人教版七年级数学下册培优资料

考点·方法·破译

1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析

E 【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪 几对对顶A D 角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.

C B ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

F

有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】

C E 01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：

⑴∠ARC的对顶角是 . 邻补角

P 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； R Q A B

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；

D 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. F 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.

【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、 ∠AOC．

⑴求∠EOF的度数；

C F ⑵写出∠BOE的余角及补角.

E 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；

【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝FOC＝

1∠BOC，∠2A O B

111∠AOC ∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝∠BOC＋∠AOC＝2221∠COF、BOCAOC 又∵∠BOC＋∠AOC＝180° ∴∠EOF＝1×180°＝90° ⑵∠BOE的余角是：

22∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.

【变式题组】

01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（ ） A．20° B． 40° C．50° D．80°

E 4 1 D

02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，

则∠4＝ .

A C O A

3 2

（第1题图） （第2题图）

1

【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A画直线l2的垂线. A ⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.

【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.

O 【变式题组】 l2

B 01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝

5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（ ）

l1 A．4cm B． 5cm C．不大于4cm D．不小于6cm

02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；

⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.

⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在 的路上距离M村越来越近..在 的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.

【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.

E D 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为

该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90°，OF⊥AB．

A B O F C 【变式题组】

01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的度数.

E A

02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD．

C D O ⑴求∠AOC的度数；

⑵试说明OD与AB的位置关系. D C B

A O B

2

03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并求其

度数. A

B D

A

E

【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：

∠1和∠2： F C

1 ∠1和∠3：

4

2 3 6 ∠1和∠6： A B 5

D ∠2和∠6： E ∠2和∠4： ∠3和∠5： ∠3和∠4：

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.

【变式题组】

E Ｇ

01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有

（ ） A B A．4对 B． 8对 C．12对 D．16对 C D

F 02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. H

03．如图，按各组角的1 5

位置判断错误的3 4 7 8 2 4 6 3 2 1 6 5 是（ ） 3 2 A．∠1和∠21 4 是同旁内角

丙 甲 乙

B．∠3和∠4

A 是内错角

1 C．∠5和∠6是同旁内角

3 2 D．∠5和∠7是同旁内角 5 4 【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•

⑴∠CBD＝∠ADB；

⑵∠BCD＋∠ADC＝180° ⑶∠ACD＝∠BAC 【解法指导】图中有

B 即即有同旁内

6 A 7 C D O B C 3

角，有“ ”即有内错角.

【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】

01．如图，推理填空.

A ⑴∵∠A＝∠ （已知）

∴AC∥ED（ ） F ⑵∵∠C＝∠ （已知）

E ∴AC∥ED（ ） ⑶∵∠A＝∠ （已知） B C ∴AB∥DF（ ）

D 02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系. 解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）

∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）

A 又∵EF平分∠DEC（已知）

1 ∴ （ ）

E

又∵∠1＝∠2（已知）

2 ∴ （ ）

∴AB∥DE（ ） B C

D F

03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB∥CD．

A B

04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBFE ＝∠EFB，求证：CD∥EF.

A C D

D E

B

C F 【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.

l4 ll4 l3

3 l5 ll5 l2 l6 l2

6

ll1

1

图⑴

图⑵

4

【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵. 证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360° 这与一周角等于360°矛盾

所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】

01．平面内有1两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.

02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位

置关系是 .

03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn表示过这几个点中

的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ . 演练巩固·反馈提高

01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（ ）

A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DAC C．∠ACF是α的余角 D．α与∠ACF互补 02．如图，已知直线AB、

E

E CD被直线EF所截，

A A A

则∠EMB的同位角

α M 为（ ）

B A．∠AMF

C D N B．∠BMF B D C F B C D 第4题图 F C．∠ENC 第1题图 第2题图

D．∠END

03．下列语句中正确的是（ ）

A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线 B．过直线上一点的直线只有一条

C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条 D．垂线段就是点到直线的距离

04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（ ）

①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直 ③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB的长度是点B到AC的距离 ⑤垂线段BA是点B到AC的距离 ⑥AD＞BD A．0 B． 2 C．4 D．6

05．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直

线l的距离是（ ）

A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC＝ .

5

c

C D B G B

A O 第6题图

1

H 第7题图

第9题图

F C

b A E D

a

2 1 3 4 6 5 7 8 07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ .

08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合） 09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，

④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是 . 10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .

