《经济数学基础3》形考作业二讲评

(满分100分)

第3章 随机变量与数字特征（上）

一、单项选择题(每小题2分，共18分)

30121、设离散型随机变量X的分布列为 X~，若c为常数，F(x)为分布

0.2c0.30.1函数，则（B）。

A. c0.4,F(2)0.3 B. c0.4,F(2)0.9 C. c0.3,F(2)0.3 D. c0.3,F(2)0.9

分析：根据概率分布的性质pk1，可以确定c=0.4，可以排除C、D，再根据分布

k（x）=P(Xx)，F(2)P(X2)P(X0)P(X1)P(X2)0.20.40.30.9,函数F故本题选B。

2、设离散型随机变量X的分布列为P(Xk)a(k1,2,,n)，则a（D）。 3n1 A. B. 1 C. 2 D. 3

3分析：根据概率分布的性质pk1，由于P(Xk)ka(k1,2,,n) 3n即1pkP(X1)P(X2)P(Xn)nka，求得a3，故选D。 3nAx,3、设随机变量X的密度函数的是f(x)0, A. 2 B. 3 C.

0x2其它 ，则A（C）。

11 D. 23分析：根据连续型随机变量概率密度函数性质12f(x)dx来考虑。

11221f(x)dxAxdxAx2A，解得A,故选C。

02204、设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，则对任意的区间(a,b)，则P(aXb)（D）。

A. F(a)F(b) B. F(x)dx C. f(a)f(b) D. f(x)dx

aabb 1

分析：参看教材P119定义3.2，故选D。

c,3x55、设随机变量X服从均匀分布，其概率密度函数为f(x) ，则c（B）。

其它0,11 A. B. C. 1 D. 2

32分析：根据连续型随机变量概率密度函数性质15f(x)dx来考虑。

115f(x)dxcdxcx32c，解得c，故选B。

236、设随机变量X~()（泊松分布），且已知P(X2)P(X3)，则常数（C）。 A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 分析：根据泊松分布的定义P(Xk)由P(X2)P(X3)，则有

kk!e （k0,1,2,；0）

22!e33!e，解得=3，故选C。

7、设随机变量X~N(0,1)，又常数c满足P(Xc)P(Xc)，则c（B）。 A. 1 B. 0 C.

1 D. 1 2P(Xc)1-P(Xc)=P(Xc)分析：根据标准正态分布的定义，，故选B。 1P(Xc)=，即(c)0.5，查表知c=028、每张奖券中末尾奖的概率为0.1，某人购买了20张号码杂乱的奖券，设中末尾奖的张数为X，则X服从（C）。

A.泊松分布 B. 指数分布 C.二项分布 D. 正态分布 分析：由于购买奖券只有两个结果：中奖与未中奖，购买了20张，即这种试验重复了20次，随机变量服从二项分布。故选C。

9、设随机变量X~N(3,2)，则X的概率密度函数f(x)（B）。

1x21(x43) A. e(x) B. e(x)

221(x43)1(x43)C. e(x) D. e(x)

22分析：参看教材P123正态分布的定义，故选B

2

2222二、填空题(每小题2分，共18分)

1、设随机变量X~()，且已知P(X1)P(X2)，则常数P(X4)22e。 3分析：根据泊松分布的定义P(Xk)由P(X1)P(X2)，则有

kk!e （k0,1,2,；0）

1!e24222e，解得=2，P(X4)e=e 2!4!32x00,2、设随机变量X~U(0,1)，则X的分布函数F(x)x,0x1。

1,x1分析：由X~U(0,1)，知a0,b1，根据教材P133均匀分布的分布函数，知

x00,F(x)x,0x1。

1,x13、设每次打靶中靶的概率是p，则10次射击中至多有2次中靶的概率为

(1p)8(36p28p1)。

分析：设X表示10次射击中中靶的次数，则X~B(10,p)，10次射击中至多有

P(X0)P(X1)P(X2)1010102次中靶的概率为p0(1p)10p1(1p)9p2(1p)8

012(1p)8(18p36p2)4、设X~N(,2)，则P(|X|3)0.9974。

分析：由X~N(,2)，P(|X|3)P(3X3)P(3P126相关内容，知

XN(0,1),所以

X3),根据

P(|X|3)(3)(3)(3)(1(3))2(3)120.998710.9974

x5、设(x)1t2edt，则(0)0.5。 22分析：这是标准正态分布的分布函数，查表知(0)0.5

6、设随机变量X的分布函数F(x)ABarctanx(x)，则常数A11，B。 23

分析：根据P131分布函数的基本性质limF(x)0,limF(x)1，则有

xx1AAB()0limF(x)lim(ABarctanx)0xx22,即，解得 limF(x)lim(ABarctanx)1B1xxAB()127、设随机变量X的分布函数是F(x)，则P(aXb)F(b)F(a)。 分析：参看教材P131分布函数定义。

