一焦点与抛物线y28x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方

3b程为( ) A. y13x B. y3x C. yx D. y3x 33【答案】C 3．已知A.

，如果 B.

C.

， D.

，则( )

【答案】B

4．用数学归纳法证明等式1222n1n2n1222212n2n213，

当nk1时，等式左端应在nk1的基础上加上（ ） A. k12k2 B. k1k2 C. k1 D. 【答案】B

5．命题p:xR， x2axa20，命题q:xR，使得x222122k11 k1312，则下列命题中x为真命题的是（ ）.

A. pq B. pq C. pq D. pq 【答案】C

6．已知a(2,1,3),b(1,4,2),若a,b,c三个向量共面，则实数c(4,5,),（ ）

桑水

A．-1 B．0 C．1 D．5 【答案】D

7．学校艺术节对同一类的a,b,c,d四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“是c或d作品获得一等奖”; 乙说:“b作品获得一等奖”;

丙说:“a,d两项作品未获得一等奖”; 丁说:“是c作品获得一等奖”.

若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是 A. a B. b C. c D. d 【答案】B 8．若函数f（x）=

，则f(x)是（ ）

A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数 C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】C

9．直三棱柱ABCA1B1C1中， BCA90， CACC12CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（ ） A.

32555 B. C. D.

5535【答案】D

10．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，

999相应的图案中总的点数记为an，则

a2a3a3a4a4a59等于( )

a2015a2016

A.

2012201320142014 B. C. D. 2013201220152013【答案】C

桑水

11．已知函数f（x）=，给出下列结论：

①（1，+∞）是f（x）的单调递减区间；

②当k∈（﹣∞，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点； ③函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点． 其中正确结论的序号是（ ）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C

12．如图，已知抛物线y4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆

2x12y21于点A,B,C,D四点，则AB4CD的最小值为（ ） 4

A.

11131517 B. C. D. 2222【答案】B 二.填空题

13．设i为虚数单位，若复数z【答案】 14．由函数是__________．

，

的图象及两坐标轴围成的图形（如图中的阴影部分）的面积

aiaR的实部与虚部互为相反数，则a_____12i53

桑水

【答案】

x2y215．点F为双曲线C:221a0,b0的右焦点，以F为圆心的圆过坐标原点O，

ab且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】2

'16．已知函数fxxR满足f11，且fx的导函数fx1x2，则fx333的解集为（ ） 【答案】xx1

三．解答题

17．设函数fx2x2x2. （1）求不等式fx2的解集； （2）xR， fxt27t恒成立，求实数t的取值范围. 2x4,x1【答案】 (1) f(x)= {3x,1x2 ,当x<-1时，解得x<-6;

x4,x2.当-1x2时，解得当x>2时，x>2.

2x2； 323（-，）（-6，）综上：x。 ……………………5分

（2）由（1）f（x）最小值为f(-1)=-3,即： t273t3解得t2 22……………………10分

桑水

18．如图，有一边长为6的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒．

（1）试用表示方盒的容积（2）求方盒容积【答案】（1）相应的值为1. 试题解析：

，并写出的范围；

的最大值及相应的值．

，

；（2）方盒容积

的最大值为16，

（1）由题意，无盖方盒底面是边长为

其中，满足：（2）由（1）知：

，

的正方形，高为，从而有：

……………………6分 ，

若 故方盒容积

在在

，则；若，则上单调递减

上单调递增，在

处取得极大值，也是最大值

的最大值为16，相应的值为1。……………………12分

19．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为{x3cosysin （为参数)，以原点O为

极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线C2的极坐标方程为sin(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.

42

4(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.

31x22P【答案】(1) C1: (2) ， y1;C2:xy8032, 223桑水

试题解析： (1) 对于曲线C1有

x2cosxx22222C{3  ，即的方程为： ycossin1y1； 133ysin对于曲线C2有sin2cossin42  cossin8 42xy80，所以C2的方程为xy80. ……………………6分

(2) 显然椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上点P3cos,sin到直线xy80的

距离为：

d2sin8， 3cossin832231sin1当时， d取最小值为32，此时点P的坐标为,.…………12分

322

20．如图在棱锥PABCD中， ABCD为矩形， PD面ABCD， PB2， PB与面PCD成450角， PB与面ABD成300角.

（1）在PB上是否存在一点E，使PC面ADE，若存在确定E点位置，若不存在，请说明理由；

（2）当E为PB中点时，求二面角PAED的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）试题解析：

3 3桑水

（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需DEPC0即可，所以由DPPEPC0DPPCPEPC0PE1,即存在点E为PC中点 法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ， 由题意知PD＝CD＝1，CE2，

设PEPB， PEPB2,1,1，

PC0,1,1,

由PCDEPC(DPPE)0,1,12,,10，得

1， 2

即存在点E为PC中点。 ……………………6分

（2）由（Ⅰ）知D0,0,0， A2112,0,0， E2,2,2， P0,0,1

DA2112,0,0， DE2,2,2， PA2112,0,1， PE2,2,2

设面ADE的法向量为n1x1,y1,z1，面PAE的法向量为n2x2,y2,z2

由的法向量为{n1DA0n1DE0 得， { 得n10,1,1 112x1y1z10222x10同理求得n21,0,2 所以cosn1n1n1|n1|3 3故所求二面角P－AE－D的余弦值为

3. ……………………12分 3

桑水

3x2y23P1,21．已知椭圆C:221ab0经过点，离心率。 e2ab2（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过点E0,2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，求OPQ的面积的最大值。 试题解析： （Ⅰ）由点P1,3131① 在椭圆上得， 222a4b又e3c3② ,所以2a2222x2由①②得c3,a4,b1，故椭圆C的标准方程为y21………………4分

4

（II）当lx轴时不合题意，故设l:y=kx2,Px1,y1,Qx2,y2.

x222将ykx2代入y21得 4k1x16kx120.

4

144k23SOPQ=dPQ. 224k1设4k23t,则t0,SOPQ4t4.24t4tt47因为t4,当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.t2OPQ的面积最大值为1

……………………12分

22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx（a为实常数）． （1）若a=﹣2，求曲线 y=f（x）在x=1处的切线方程；

桑水

（2）讨论函数f（x）在[1，e]上的单调性；

（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤0成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）y﹣1=0； （2）见解析； （3）a≥﹣1

解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，∴f′（x）=2x﹣2•，

∴f′（1）=0，又f（1）=1，∴，所求切线方程为y﹣1=0；……………………2分

（2）求导数可得x∈[1，e]， 当当减；

时，f′（x）＞0，f（x）在

当

（3）当a≤2时，∵f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）的最小值为f（1）=﹣a﹣1，∴﹣1≤a≤2

当2＜a＜2e时，f（x）在∴f（x）的最小值为∵∴

，

，∴2＜a＜2e 上单调减，在

上单调增，

，

上单调增；

即a≤2时，x∈[1，e]，f′（x）≥0，此时，f（x）在[1，e]上单调增；

即2＜a＜2e时，

时，f′（x）＜0，f（x）

上单调

，

即a≥2e时，x∈[1，e]，f′（x）≤0，此时，f（x）在[1，e]上单调减；…7分

当a≥2e时，f（x）在[1，e]上单调减，∴f（x）的最小值为f（e）=e2﹣（a+2）e+a， ∵

，∴f（e）＜0，∴a≥2e

桑水

综上可得a≥﹣1． ……………………12分

桑水