浙江省杭州市拱墅区2014～2015学年度八年级(下)期末数学试卷(含答案解析)

期末数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，有一个是正确的，请选出正确的选项.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案）1．下列各图形都由若干个小正方形构成，其中是中心对称图形的是（

）

A．B．C．D．

2．二次根式A．x＜1

B．x≤1

中，字母x的取值范围是（）

C．x≠1

D．x＞1）

3．如图，对比甲、乙两组数据，下列结论中，正确的是（

A．甲乙两组数据的方差相等C．乙组数据的方差较大4．下列计算正确的是（A．

=±8

B．

）

B．甲组数据的方差较小D．乙组数据的方差较小

C．4=1D．

5．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（A．x2+1=0

B．x2+4x﹣4=0C．x2+x+=0

）D．x2﹣x+=0

6．下列命题正确的是（）

A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C．如果顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是正方形D．对角线相等的四边形是矩形

7．某型号手机原来销售单价是4000元，经过两次降价促销，现在的销售单价是2560元，若两次降价的百分率相同都是n，则可得方程（A．4000（1﹣n）=2560C．4000（1﹣n）2=2560

）

B．4000（1﹣2n）=2560D．2560（1+n）2=4000

）

8．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（A．四边形中没有一个角是钝角或直角C．四边形中没有一个角是锐角

B．四边形中至多有一个钝角或直角D．四边形中没有一个角是钝角

9．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，等积线被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”（例如三角形的中线就是三角形的等积线段）．已知菱形的边长为4，且有一个内角为60°，设它的等积线段长为m，则m的取值范围是（A．m=4或m=410．对于函数

B．4≤m≤4

C．2

D．2

≤m≤4

）

（k＞0）有以下四个结论：

②当x＞0时，y的值随着x的增大而减小；

①这是y关于x的反比例函数；

③函数图象与x轴有且只有一个交点；④函数图象关于点（0，3）成中心对称．其中正确的是（A．①②

）B．③④

C．①②③

D．②③④

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分.注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.）

11．在直角坐标系中，点（﹣4，1）关于原点对称的点的坐标是

．

12．已知5个数据的平均数是7，另外还有3个数据的平均数是k，则这8个数据的平均数是（用关于k的代数式表示）．

13．一个多边形的每一个内角都是140°，则这个多边形是

14．关于的x一元二次方程2x2+mx﹣m+3=0的一个根是﹣1，则m的值是个根是

．

的图象上，以OP为边作正方形

．

边形．

，方程的另一

15．在直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，m）在函数OPQR，则OP=

；若反比例函数

经过点Q，则k=

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群16．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∠A=135°．将纸片先沿直线AC对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为

的平行四边形，则CD=

．

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.）

17．某生产小组有15名工人，调查每个工人的日均零件生产能力，获得如表数据：

日均生产零件的个数（个）56710工人人数（人）322341（1）求这15名工人日均生产零件的众数、中位数、平均数．(2)为提高工作效率和工人的工作积极性，生产管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，如果你是管理者，你将如何确定这个定额？请说明理由．

18．计算（1）

(2)

（3）已知m=+2，n=

﹣2，求m2﹣mn+n2的值．

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群19．解方程（1）x2﹣4x+1=0

(2)（x﹣3）2﹣4x2=0．

20．如图，线段AC是菱形ABCD的一条对角线，过顶点A、C分别作对角线AC的垂线，交CB、AD的延长线于点E、F．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AD=5，AE=8，求四边形AECF的周长．

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群21．已知常数a（a是整数）满足下面两个要求：

①关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根；②反比例函数（1）求a的值；

在所给直角坐标系中用描点法画出当x＞4时，y的取值范围是

的图象，并根据图象写出：；当y＜1时，x的取值范围是

．

的图象在二，四象限．

22．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆．租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车每辆每月只需维护费100元．

（1）当每辆车的月租金为4600元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？

(2)规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群23．已知O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，且∠AOC=45°，设OA=

，反比例函数

在第一象限内的图象经过点A，交BC于点D，D是BC边的中点．

（1）如图1，当a=4时，求k的值及边OC的长；

(2)如图2，连结AD、OD，若△OAD的面积是27，求a的值及点B的坐标．

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群参与试题解析一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，有一个是正确的，请选出正确的选项.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案）1．下列各图形都由若干个小正方形构成，其中是中心对称图形的是（