8、已知连续型随机变量X的分布函数F(x)，且密度函数f(x)连续，则f(x)F(x)。 分析：参看经济数学基础1，变上限定积分部分内容。

9、设随机变量X~N(13,52)，且P(Xk)0.8413，则k18。 分析：由X~N(13,52)，YP(Xk)P(查表知kXkXN(0，1)，所以

)(k)0.8413=k13=1，解得k185

三、解答题(每小题8分，共分)

1、袋中装有5个大小、形状相同的球，编号为1~5，现从中任取3个球，设X表示取出的3个球中最大号码数，

试求（1）X的概率分布列； （2）X的分布函数F(x)； （3）P(2X4.5)。

3分析：（1）任取3个球，全部可能的取法有C510,X表示取出的3个球中最大号码数.

若X=3，那么剩余两个数字只能是1和2，即只有1种可能的结果；

若X=4，剩余的两个数字可以从1、2、3三个数字中任选两个，有C323种可能的结果；

2若X=5，剩余的两个数字可以从1、2、3、4四个数字中任选两个，有C46种可能的结

果。

（2）

P(X3)0;P(3X4)P(X3)P(X3)0.1;P(4X5)P(X4)P(3X4)0.10.30.4P(X5)P(4X5)P(X5)0.40.61

（3）根据离散型随机变量分布函数定义（P132）

453解答：（1） X~ ；

0.10.30.6

4

x30,0.1,3x4（2）F(x) ；

0.4,4x5x51,（3）P(2X4.5)P(X3)P(X4)0.10.30.4 。

2、已知100个产品中有5个次品，现从中任取1个，有放回地取3次，求在所取的3个产品中恰有2个次品的概率。

111分析：100个产品，有放回地取3次，每次取1个，共有C100C100C1001003种取法。

恰有2个次品，意味着在有放回地3次取法中，2次取到次品，一次取到正品，这个结

111果是明确的，这样就有C5C5C959552种取法。

9552解答：所取的3个产品中恰有2个次品的概率为 。 31003、设随机变量X的概率分布列为

1234560X~，试求P(X4),P(2X5),P(X3)。

0.10.150.20.30.120.10.03分析：根据离散型随机变量分布函数定义（P132） 解答：P(X4)0.10.150.20.30.120.87 ； P(2X5)0.20.30.120.10.72 ；

P(X3)1P(X3)10.30.7。

4、设随机变量X具有概率密度

2x,f(x)0,0x其它 试求（1） ； （2） P(X0.5),P(0.25X2)。

分析：（1）由概率密度函数性质确定，本题要求掌握定积分计算知识；

（2）由连续型随机变量的定义确定，本题要求掌握定积分计算知识。

2f(x)dx2xdxx2|011 ；

0解答：（1）

0.5P(X0.5)2xdx0.25 ；010.25（2）

P(0.25X2)2xdx15 。16。

5、已知某型号电子管的寿命X（单位：h）服从指数分布，其概率密度为

5

x11000e,f(x)1000x0 ，一台仪器中有3只此类型电子管，任一只损坏时仪器便

0,其它不能正常工作，求仪器正常工作1000h以上的概率。

分析：参看教材P122指数分布相关内容

1000解答：P(X1000)1P(X1000)11x100001000edx1e。 0,x06、设随机变量X的分布函数为 F(x)Ax2,0x1 ，试求：（1）常数A；1,x1（2）X的密度函数f(x)。

分析：（1）根据连续型随机变量在分段点处的连续性来确定常数A。

（2）变上限定积分的相关知识（或原函数概念）F(x)f(x)

解答：（1）由limx1F(x)F(1)1，得lim2x1AxA1； （2）f(x)2x,0x1 。

0,其它7、设随机变量X~N(2,0.04)，计算⑴P(1.8X2.4)；⑵P(|X2|0.2)。 分析：将正态分布转化为标准正态分布。X~N(2,0.04)，那么有

YXN(0，1)，然后利用标准正态分布的计算方法进行计算。

解答：（1） P(1.8X2.4)P(1.820.2X20.22.420.2)P(1X20.22)； (2)(1)0.97720.841310.8185P|X2|0.21P(|X2|0.2)1P(0.2X20.2)（2）1P(1X20.21)1[(1)(1)]2[1(1)]。

2(10.8413)0.31748、设随机变量X~N(1,0.)，计算（1）P(0.2X1.8)；（2）P(X0)。 分析：将正态分布转化为标准正态分布。X~N(1,0.)，那么有

YXN(0，1)，然后利用标准正态分布的计算方法进行计算。

6

0.21X11.81X1)P(11)解答：（1） ； 0.80.80.80.8(1)(1)20.841310.6826P(0.2X1.8)P(X101X1)1P(1.25)（2）。 0.80.80.81(1.25)(1.25)0.44PX01P(X0)1-P(

7