等比数列基础知识点+练习

数列专题（三）：等比数列

知识点 等比数列的基本概念和等差数列的区别与联系

1. 等比数列 等差数列

aa 定义： n1q或nq an1and或anan1danan1

公比： q 公差： d

递增数列 ：a10, q1递增数列：d0

单调性： a0,则反之 1 递减数列 ：a0, 0q1递减数列：d01 通项公式： ana1qn1 ana1n1d

①等差中项：若a,A,b呈是等差数列①等比中项：若a,A,b成等比数列 ab2 性质：  则 Aab  则 A2②若mnpq,则aaaa mnpq②若mnpq,则amanapaq

①定义法：anan1dn2,且nN*或an1and数列an为等差数列 *1等差数列的判定：②等差中项法：2anan1an1(n2,且nN)数列an为等差数列 ③通项公式法：anknb(k,b为常数)数列an为等差数列 2. anan1*①定义法：qn2,且nN或q 数列an为等比数列 2等比数列的判定：aan1n ②等比中项法：a2aa(n2,且nN*)数列a为等比数列nn1n1n

**注意：①aad(d为常数，nN)对任意的nN恒成立，不能几项成立就说an为等差数列。n1n

②an1q(q为常数，nN*)对任意的nN*恒成立，不能几项成立就说a为等比数列。 na n ①若是两个数呈等差数列，则可设为ad,ad;

1等差数列的假设②若是三个数呈等差数列，则可设为ad,a,ad; ③若是四个数呈等差数列，则可设为a3d,ad,ad,a3d.

a ①若是两个数呈等比数列，则可设为,aq;3.类比q 2等比数列的假设②若是三个数呈等比数列，则可设为a,a,aq;

q aa ③若是四个数呈等比数列，则可设为,,aq,aq3.3qq 

考点一 等比数列的通项公式：利用方程的思想求出等比数列的首项a1和公比q ana1qn1例1 1（2013北京高考）等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_________324a12a1qa1q20 ①方程①qa1qa1q20q 解：2244aqaq40 ②aqaq40q21111

等比数列 复习资料题

 2（2014江苏高考）已知等比数列an的各项均为正数，且a21，a8a62a4,则 a6________解析：①运用解方程的思想，求首项a1和公比q②若求出首项a1和公比q很麻烦，数字很大或很难处理时，有时需要整体代换2q2解：a8a62a4a1q7a1q52a1q3q4q22q4q2202a6a2q44q1舍

强化练习：1 已知等比数列an的公比为正数，且a2a69a4，a21,则 a1 11 A. 3 B. 3 C.  D. 332 已知等比数列an中，且a6a234，a6a230,则 a4  A. 8 B. 16 C. 8 D. 1623 已知等比数列an中，满足a12，a3a54a6，则 a3 11 A. B. 1 C. 2 D. 244 已知等比数列an中，且a1a2324，a3a436,则a5a6________5 已知等比数列an中，且a5a627，a7a881,则a3a4________

 ①等比中项:a,G,b成等比数列，则Gab；考点二 等比数列的性质 ②若mnpq,则amanapaq

例2 2014天津高考设an是首项为a1,公差为1 的等差数列，Sn为其前n项和，若

S1，S2，S4成等比数列，则a1 

11 A 2 B 2 C D 22

解析：利用等比中项的性质。

S，S，S成等比数列S2SS 2ad2a4a6d,代入d1解得a112421411112

例 3 2014广东高考等比数列an的各项均为正数，且a1a5=4， log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5____________则

lne1A 解析：考察知识点①lgAlgBlgAB; ②lgAlgBlg; ③lgABBlgA; ④lg101, B log10a ② 若mnpq,则amanapaqlog 2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2a1a2a3a4a5,又a1a5a2a4a3a34 log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2a1a2a3a4a5log2424log23252等比数列 复习资料题

强化练习： 1（ 2014全国高考II）等差数列an公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn nn1nn1 A. n(n1) B. nn1 C. D. 22

6x6,...的第四项等于 2（ 2013江西高考）等比数列x,3x3， A. 24 B. 0 C. 12 D. 24

3（ 2014安徽高考）数列an是等差数列，若a11,a33,a55构成公比为q的等比数列，则q___ 4（2014山东高考）等差数列an中，已知公差d2,若a2是a1与a4的等比中项，则an___________ 5（ 2014山东高考）等差数列an的公差d2,前n项和为Sn,且S1，S2，S4成等比数列，则an_____ 6（ 2014重庆高考）对任意等比数列an，下列说法一定正确的是  A. a1,a3,a9成等比数列 B. a2,a3,a6成等比数列 C. a2,a4,a8成等比数列 D. a3,a6,a9成等比数列

7等比数列an的各项均为正数，且a1a9=2，则log2a3log2a4log2a5log2a6log2a7_______

8等比数列an的各项均为正数，且a2a7=10，则lga1lga3lga4lga5lga6lga8__________

9等比数列an的各项均为正数，且a2a7=10，则lga1lga3lga4lga5lga6lga8__________ 10（ 2014广东高考）等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则

lna1lna2...lna20_____________ 11（ 2014全国高考）等比数列an中，已知a42，a55，则数列lgan的前和等于   A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

三 等比数列的判定考点 anan1*①定义法：qn2,且nN或q数列an为等比数列 aa等比数列的判定：n1n ②等比中项法：a2aa(n2,且nN*)数列a为等比数列nn1n1n

注意：在说明一个数列是等比数列的同时，必须交代首项和公比分别是什么。

*例4 1已知数列an中，an2an1n2,且nN,且a11,则通项公式an__________ 2已知各项为正数的数列a中，a13a1,且a3,则通项公式a__________ nn1n1n 解析：1可用定义法直接判定数列an为等比数列；

2以新数列的视界看待an1，数列an1是以a112为首项，公比为3的等比数列。

a解：2为公比的等比数列,即aaqn12n1 1a2an2 数列a是以a1为首项，nn1an1n1n1等比数列 复习资料题

强化练习： a1an113an1n13.即an1是以a112为首项，公比为3的等比数列 an1 a123n1a23n11 nn

例5 已知数列an的前n项和为Sn,且anSnn

1 设cnan1，求证：cn是等比数列 2求数列an的通项公式.c 解析：思路由SnSn1ancnnqcn是等比数列an的通项公式cn1

1证明：S1a1 ①②得anan1an1解： 1 a1a11a1 2anan112an1an11 2 a11 anSnn................① n an112 11 aSn1........② c是以a1为首项，公比为的等比数列 n1n1n1 22n1nn 1111 2cn222 ,又cnan1 cn1an an21

21已知数列an中，an1an1n2,且nN*,且a12,则通项公式an__________22,则通项公式an________________32已知数列an中，an13annN*,且a13已知各项为正数的数列an中，an112an1,且a13,则通项公式an__________4已知各项为正数的数列an中，an1121an,且a11,则通项公式an__________23221an,则数列an的通项公式an________________336已知数列an的前n项和为Sn,且Sn4an3nN,52013全国卷I若数列an的前n项和Sn I证明：数列an是等比数列. II求an的通项公式.72014全国高考已知数列an满足a11,an13an1nN,1 I证明：数列an是等比数列. II求an的通项公式. 2