）

A．B．C．D．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答．【解答】解：A、C、D都不是中心对称图形，只有C是中心对称图形．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．www.czsx.com.cn2．二次根式

中，字母x的取值范围是（

）

A．x＜1B．x≤1C．x≠1D．x＞1

【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．

【分析】直接利用二次根式有意义的条件，进而得出x的取值范围．【解答】解：∵二次根式

有意义，

∴1﹣x＞0，解得：x＜1，

∴字母x的取值范围是：x＜1．故选：A．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．

3．如图，对比甲、乙两组数据，下列结论中，正确的是（）

A．甲乙两组数据的方差相等

333709421杭州小学，初中免费资料群B．甲组数据的方差较小C．乙组数据的方差较大D．乙组数据的

333709421杭州小学，初中免费资料群方差较小

【考点】方差；折线统计图．

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群【分析】折线统计图即可表示各种数量的多少，又可反映出数量的增减变化趋势；图中折线越起伏的表示数据越不稳定，反之，表示数据越稳定，由此即可找出答案．

【解答】解：从图中可以看出：甲组数据的折线统计图起伏较大，所以甲组数据的方差较大，乙组数据的方差较小；故选D．

【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

4．下列计算正确的是（A．=±8B．

）C．4

=1D．

【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．

【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．【解答】解：A、原式=8，所以A选项计算错误；B、原式==正确；C、原式=D、原式=故选B．

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

，所以C选项计算错误；=2，所以，D选项计算错误．

=

，所以，B选项计算

5．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（A．x2+1=0

B．x2+4x﹣4=0

）

C．x2+x+=0D．x2﹣x+=0

【考点】根的判别式．

【分析】直接利用根的判别式分别分析各选项，即可求得答案．【解答】解：A、∵a=1，b=0，c=1，

∴△=b2﹣4ac=02﹣4×1×1=﹣4＜0，∴此一元二次方程无实数根；

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群B、∵a=1，b=4，c=﹣4，

∴△=b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣4）=32＞0，∴此一元二次方程有两个不相等的实数根；

C、∵a=1，b=1，c=，

∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×=0，

∴此一元二次方程有两个相等的实数根；

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群D、∵a=1，b=﹣1，c=，

∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×=﹣1＜0，∴此一元二次方程无实数根．故选C．

【点评】此题考查了根的判别式．注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．

6．下列命题正确的是（相垂直的平行四边形是菱形

）A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互

C．如果顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是正方形D．对角线相等的四边形是矩形【考点】命题与定理．【专题】计算题．

【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据正方形的性质和三角形中位线性质对C进行判断；根据矩形的判定方法对D进行判断．

【解答】解：A、一组对边平行，这组对边相等的四边形是平行四边形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项正确；C、如果顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形的对角线垂直且相等，所以C选项错误；D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以D选项错误．故选B．

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

7．某型号手机原来销售单价是4000元，经过两次降价促销，现在的销售单价是2560元，若两次降价的百分率相同都是n，则可得方程（A．4000（1﹣n）=2560

）

B．4000（1﹣2n）=2560C．4000（1﹣n）2=2560D．2560（1+n）2=4000

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．

【分析】设该型号手机平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是4000（1﹣n），第二次后的价格是4000（1﹣n）2，据此即可列方程求解．

【解答】解：根据题意得：4000（1﹣n）2=2560．故选C．

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．

8．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（A．四边形中没有一个角是钝角或直角

）

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群B．四边形中至多有一个钝角或直角C．四边形中没有一个角是锐角D．四边形中没有一个角是钝角【考点】反证法．

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．

【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．故选：A．

【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

9．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，等积线被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”（例如三角形的中线就是三角形的等积线段）．已知菱形的边长为4，且有一个内角为60°，设它的等积线段长为m，则m的取值范围是（A．m=4或m=4

B．4≤m≤4

C．2

D．2

≤m≤4

）

【考点】菱形的性质．【专题】新定义．

【分析】由题目所提供的材料信息可知当菱形的“等积线段”和边平行时最小，当“等积线段”为菱形的对角线时最大，由此可得问题答案．

【解答】解：由“等积线段”的定义可知：当菱形的“等积线段”和边平行时最小，此时直线l⊥DC，过点D作DN⊥AB于点N，则∠DAB=60°，AD=4，故DN=AD•sin60°=2