11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？

B A 12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直

E 线AB与CD的位置关系如何？

C D

B A

1 13．如图，推理填空：

⑴∵∠A＝ （已知） E F ∴AC∥ED（ ） ⑵∵∠2＝ （已知）

2 ∴AC∥ED（ ） C D ⑶∵∠A＋ ＝180°（已知） ∴AB∥FD．

14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD∥BC．

F

E

A D

B C

第14题图

6

培优升级·奥赛检测

01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）

A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，3

02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分.

A．60 B． 55 C．50 D．45

D 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直

A E 线最多还有（ ）个交点.

A．35 B． 40 C．45 D．55

04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有 C __________________交点. F 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，现在要在图纸B 上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.

a b

06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）

A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3

07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说

明画法？

08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？

C 09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（ ）

A．60° B． 75° C．90° D．135°

10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？

⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.

A B 7

第13讲 平行线的性质及其应用

考点·方法·破译

1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；

3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析

【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD， BC∥AD，∠A＝38°，求∠C的度数. D C 【解法指导】

两条直线平行，同位角相等；

B 两条直线平行，内错角相等； A 两条直线平行，同旁内角互补.

平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB∥CD BC∥AD ∴∠A＋∠B＝180° ∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A＝∠C ∵∠A＝38° ∴∠C＝38°

【变式题组】

01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（ ）

A．155° B．50° C．45° D．25°

E D B （第1题图） 1 （第2题图） F 3 2 l1 A B D （第3题图） E C 2 α 1 A C l2 02．（安徽）如图，直线l1 ∥ l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A． 50° B． 55° C． 60° D．65°

03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B的度数.

【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，

A 求∠BCG的度数.

【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.

【解】∵AB∥CD∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD(两条直线平行，C 内错角相等)又∵∠B＝60° ∠EFC＝45° ∴∠BCD＝60° ∠FCD＝45° 又∵GC⊥CF ∴∠GCF＝90°（垂直定理） ∴∠GCD＝90°－45°＝45° ∴∠E BCG＝60°－45°＝15°

【变式题组】

01．如图，已知AF∥BC, 且AF平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝_______________

B G D F

8

E A D B

C B

A B

O E

M C

F

N D P A C

（第1题图） （第2题图） （第3题图）

02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO分别∠ABC、∠ACB，DE过点O与BC平行，则∠BOC＝

___________

03．如图，已知AB∥ MP∥CD, MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP的度数.

【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D． 求证：∠A＝∠F. 【解法指导】

因果转化，综合运用.

逆向思维：要证明∠A＝∠F，即要证明DF∥AC． 要证明DF∥AC, 即要证明∠D＋∠DBC＝180°， 即：∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC ＝180°即要证明DB∥EC． 要证明DB∥EC即要 证明∠1＝∠3.

证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB∥EC（同位角相等•两直线平行）∴∠DBC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C＝∠D ∴∠DBC＋∠D＝180° ∴DF∥AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）

【变式题组】

C

01．如图，已知AC∥FG，∠1＝∠2，求证：DE∥FG

F E F D D 1 A 2 3 B 2 3 E G

（第1题图） 1 A C B

A

02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B． 求证：∠AED＝∠ACB

E D

3

1

F 2

C B 03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行 （第2题图）

于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行

α B 于α，则角θ等于_________. O θ β O/

9

【例４】如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3. 求证：AD平分∠BAC． E 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 A 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3）

1 3 证明：∵EG⊥BC，AD⊥BC ∴∠EGC＝∠ADC＝90° （垂直定义）∴EG∥AD（同位角相等，两条直线平行）

∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD（两条直线平行，内错角相等） B G D

C ∴AD平分∠BAC（角平分线定义） 【变式题组】

01．如图，若AE⊥BC于E，∠1＝∠2，求证：DC⊥BC．

D

A

1

2 B E C

02．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E,DF⊥AB于F, AC∥ED，CE平分∠ACB． 求证：∠EDF＝∠BDF.

A E F

3．已知如图，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线. CM⊥CN， B

D

C 求：∠BCM的度数.

A B

N M

E C

D

【例５】已知，如图，AB∥EF，求证：∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.

过点C作CD∥AB即把已知条件AB∥EF联系起来，这是关键. A B 【证明】：过点C作CD∥AB ∵CD∥AB ∴∠1＋∠ABC＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB∥EF，∴CD∥EF（平行 D

1 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE＝180°(两直线平行， 2 C

同旁内角互补) ∴∠ABC＋∠1＋∠2＋∠CFE＝180°＋180°＝360° E

F

即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°

10

【变式题组】

01．如图，已知，AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得四个关系

中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.

