第６期（总第１６３期） ２０１０年１２月 机械工程与自动化 ＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＆ ＡＵＴ０ＭＡＴ１０Ｎ Ｎｏ．６ Ｄｅｃ． 文章编号：１６７２—６４１３（２０１０）０６—００５６—０３ 基于稀疏特性的欠定盲分离矩阵Ａ的估计方法 宋 英 ０１００５１） （内蒙古工业大学机械学院， 内蒙古 呼和浩特摘要：给出了欠定情况下的盲分离模型，从时域和频域对信号的稀疏特性做了简要的陈述。基于信号稀疏特性 的欠定情况下盲分离一般采用两步法，对其核心步骤混叠分离矩阵Ａ的估计中的聚类方法做了总结、归纳。对 比了几种主要聚类方法的优缺点，并对今后欠定情况下混叠矩阵Ａ的研究方向做了进一步展望。 关键词：欠定盲分离；稀疏特性；聚类算法 中图分类号：ＴＮ９１１．７ 文献标识码：Ａ ０ 引言 Ｌａｐｌａｃｉａｎ分布，即在零点有一个密度峰值，而在远离 盲信号的分离（Ｂｌｉｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ，ＢＳＳ） ］ 是近年来研究的热点。现有的大多数盲分离方法适用 零点的地方不象高斯分布那样快地趋向于零 。高斯 分布密度函数和Ｌａｐｌａｃｉａｎ分布密度函数的比较如图 １所示。 于源信号个数小于观测信号个数的超定分离模型，对 于观测信号个数小于源信号个数的欠定盲分离并不适 用。对于欠定盲分离问题，目前应用最多、最有效的 方法是稀疏分量分析方法（Ｓｐａｒｓｅ Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ Ａｎａｌｙｓｉｓ，ＳＣＡ）。ＳＣＡ一般分为两部分：混叠矩阵Ａ的 估计和估计源信号的优化算法。而矩阵Ａ的估计是否 准确直接决定了分离精度。本文对信号的稀疏特性做 了简单陈述，给出了欠定情况下的分离模型，并对近 几年欠定情况下混叠矩阵Ａ的估计方法做了归纳、总 结。 图１ 商斯分布和Ｌａｐｌａｃｉａｎ分布概率密度函数比较 １信号的稀疏特性和欠定盲分离模型 １．１ 稀疏特性 目前对信号稀疏特性最直观的理解为：信号绝大 多数采样点取值为零或者接近于零，少数采样点取值 明显远离零，同时从频域上讲又有很小部分时刻幅值 较大，绝大多数时刻幅值为零；从统计的角度看，相 图２用幅值谱图来说明稀疏信号的含义。图２（ａ） 中到频率点１Ｏ处以后谱线的幅值还依然存在，但 图２（ｂ）谱线的幅值到频率点１Ｏ以后就基本上为零 了。零点越多稀疏特性越好，所以图２（ｂ）比图２（ａ）的 稀疏特性好 Ｊ。 比于高斯信号，稀疏信号的概率密度函数更近似于 ，４ｋ Ａｋ ．Ｉ ｌ Ｉ＿．。．。．．．． ｆａ）稀疏特性较差 ．、 ．Ｉ １． 。 ５ ｌＯ ． （ｂ）衙疏特性较灯 图２稀疏特性说明图 收稿日期：２０１Ｏ－０３—１９；修回日期：２０１Ｏ－０６—１８ 作者简介：术英（１９８４一），女．辽宁锦州人．在读硕士研究生．主要研究方向：育信号的处理和分离。 ２０１０年第６期 宋英：基于稀疏特性的欠定盲分离矩阵Ａ的估计方法 ・５７・ １．２分离模型 指导，更没有理论指导，因为对于不同的情形， 取值 都不同。另外这种做法是在只有两个观测信号的情形 …（１） ｔ一１，２，…，７’。 欠定盲分离数学模型一般如下： Ｘ（ｆ）一ＡＳ（ｆ）＋Ｗ（ｆ）下实现的，如果有３个或３个以上的观测信号，这种 方法将丧失操作性，这么多的不确定性使得对Ａ很难 其中： （ｆ）一 （ｆ），．７２ （ ），…， （ｆ）］ ，为 个观测信 号；Ａ为混叠矩阵，Ａ∈ ２，且７ ＜ ；Ｓ（ｆ）一［ｓ】（￡）， 给出一个较为准确的估计。 ２．２点一均值聚类法（七一ｍｅａｎｓ） （ｆ），…，Ｓ （ ）］ ，为 个源信号；Ｗ（ｆ）一［叫１（ ）， 训 （ｆ），…， （ｆ）］ ，为噪声矩阵；ｔ表示某一瞬时离散 时刻。对于欠定模型，如果假定Ａ已经事先给定，稀疏 志一均值聚类法是聚类算法中的经典算法，目前对 欠定情况下混叠矩阵Ａ的估计大多应用此种方法或 信号盲分离归结为求解如下优化问题： ａｒｉｎ去Ｉｌ ＡＳ（ｆ）一 （ ）ｌ ｌ＋己 （￡）１。…… …………………………………………………（２） 其中： 为噪声的方差 （￡）为ｔ时刻的第ｉ个源信号， ｉ一１，２，…， ，即是矩阵Ｓ（ｆ）中的第ｉ个列向量。式（２） 中第１项为重构误差平方和，第２项为非稀疏惩罚项 （假设源信号相互，服从Ｌａｐｌａｃｉａｎ分布）。 对盲源信号分离，可以利用ｚ 范数（也有算法利 用，。或， 范数）估计对应的源信号，即通过解决式（２） 的线性规划问题来实现Ｌ４］。 ２欠定情况下混叠矩阵Ａ的聚类估计方法 欠定盲分离问题常用的是两步法：①估计｝昆叠矩 阵Ａ的聚类算法；②估计源信号的优化算法。而估计 混叠矩阵Ａ是两步法的核心。目前对混叠矩阵Ａ的估 计常用的是聚类算法，其主要有以下几种方法。 ２．