，当“等积线段”为菱形的对角线时最大，则DO=2，故AO=2，则m的取值范围是：2

．故选：C．

，即AC=4

【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，读懂题意，弄明白”等积线段”的定义，并准确判断出最短与最长的“等积线段”是解题的关键．

10．对于函数（k＞0）有以下四个结论：

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群①这是y关于x的反比例函数；③函数图象与x轴有且只有一个交点；（A．①②

）B．③④

②当x＞0时，y的值随着x的增大而减小；

④函数图象关于点（0，3）成中心对称．其中正确的是

C．①②③D．②③④

【考点】反比例函数的性质．

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群【分析】根据反比例函数的定义与性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：①∵此函数可化为y=3+，不符合反比例函数的形式，

∴不是y关于x的反比例函数，故本小题错误；

②∵反比例函数y=（k＞0）中，当x＞0时，y的值随着x的增大而减小，

∴函数y=3+中，当x＞0时，y的值随着x的增大而减小，故本小题正确；

③∵一次函数y=3与x轴只有一个交点，

∴函数y=3+与x轴只有一个交点，故本小题正确；

④∵反比例函数y=（k＞0）的图象关于原点对称，

∴函数图象关于点（0，3）成中心对称，故本小题正确．故选D．

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，先根据题意把原函数化为y=3+的形式，再由一次函数和反比例函数的性质即可得出结论．

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分.注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.）

11．在直角坐标系中，点（﹣4，1）关于原点对称的点的坐标是【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点（﹣4，1）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣1），故答案为：（4，﹣1）．

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

（4，﹣1）．

12．已知5个数据的平均数是7，另外还有3个数据的平均数是k，则这8个数据的平均数是（用关于k的代数式表示）．【考点】加权平均数．

【分析】根据平均数的计算方法先求出5个数据的和和另外3个数据的和，再把这些和相加除以8即可得出答案．

【解答】解：∵5个数据的平均数是7，

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群∴这5个数据的和是7×5=35，∵另外还有3个数据的平均数是k，∴另外3个数据的和是3k，∴这8个数据的平均数是

；故答案为：．

333709421杭州小学，初中免费资料群333709421杭州小学，初中免费资料群【点评】此题主要考查了平均数的计算方法．根据平均数的计算方法分别求出5个数据的和和另外3个数据的和是解题的关键．

13．一个多边形的每一个内角都是140°，则这个多边形是九【考点】多边形内角与外角．

边形．

【分析】首先求得这个多边形的一个外角的度数，用360°除一个外角的度数即可求得多边形的边数．【解答】解：180°﹣140°=40°，360°÷40°=9．故答案为：九．

【点评】本题主要考查的是多边形的内角和与外角，利用多边形的外角和是360°求解是解题的关键．

14．关于的x一元二次方程2x2+mx﹣m+3=0的一个根是﹣1，则m的值是

．

【考点】一元二次方程的解．

，方程的另一个根是

【分析】由于x=﹣1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后解方程可以求出方程的另一根．

【解答】解：∵x=﹣1是关于x的一元二次方程2x2+mx﹣m+3=0的一个根，

∴2×（﹣1）2﹣m﹣m+3=0，∴m=，

将m=代入方程得4x2+5x+1=0，解之得：x=﹣1或x=﹣．

∴方程的另一根为x=﹣，故答案为：，．

【点评】此题考查了一元二次方程的根的定义，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数m的值，然后解方程就可以求出方程的另一个根．

15．在直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，m）在函数OPQR，则OP=

2；若反比例函数

经过点Q，则k=

的图象上，以OP为边作正方形

．

2或﹣2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

第10页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群【分析】把P（1，m）代入即可求得m的值，然后根据勾股定理求得OP的长，作PM⊥x轴

，从而求得Q的坐标，

于M，QN⊥PM于N，通过证得△POM≌△QPN，得出PN=OM=1，NQ=PM=把Q点的坐标代入

即可求得k的值．

第10页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群【解答】解：∵点P（1，m）在函数的图象上，

∴m=

，

∴P（1，），

∴OP=

=2，

如图，作PM⊥x轴于M，QN⊥PM于N，

∵OM=1，PM=

∴tan∠POM=∴∠POM=60°，∴∠OPM=30°

=

，，

∴∠QPN=90°﹣30°=60°，

∴∠POM=∠QPN，在△POM和△QPN中，

∴△POM≌△QPN，∴PN=OM=1，NQ=PM=∴Q1（1+

，

，

，1+

），

﹣1），同理证得Q2（1﹣

）（1﹣

∴k=（1+

）×（﹣1）=2，或k=（1+）=﹣2，

故答案为2，2或﹣2．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求得Q点的坐标是解题的关键．

第11页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群16．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∠A=135°．将纸片先沿直线AC对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为