结论：⑴____________________________ ⑵____________________________

⑶____________________________ ⑷____________________________

A P

C

D B P

A

B

A P

⑴

C

⑵

D

C

⑶

D B P C ⑷

D

A

B

【例６】如图，已知，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° B A

α 【解法指导】基本图形

B A

α H 1 β

2

E P ∠P＝α＋β

3 F

γ 4 β

C D ψ

C D

善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.

【解】过点E作EH∥AB． 过点F作FG∥AB． ∵AB∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG∥AB ∴EH∥FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB∥CD ∴FG∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°

【变式题组】

01．如图， AB∥EF，∠C＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）

A． ∠β＝∠α＋∠γ B．∠β＋∠α＋∠γ＝180° C． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D．∠β＋∠γ－∠α＝90°

02．如图，已知，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数.

A

α B A B

C E γ D

F

β C D E F

////A′ 【例７】如图，平移三角形ABC，设点A移动到点A，画出平移后的三角形ABC.

【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.

l ⑴定：确定平移的方向和距离.

A ⑵找：找出图形的关键点. B′

⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. C′ ⑷连: 按原图形顺次连接对应点.

/////

【解】①连接AA ②过点B作AA的平行线l ③在l截取BB＝AA,则点B

B C 11

就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接AB，BC，CA就得到平移后的三角形ABC.

【变式题组】

01．如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.

A

D

B C

///

02．如图,已知三角形ABC中，∠C＝90°, BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△ABC的位置，若

A

A/ /////////

平移距离为3, 求△ABC与△ABC的重叠部分的面积.

///

C C/ B B/

03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就得到此图形，求阴影

部分的面积.（单位：厘米）

A D 8 B 3 5 E C F A 北

演练巩固 反馈提高

01．如图，由A测B得方向是（ ） 30° B 西 东 A．南偏东30° B．南偏东60°

C．北偏西30° D．北偏西60°

南

02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的

两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是

（ ）

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120° 04．下列命题中，正确的是（ ）

A．对顶角相等 B． 同位角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补

05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的

[如图⑴—⑷]

12

P . P . P . P . ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A．①② B．②③ C．③④ D．①④

06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同

时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（ ） A．北偏东52° B．南偏东52° C．西偏北52° D．北偏西38°

07．下列几种运动中属于平移的有（ ）

①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动. A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能

出格）

09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（ ）

10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线

段BC的长，则平移得到的三角形是图中（ ）图的阴影部分.

D A D A D A D B E A C B E B C B E C C B E D C E 13

11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.

⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；

⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.

12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.

⑴互补的角是邻补角； ⑵两个锐角的和是锐角； ⑶直角都相等.

13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这

时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.

湖

E

150° 120° C B

D 14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成°角. 当小船行驶到河

中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？ A B 1 2

F E

3 4 C D

15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.

B A 1 3

E F

4

2

C

P D 14

培优升级·奥赛检测

A 01．如图，等边△ABC各边都被分成五等分，这样在△ABC内能与△DEF完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC内由△DEF平移得到的三角F D 形共有（ ）个 E 02．如图，一足球运动员在球场上点A处看到足球从B点沿着BO方向匀速滚来，运动员立即从A处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球B C 的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移） A将AC03．如图，长方体的长AB＝4cm，宽BC＝3cm，高AA1＝2cm. DC平移到A1C1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.

B04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a，竖直方AC1D向的边长为b）；将线段A1A2向右平移1个单位得到BB，得到封112O B 闭图形A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴];将折现A1A2 A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如A1B1图⑵];

⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.

⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________.

⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？

. . . A1 B1 A1 B1 A2 B2 草地 草地 A1 B1 A2 B2 A3 B3 A4 B4 ⑸ A2 B2 ⑴ A3 B3 ⑵ ⑶ ⑷

05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，

若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A．720° B．108°或144° C．144° D．720°或144°

06．两条直线a、b互相平行，直线a上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b上顺次有10个点B1、B2、…、

B9，将a上每一点与b上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A．90 B．1620 C．80 D．2006

07．如图，已知AB∥CD，∠B＝100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF. 求∠BEG和∠DEG.