１ 基于势函数的估计混叠矩阵Ａ的Ｂｏｆｉｌｌ聚类方 法 文献［５］提出了一种基于势函数（ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）的混叠矩阵Ａ的估计方法，并且在只有两个 观测信号－ｚ （ ）和 。（￡）的情形下给出了实例。势函数的 定义如下： （ ， ）＝厶， （ （ 一０，））。………………（３） 。。 。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。’。。。。。。。。。。。 。。。。 。。。。 。’。。。。。。。。。。。。’。。。。。。。。—— 其中：ｌ，：√（ｚ （ｆ）） ＋（ｚ２（￡））。，￡一１，２，…，Ｔ； 一 ｔａｎ （ （￡）／（ｚ （￡））；０为确定混合空间内投影和方向 的参数； 是为了得到所要求角度的调节参数。 观测信号范围内的三角函数为： ｒ （ｄ）一ｌ卜 ＜ ／４。…………（４） 【Ｏ 其他 其中： 为不同于 的任意角度。由于只有两个观测信 号，具体执行过程为：将 形式半平面进行 平分，如 一７ｃ／（２Ｋ）＋志 ／Ｋ，屉一ｌ，２，…，Ｋ，从而得到 （ ， ）。Ｂｏｆｉｌｌ认为势函数的局部极大值即为混叠矩阵Ａ 的列向量，由此得到Ａ的估计。 这种估计混叠矩阵Ａ的方法是有缺陷的。首先这 种方法欠缺一个合理的解释，七的取值也有很多随意 性， 如何取值更加缺乏操作性，Ｂｏｆｉｌｌ称 的设置具 有启发性， 如何取值因每次盲分离而变化，没有经验 此种方法的改进算法。尼一均值聚类法本质上是一种迭 代计算方法，其基本原理是：先给定一个大致的初始 分类，计算每个样品与该初始分类中心的距离，将每 个样品归为与初始分类最近的那一类；然后重新计算 各类的重心，比较重心与初始中心变化量，如果达到 设定的要求，则停止迭代，否则重复上述过程，直到 满足要求为止＿＿６］。其目标函数为： ｍ ＿、 Ｉ，２（６】，…，ｂ， ）一厶 厶ｄ（ｚ（ ），６，）。 …（５） Ｊ一１ （ ）∈ ‘ 其中： ，（６ ）是以６，为中心的列向量集合；ｄ（ｘ（ ），ｂｊ） 为每个样本ｚ（ ）与聚类中心易 的距离，当且仅当 ｄ（ｚ（ ），６，）＝＝＝ｒａｉｎ｛ （ （ ）， ），七一１，…， ｝， （ ）∈ （６，）时，由此获得次优基。 参数是的值已经是给定的，所以影响最后聚类结 果的唯一因素就是初始聚类中心的选取。通常两步法 盲分离速度比较快，但是一均值聚类估计混叠矩阵Ａ 的精度不是很理想，从而导致了盲分离的质量不是很 高。 ２．３模糊ｆ～均值聚类法（Ｆｕｚｚｙ Ｃ－－ｍｅａｒｌＳ，ＦＣＭ） ＦＣＭ是一种基于目标函数最优方法的聚类算法， 通过使用微积分方法求解最优代价函数，是目前应用 较为广泛的一种聚类方法。在众多的聚类方法中， ＦＣＭ理论较为完善，其思想就是使得被划分到同一类 的样本之间相似度最大，而不同类之间的相似度最小， 它是无监督模型识别的一个重要分支口］。其目标函数 为： —－、 ］ ， （ ， ）一 ｆｆ 一 ｆ 】。………（６） 其中： ∈［１，。。）是加权系数，又称为平滑因子；整数 Ｃ（２≤ｃ≤ ）为待分类数； 为聚类样本的个数；ｌＩ，７５ ～ ｌｌ为欧氏距离，表示样本ｚ 与聚类中心 ，间的相似 性度量；聚类中 Ｄｒ＝｛ ， ”， ）；Ｕ一 ］为隶属 度矩阵，‰定义为样本集ｚ 属于所有类别的隶属度矩 阵。算法的聚类准则为 （ ， ）的极小值，式（６）的极 值条件为： Ｈ ‘ ］ —、 ｍｉｎ（．， （【，， ））一２ ｒａｉｎ｛２ “ 一 ｌ１。｝。 －＿１ ，＿－】 …………………………………………………（７） （ —－、 上述极值的约束条件为 一１，从式（７）中解 ・５８・ 机械工程与自动化 ２０１０年第６期 出： ＝其稀疏特性，再对其进行聚类估计出混叠矩阵。 １｛ 一 Ｉ Ｉ…………………／∑Ｉｌ 一 ｌ 一 』一１ …………………………。 （８） （３）至今，人们对混叠矩阵Ａ估计主要是应用聚 类方法，只是实现信号稀疏表示的方法不同而已。如 何快速、有效地估计出混叠矩阵仍是今后研究的重点。 参考文献： ……—－、 一—－、 ２＿５Ｕｉｋ ／２５“ 。 ………………………（９） 式（８）和式（９）为使得Ｊ， （ ， ）为最小值的两个 必要条件。 ＦＣＭ有深厚的数学基础，在很多领域都有重要的 ［１］高隽．智能信息处理方法导论［Ｍ］．北京：机械工业出版 社，２００４． ［２］谈华 ．盲稀疏源信号分离算法的恢复性研究［Ｄ］．广东： 广东工业大学，２００７：１０－１２． 应用。但是，其目标函数采用欧式距离，在分离效果 上存在一些不足；同时其初始聚类中心以及隶属度矩 阵都是随机选取的，所取值并不能保证算法在迭代过 程中实现最优解，加权指数 和聚类类别数 的选取 是否合适也直接影响到算法的优越度。 ３ 总结 ［３］沈杰．窗函数对信号稀疏特性的影响研究［Ｄ］．