的平行四边形，则CD=

2+或2+2．

第12页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群【考点】翻折变换（折叠问题）；剪纸问题．

【分析】根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾股定理得出CD的长．【解答】解：如图1所示：

延长BE交CD于点N，过点A作AT⊥BE于点T，当四边形ABED为平行四边形，

∵CD=BC，

∴四边形ABED是菱形，

∵∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD∥BN，AB∥DE，

∴∠ABT=45°，∠BAT=45°，∠ABT=∠DEN=45°，∠END=90°，则∠NDE=45°，∵四边形ABCE面积为2∴设AT=x，则AB=BE=ED=

解得：x=

，

x，故

x×x=2

，

（负数舍去），则BE=ED=2，EN=，

+

+2=2+2

；

故DC=DN+NC=如图2，

当四边形AECF是平行四边形，

∵AE=AF，

∴平行四边形AECF是菱形，∵∠B=∠D=90°，∠BAD=135°，

第13页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群∴∠BCA=∠DCA=22.5°，∵AE=CE，∴∠AEB=45°，

第14页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群∴设AB=y，则BE=y，AE=∵四边形AECF面积为2∴AB×CE=

解得：y=

y2=2

，

，

y，

，故CE=2，BE=，则CD=BC=2+或2+2

．故答案为：

，

或

．

综上所述：CD的值为：2+

【点评】此题主要考查了翻折变换，剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质，根据题意画出正确图形是解题关键．

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.）

17．某生产小组有15名工人，调查每个工人的日均零件生产能力，获得如表数据：日均生产零件的个数（个）5

6

7

8

9

10

工人人数（人）322341

（1）求这15名工人日均生产零件的众数、中位数、平均数．为提高工作效率和工人的工作积极性，生产管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，如果你是管理者，你将如何确定这个定额？请说明理由．

【考点】众数；加权平均数；中位数．

【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的意义分别进行解答即可；根据中位数是8，并且有一半以上的人能够达，确定这个定额是8会更好一些．

【解答】解：（1）∵9出现多了4次，出现的次数最多，

∴众数是9个；平均数：

把这些数从小到大排列，最中间的数是8，则中位数是8个；

=7.4（个）；

确定这个定额是8，因为中位数是8，有一半以上的人能够达到．

【点评】此题考查了平均数、众数、中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．

18．计算（1）

第15页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群（3）已知m=+2，n=

﹣2，求m2﹣mn+n2的值．

【考点】二次根式的化简求值．【分析】（1）根据

=|a|，（

）2=a（a≥0）进行化简即可；先化简，再计算即可；

（3）先把m2﹣mn+n2=（m﹣n）2+mn，计算mn和m﹣n即可．【解答】解：（1）

；

第16页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群；

（3），

时，

∴m﹣n=4，mn=1，

∴m2﹣mn+n2=（m﹣n）2+mn=42+1=17．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，以及二次根式的性质：识点．

=﹣a（a≤0）及分母有理化的知

19．解方程（1）x2﹣4x+1=0（x﹣3）2﹣4x2=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．

【分析】（1）方程变形后，利用配方法求出解即可；方程变形后，开方即可求出解．

【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=3，即（x﹣2）2=3，开方得：x1=2+，x2=2﹣

；方程整理得：（x﹣3）2=4x2，开方得：x﹣3=2x或x﹣3=﹣2x，解得：x1=1，x2=﹣3．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

20．如图，线段AC是菱形ABCD的一条对角线，过顶点A、C分别作对角线AC的垂线，交CB、AD的延长线于点E、F．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；若AD=5，AE=8，求四边形AECF的周长．

【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质．

【分析】（1）利用平行线的判定方法得出AE∥CF，再利用菱形的对边平行得出AF∥CE，进而得出答案；

利用菱形的性质结合平行线的性质得出∠BAE=∠E，进而得出BE=AB，再利用平行四边形的性质得出答案．

【解答】（1）证明：∵AE⊥AC，CF⊥AC，

∴AE∥CF，∵菱形ABCD，

第17页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群∴AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形；