15

B 100°

G

F

A

D E

C

08．如图，AB∥CD，∠BAE＝30°，∠DCE＝60°，EF、EG三等分∠AEC． 问：EF与EG中有没有与AB

平行的直线？为什么？

A B

F E

G C D

09．如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.

⑴求∠EOB的度数；

⑵若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.

⑶在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.

E B C F

O A

10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超

过36°,请说明理由.

11．如图，正方形ABCD的边长为5,把它的对角线AC分成n段，以每一小段为对角线作小正方形，这n个

小正方形的周长之和为多少？ A B

D C

16

12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？

A F

B E

D C

第06讲 实 数

考点·方法·破译 1．平方根与立方根：

2若x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±a，其中a的平方根为x＝a叫做a

的算术平方根．

若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝3a．

2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数3非负数：

实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，a≥0（n为正整数），a≥0(a≥0) ．

经典·考题·赏析

【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．

【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m−l是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l＝0，5m＝5，m＝l．

【变式题组】

01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m是小于152的最大整数，则m的平方根是____． 03．9的立方根是____．

04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为时，输出的y是____． 输入x 是无理数 取算术平方根 输出y 2np（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式． q是有理数

【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足2a4b2A．－1 B． 0 C．1 D．2

a3b242a，则a＋b等于( )

17

【解法指导】若a3b2有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0 a≥3

∵2a4b2∴2a4b2∴a3b242a

a3b242a，∴b2a3b20．

a3b20，∴，故选C． 2b2a3b0

【变式题组】

0l．在实数范围内，等式2aa2b3＝0成立，则ab＝____． 02．若a9b30，则

2a的平方根是____． b2009

x

03．（天津）若x、y为实数，且x2y20，则

y

A．1 B．－1 C．2 D．－2 04．已知x是实数，则xxA．1的值为（ ）

x1的值是( )

1 B．11 C．

11 D．无法确定

【例3】若a、b都为有理效，且满足abb123．求a＋b的平方根．

【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵abb123，

a13ab1ab1∴ 即，∴，

b12b23b12a ＋b＝12 ＋13＝25．

∴a＋b的平方根为：ab255． 【变式题组】

01．（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（5＋2）m＋(3－25)n＋7＝0求m、n．

02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（

【例4】若a为17−2的整数部分，b−1是9的平方根，且abba，求a＋b的值．

18

11）x＋（）y−4−＝0，则x−y＝____．

3223 【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝17−2 −2＝17−4．∵a＝2，b−1＝±3 ，∴b＝－2或4

∵abba．∴a01．若3＋5的小数部分是a，3−5的小数部分是b，则a＋b的值为____． 02．5的整数部分为a，小数部分为b，则（5＋a）·b＝____． 演练巩固 反馈提高 0l．下列说法正确的是( )

A．－2是(－2)2的算术平方根 B．3是－9的算术平方根 C． 16的平方根是±4 D．27的立方根是±3 02．设a3，b＝ －2，c5，则a、b、c的大小关系是( ) 2A．aA．－9与81的平方根 B．4与

••

3 C．4与3 D．3与9 ••

04．在实数1.414，2，0.15，5−16，，3.14，3A．2个 B．3个 C．4个 D． 5个

05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )

A．b>a B．ab C． －a＜b D．－b>a

8中无理数有( ) 12506．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )

A． 1个 B．2个 C． 3个 D ．4个 07．设m是9的平方根，n＝3．则m，n的关系是( )

2A. m＝±n B.m＝n C .m＝－n D.mn

08．（烟台）如图，数轴上 A、B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点C，则点C所表示

的数为( )

19

A．－23 B．－13 C．－2 ＋3 D．l ＋3 09．点A在数轴上和原点相距5个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B

之间的距离为____．

10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，使它的和大于3，那么至少要选____个数．

11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝12.※4＝____．

12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<7 2aba≥b13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝2，已知3*m ＝36，则实数m＝____． aba331111，…，，．如果从中选出若干个数，232019ab32，如3※2＝＝5．那么ab32右的顺序是____．

15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后

与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．

16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．

17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．

18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，

当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．

20

19．若b＝3a15 ＋153a ＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn−2）(3mn

＋4)的平方根与立方根．

20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2与5x3y3互为相反数，求x2y2的值．

培优升级 奥赛检测 01．（荆州市八年级数赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( )

A． 2 B．－1 C． 1 D． 0 02．（黄冈竞赛）代数式x＋x1＋x2的最小值是( )