呼和浩特： 内蒙古工业大学，２００７：３５—３６． ［４］谭北海，杨祖元，周郭许，等．欠定盲分离中源的个数估计 和分离算法［Ｊ］．中国科学，２００９，３９（３）：３４９—３５６． ［５］ Ｂｏｆｉｌｌ Ｐ，Ｚｉｂｕｌｅｖｓｋｙ Ｍ．Ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｓｏｕｒｃｅ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｓｐａｒｓｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００１，８１：２３５３—２３６３． （１）应用于欠定分离矩阵估计的聚类方法存在太 多的不确定性和随意性，其计算过程大都为迭代。虽 然近几年其方法一直在改进，但总体来讲估计精度不 是很高，运算速度较慢。 （２）聚类方法对源信号的稀疏性有一定的要求。当 ［６］顾建华，毛国敏，吴新燕．用Ｋ一均值聚类法改进地震灾 害ＦＡＰＥ分类模型［＿Ｊ］．自然灾害学报，２００８，１７（２）：１５８— １５９． ［７］ 程可嘉．基于核函数的模糊聚类算法研究［Ｄ］．成都：电子 科技大学，２００９：１０—１４． 源信号不足够稀疏时，需要对其进行稀疏表示，增强 Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ＢＳＳ Ｍｉｘｉｎｇ Ｍａｔｒｉｘ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｓｐａｒｓｉｔｙ ＳＯＮＧ Ｙｉｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｉｎｎｅｒ Ｍｏｎｇｏｌｉａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｏｈｈｏｔ ０１００５ｌ Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｌｉｎｄ ｓｉｇｎａｌ ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ（ＢＳＳ）ｉｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｐａｒｓｉｔｙ ｏｆ ｓｉｇｎａｌｓ ｏｎ ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ ａｎｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ａｒｅ ｓｔａｔｅｄ ｂｒｉｅｆｌｙ．Ｕｎｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ＢＳＳ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｐａｒｓｉｔｙ ｇｅｎｅｒａｌｌｙ ｔａｋｅｓ ｔｗｏ—ｓｔｅｐ ａｐｐｒｏａｃｈ，ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｒｅ ｏｆ ｔｗｏ￣ｔｅｐ，ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｉｘｉｎｇ ｍａｔｒｉｘ，ｓｅｖｅｒａｌ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ａｒｅ ｓｕｍｍｅｄ ｕｐ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ｍｅｒｉｔｓ ａｎｄ ｄｒａｗｂａｃｋｓ ａｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ ａｍｏｎｇ ｔｈｅｓｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｒｔｈｅｒ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｍｉｘｉｎｇ ｍａｔｒｉｘ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｔｕｒｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｕｎｄ ｒｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ＢＳＳ；ｓｐａｒｓｉｔｙ；ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ． ・，９ ｝・ ｋｊ‘ －９ｋ－自ｋ ‘｝． ・９ ．．９ ｝ －９—ｋ．