九年级上册圆的证明题及答案

C

作

C

D

⊥

P

A

于

D

． DAP∠PAE，过C（1） 求证：CD是⊙O的切线；

（2） 若AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O的半径． （1）证明：连结OC．∵ OC=OA，∴ ∠OAC= ∠OCA ∵ AC平分∠PAE，∴ ∠DAC= ∠OAC，∴ ∠DAC= ∠OCA，

∴ AD∥OC．∵ CD⊥PA，∴ ∠ADC= ∠OCD=90°，

即 CD⊥OC，点C在⊙O上，∴ CD是⊙O的切线． （2）解：过O作OE⊥AB于E．∴ ∠OEA=90°∵ AB=8， ∴ AE=4． 在Rt△AEO中，∠AEO=90°，∴ AO=4+OE． ∵ ∠EDC= ∠OEA=∠DCO =90°，∴ 四边形DEOC是矩形， ∴ OC=DE，OE=CD．∵ AD:DC=1:3，

∴ 设AD=x，则DC=OE=3x，OA=OC=DE=DA+AE=x+4， ∴ (x+4)=4+(3x)，

解得 x1=0(不合题意，舍去)，x2=1．则 OA=5．∴ ⊙O的半径是5． 2.如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 解：（1）AB=CD 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F

∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F ∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD

3．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

2

2

2

2

2

2

OBEPDACEOBEA 解：BD=CD 理由是：如图，连接AD ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD

4. 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ） A．130° B．100° C．50° D．65° 答案A

5．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=•∠A． （1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

解：（1）CD与⊙O相切 ∵AB是直径 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°

∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD是⊙O的切线．

（2）在Rt△OCD中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30°

ODCBwww.czsx.com.cnCAOBDEODF ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半

CAMB径是10．

6．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．

360=60°，•△OBC是等边三角形，从而正六边形611的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a利用勾股定

22解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于理，可得边心距OM=11a2(a)2=

2233113a ∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=22223a2

7．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2． （1）求扇形的弧长；

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？

120R2解：（1）如图所示： ∵300= ∴R=30

360 ∴弧长L=

12030=20（cm）

180（2）如图所示： ∵20=20r ∴r=10，R=30 AD=900100=202 ∴S轴截面=

11×BC×AD =×2×10×202=2002（cm2） 22因此，扇形的弧长是20cm卷成圆锥的轴截面是2002cm2．

8.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D．

(1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径． 解：(1)不同类型的正确结论有：

①BE=CE ;②弧BD=弧CD ③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC;

⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD⑩△BOE∽△BAC;

(2)∵OD⊥BC， ∴BE＝CE=BC=4．设⊙O的半径为R，则OE=OD－DE=R－2．

在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2＋BE2=OB2，即(R－2)2＋42=R2．解得R＝

12是等腰三角形，

5． ∴ ⊙ O的半径为5

9.已知：如图等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BDAP，连结

CD．

（1）若（2）若

AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由． AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？

A A 解：（1）△PDC为等边三角形． 理由：∵△ABC为等边三角形

O ∴ACBC，又∵在⊙O中PACDBC

又∵APBD ∴△APC≌△BDC． ∴PCDC 又∵AP过圆心O，ABAC，BAC60°

O C B P D

图②

B P 图①

C D 1∴BAPPACBAC30° ∴BAPBCP30°，PBCPAC30°

2∴CPDPBCBCP30°30°60° ∴△PDC为等边三角形．

（2）△PDC仍为等边三角形

理由：先证△APC≌△BDC（过程同上） ∴PCDC ∵BAPPAC60° 又∵BAPBCP，

PACPBC∴CPDBCPPBCBAPPAC60° 又∵PCDC ∴△PDC为等边三角形．

10.(1)如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：CD=CE

(2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?

(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么

解：(1)证明：连结OD 则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90° 在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°

在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA， ∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED ∴CD=CE (2)CE=CD仍然成立． ∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F，

在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°． 连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE∴CD=CE

(3)CE=CD仍然成立．∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF 延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90° 连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE

11.AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若P30，求B的度数．

A 解：

PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径， ∴PAO90．

O C P

B 1P30，∴AOP60．∴BAOP30

212.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DBC30，DE1cm，求BD的长． （1）证明：连接OA，

DA平分BDE，BDAEDA．

OAOD，ODAOAD．OADEDA． OA∥CE．

AEDE，AED90，OAEDEA90．

AEOA．AE是⊙O的切线．

（2）

BD是直径，BCDBAD90．

DBC30，BDC60，BDE120．

DA平分BDE，BDAEDA60．ABDEAD30．

在Rt△AED中，AED90，EAD30，AD2DE． 在Rt△ABD中，BAD90，ABD30，BD2AD4DE． DE的长是1cm，BD的长是4cm．

13.如图，已知在⊙O中，AB=43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.

(1)求图中阴影部分的面积；

(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径. 解：连结AD．

∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分BD。

∴AB=AD，BF=FD，BCCD。∴∠BAD=2∠BAC=60°，∴∠BOD=120°．

∵BF=

12AB=23，sin60°=AFAB， AF=AB·sin60°=43×32=6。

∴OB2=BF2+OF2．即(23)2(6OB)2OB2．∴OB=4．∴S阴影=

13S圆=163π。 （2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴2πr1204180π4 ∴r3。 A E D B O C A E D B O C AOBF DC