A．0 B． 1＋2 C．1 D． 2 03．代数式53x−2的最小值为____．

04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋b3＝21−53，则a＋b＝____． 05．若ab＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____． 06．已知实数a满足2009aa2010a，则a− 20092＝_______．

m满足关系式 3x5y2mx3ymx199y199xy，试确定m的值．

21

08．（全国联赛）若a、b满足3a5b＝7，S＝2a3b，求S的取值范围． 09

．（北京市初二年级竞赛试题）已知01232829aaaaa求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最18，3030303030大整数] ．

10．（北京竞赛试题）已知实数a、b、x、y满足y＋值．

22

x31a2，x3y1b2，求2xy2ab的

第14讲 平面直角坐标系（一）

考点．方法．破译

1．认识有序数对，认识平面直角坐标系． 2．了解点与坐标的对应关系．

3．会根据点的坐标特点，求图形的面积． 经典．考题．赏析

【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．

A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)

【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性． 【变式题组】

01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________． 02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限. 03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．

A(－3，0)，B(－2，－

11)，C(2，)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π) 32【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C． 【变式题组】

01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（ ）

A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________． 03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．

04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．

【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．

【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．

【变式题组】

01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________． 02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________． 03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．

04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________． 05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．

【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．

【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4 【变式题组】

01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x 轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离

是点Q到y轴的距离的________倍．

02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．

03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．

04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．

23

05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．

【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点． (1)它们的坐标分别是___________，___________；

(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________； (3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．

【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|

，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．

【变式题组】

01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两

点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．

02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请

根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗？

03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．

【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC的面积．

【解法指导】(1)三角形的面积＝

1×底×高． 211·3·5－·3·122(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△ABC＝Ｓ△ABD＝Ｓ△BCD＝

＝6．

【变式题组】

01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(―3，―1)，

B(1，3)，C(2，－3)，△ABC的面积．

02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC的面积．

03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，2)，若D点在y轴上，且点A、

B、C、D四点所组成的四边形的面积为15，求D点的坐标．

24

【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2……每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有__________个．

【解法指导】寻找规律，每个正方形四条边上的整点个数为S＝8n， 所以S10＝8×10＝80个．

【变式题组】

01．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，

第三次将△OA2B2变成△OA3B3．已知：A(1，2)， A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是____________，B4的坐标是_____________；

(2)若按(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到三角形△OAnBn，推测An的坐标是_____________，Bn的坐标是_____________．

【解法指导】由AA1A2A3、BB1B2B3的坐标可知，每变换一次，顶点A的横坐标乘以2，纵坐标不变，顶点B的横坐标乘以2，纵坐标不变．

如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)…则点A2010的坐标为_______________．

演练巩固 反馈提高

01．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

02．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( )

A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)

03．如果点A(a，b)，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 04．下列数据不能确定物体位置的是( )

A．六楼6号 B．北偏西400 C．文昌大道10号 D．北纬260，东经1350

05．在坐标平面内有一点P(a，b)，若ab＝0，则P点的位置是( )

A．原点 B．x轴上 C．y轴上 D．坐标轴上

06．已知点P(a，b)到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且|a－b |＝b－a，则点P的坐标是_______________． 07．已知平面直角坐标系内两点M(5，a)，N(b，－2)，①若直线MN∥x轴，则a＝______，b＝__________；

②若直线MN∥y轴，则a＝___________，b＝_________．

08．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010

的位置，则P2010的横坐标x2010＝___________•

09．按下列规律排列的一列数对，(2，1)，(5，4)，(8，7) …，则第七个数对中的两个数之和是______________• 10．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（ ）

A．(2，3) B．(2，－3) C．(－2，3) D．(－2，－3)

25

11．点P位于x轴的下方，距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，则点P的坐标是____________． 12．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对(n，m)表示

第n排，从左到右第m个数，则表示实数25的有序数对是______________．

13．已知点A(－5，0)，B(3，0)，

(1)在y轴上找一点C，使之满足S△ABC＝16，求点C的坐标；

(2)在平面直角坐标系内找一点C，使之满足S△ABC＝16的点C有多少个？这样的点有什么规律．

14．若y轴正方向是北，小芳家的坐标为(1，2)，小李家的坐标为(－2，－1)，则小芳家的________________

方向．

15．如图在平面直角坐标系中A(0，1)，B(2，0)，C(2，1.5)