： ・９ ：－９ ：・９ｊ｝ 自．！ ． 山 － 、 ， ； ！ ｋ、 ｉ色． ‘ ． ， ； 、． ‘自— ； ．！ ， ； ． ． ．； ． －， ｋ．： ． ， ｊ ． ・９ｋ业！． －ａ．ｔｅ・９－｝・： ｋ （上接第５５页） 参考文献： ［３］王旭辉，郭光亚．匀速运动模糊图像的快速恢复［Ｊ］＿微计 算机信息，２０００，１６（５）：５—７． ［４］陈前荣，陆启生．成礼智，等．运动模糊图像点扩散函数尺 度鉴别［Ｊ］．计算机工程与应用，２００４，４０（２３）：１５—１９． ［１］ 李秀怡．基于Ｒａｄｏｎ变换的运动模糊方向精确估计［Ｊ］． 计算机工程与科学，２００８，３０（９）：５１—５７． ｒ ２］ Ａｋｉｒａ Ｔ，Ｍｉｔｓｕｊｉ．Ｍｅｄｉａｎ ａｎｄ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｈｙｂｒｉｄ ｆｉｌｔｅｒｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｎ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，１９９５ （］）：５８０—５８３． ［５２邓泽峰．图像复原技术研究及应用［Ｄ］．武汉：华中科技大 学，２００７：３４—３７． Ｆａｓｔ Ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ Ｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｍｏｔｉｏｎ Ｂｌｕｒｒｅｄ Ｉｍａｇｅ ＬＩ Ｓｈｕａｎｇ—ｊｕｎ，ＺＥＮＧ Ｇｕａｎｇ—ｙｕ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎｏｒｔｈ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ・Ｔａｉｙｕａｎ ０３００５ｌ・Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｂｌｕｒｒｅｄ ｉｍａｇｅ，ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｃｏｍｍｏｎｌｙ ｕｓｅｄ ａｒｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｂｕｔ ｔｈｏｓｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｒａｔｈｅｒ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａｓ ｔｈｅ ｂｌｕｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｓ ｕｎｋｎｏｗｎ，ｗｅ ｔａｋｅ Ｒａｄｏｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｆｏｒ ｍｏｔｉｏｎ ｂｌｕｒｒｅｄ ｉｍａｇｅ’ｓ ｓｐｅｃｔｒｕｍ，ａｎｄ ｔｈｅｎ ｗｅ ｇｅｔ ｆｕｚｚｙ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｃａｌｅ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ＭＲＴ ａｎｄ ＩＰＭ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅ ｕｓｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｒｅｅｕｒｓｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｈｉｃｈ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｚ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｔｏ ｒｅｓｔｏｒｅ ｔｈｅ ｂｌｕｒｒｅｄ ｉｍａｇｅ．Ｔｈｅ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｇａｉｎｅｄ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｒａｄｏｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｉｍａｇｅ ｒｅｓｔｏｒａｔｉｏｎ；ｍｏｔｉｏｎ ｂｌｕｒｒｅｄ ｉｍａｇｅ；ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