第18页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA

∵AE⊥AC，

∴∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°，

∴∠BAE=∠E，∴AB=EB，

∵AD=5，

∴AB=EB=BC=5，

∵AE=8，

∴AE+EC=18，

∵四边形AECF是平行四边形，

∴四边形AECF的周长是36．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及菱形的性质、平行线的性质等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．

21．已知常数a（a是整数）满足下面两个要求：

①关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根；②反比例函数

的图象在二，四象限．

的图象，并根据图象写出：当x＞4

（1）求a的值；在所给直角坐标系中用描点法画出时，y的取值范围是﹣＜y＜0

当y＜1时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞0

；

．

第19页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群【考点】反比例函数的性质；根的判别式；反比例函数的图象．

第20页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群【分析】（1）先根据关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根求出a的取值范围，再由反比例函数

的图象在二，四象限得出a的取值范围，由a为整数即可得出a的值；

根据a的值得出反比例函数解析式，画出函数图象，由函数图象即可得出结论．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴△=9+4a＞0，得a＞﹣且a≠0；

∵反比例函数图象在二，四象限，

∴2a+2＜0，得a＜﹣1，

∴﹣＜a＜﹣1．

∵a是整数，

∴a=﹣2；

∵a=﹣2，

∴反比例函数的解析式为y=﹣，其函数图象如图所示；

当x＞4时，y的取值范围﹣＜y＜0；

当y＜1时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞0．故答案为：﹣＜y＜0，x＜﹣2或x＞0．

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意画出函数图象，利用函数图象求出不等式的解集是

第21页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群解答此题的关键．

22．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆．租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车每辆每月只需维护费100元．

（1）当每辆车的月租金为4600元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？

第22页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）由月租金比全部租出多4600﹣4000=600元，得出未租出6辆车，租出94辆车，进一步算得租赁公司的月收益即可；

设上涨x个100元，根据租赁公司的月收益可达到40.4万元列出方程解答即可．【解答】解：（1）因为月租金4600元，未租出6辆车，租出94辆车；

月收益：94×（4600﹣500）﹣6×100=384800（元），即38.48万元．设上涨x个100元，由题意得（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x=404000

整理得：x2﹣x+540=0解得：x1=54，x2=10，因为规定每辆车月租金不能超过7200元，所以取x=10，4000+10×100=5000．答：月租金定为5000元．

【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，掌握租赁公司的月收益的计算方法是解决问题的关键．

23．已知O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，且∠AOC=45°，设OA=

，反比例函数

在第一象限内的图象经过点A，交BC于点D，D是BC边的中点．

（1）如图1，当a=4时，求k的值及边OC的长；

如图2，连结AD、OD，若△OAD的面积是27，求a的值及点B的坐标．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）先根据a=4，OA=

，∠AOC=45°得出A点坐标，故可得出k的值，DP⊥x轴于点P，由

D是中点得出AD的长，根据等腰直角三角形的性质求出PC的长，设OC=x可得出D点坐标，代入反比例函数的解析式即可得出OC的长；

根据△OAD的面积是27，点D是中点可得出平行四边形OABC面积是54，故可得出A点坐标，由A点坐标可知反比例函数是y=进而可得出结论．

第23页（共19页），作DP⊥x轴于点P，可用a表示出D点坐标，代入反比例函数求出a的值，

333709421杭州小学，初中免费资料群【解答】解：（1）∵a=4，OA=，∠AOC=45°

∴A（4，4），∴k=16．

如图1，作DP⊥x轴于点P，

∵D是中点，∴CD=

，CP=DP=2

第24页（共19页）333709421杭州小学，初中免费资料群设OC=x，则点D（x+2，2），

∵点D在反比例函数y=的图象上，

∴2（x+2）=16，解得x=6，即OC=6；

∵△OAD的面积是27，点D是中点，∴平行四边形OABC面积是54．

∵∠AOC=45°，OA=

∴A（a，a），

a，

∴反比例函数是y=

，

∴54=OC×a，OC=．

如图2，作DP⊥x轴于点P，

∵D是中点，PC=PD=，

∴D（

+，）

∵点D在图象上，∴（

+）•=a2，解得a=±6，

∴点B（15，6）．

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求反比例函数的解析式，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用勾股定理求出D点坐标是解答此题的关键．

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