(1)求△ABC的面积；

(2)如果在第二象限内有一点P(a，

1)，试用含a的式子表示四边形ABOP的面积； 2

(3)在(2)的条件下，是否存在一点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

16．如图所示，在直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其边长为4，有一动点P，自O点出发，以2

个单位长度／秒得速度自O→A→B→C→O运动，问何时S△ＰBC＝4？并求此时P点的坐标．

26

培优升级 奥赛检测

01．如果点M(a＋b，ab)在第二象限，那么点N(a，b)在第_____________象限． 02．若点A(6－5a，2a－1)．

(1)点A在第二象限，求a的取值范围；

(2)当a为实数时，点A能否在第三象限，试说明理由；

(3)点A能否在坐标原点处？为什么？ 03．点P{－

11，－[ －|1－| ]}关于y轴对称点的坐标是_____________． 2204．已知点Ａ(2a＋3b，－2)与点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，那么a＋b＝__________．

05．已知ａ＜０，那么点Ｐ(－a2－2，2－a)关于原点对称的点在第________象限．

06．已知点P1(a－1，5)在第一、三象限角平分线上，点P2(2，b－8)在第二、四象限角平分线上，则(－a＋b)2010

＝___________．

07．无论x为何实数值，点P(x＋1，x－1)都不在第_________象限•

08．已知点P的坐标为(2－a，3b＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为_________． 09．若点P(x，y)在第二象限，且|x－1|＝2，|y＋3|＝5，则P点的坐标是__________．

10．若点A(2x－3，b－x)在坐标轴夹角的平分线上，且在第二象限，则点A的坐标是__________． 11．已知线段AB平行于y轴，若点A的坐标为(－2，3)，且AB＝4，则点B的坐标是__________．

12．已知A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求B点的坐标．

13．如图，B(2，4)，点D从O→C→B运动，速度为1单位长度／秒．

(1)当D在OC上运动时，直线BD能否将长方形ABCD的面积分为1:2两部分，若能，求点D的坐标，若不能，请说明理由；

y B C D A －2 O x (2)当点D运动到CB上时，经过多长时间△ABD的面积等于

27

1矩形ABCO的面积？并求此时D点的坐标． 4

14．已知：A(a－

32，2b＋)，以A点为原点建立平面直角坐标系． 53(1)试确定a、b的值；

(2)若点B(2a－

第15讲 平面直角坐标系（二）

考点•方法•破译

1．建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置. 2．了解可以用不同的方式确定物体的位置. 3．在同一坐标系中，会用坐标表示平移变换. 经典•考题•赏析

【例1】在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后得到B点的坐标是 .

【解法指导】在平面直角坐标系中，将点P（x,y）向右或向左平移a个单位，可以得到P’（x+a,y）或P’（x－a,y），将点P（x,y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到P’（x,y+b）或P’（x,y－b）.

一句话：右、上作加，左、下作减.即B点的坐标为（－4,5），所以B点的坐标为（－4,5）. 【变式题组】

01．在平面直角坐标系中，将点A（5，－2）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到点B的坐标

是 .

02. 在平面直角坐标系中，将点M（3，－4）平移到点N（－1,4），是经过了先向 ，再向 ，而得到的. 03．点A（－5，－b）经过先向下平移3个单位，再向左平移2个单位长度后得到点B（a,－1），则ab＝ .

【例2】△ABC三个顶点坐标分别是A（4,3）B（3,1）C（1,2）

⑴将△ABC向右平移1个单位，得到△A1B1C1，再向下平移2个单位长度得到△A2B2C2，求△A2B2C2三个顶点的坐标.

⑵将△ABC三个顶点坐标的横坐标都减去5，纵坐标不变得到△A3B3C3，则△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？

⑶将△ABC三个顶点坐标的纵坐标都加上5，横坐标不变得到△A4B4C4，则△A4B4C4与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？

【解法指导】平移后得到的图形与平移前的图形的大小相等，形状相同. 解：⑴A2(5,1)B2（4，－1）C2（2,0）；

⑵△A3B3C3与△ABC大小相等，形状相同，△A3B3C3是△ABC向左平移5个单位得到的； ⑶A4（4,8） B4（3,6） C4（1,7），△A4B4C4与△ABC大小相等，形状相同，△A4B4C4是△ABC向上平移5个单位得到的.

【变式题目】

01.如图将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移

后三个顶点的坐标是（ ） A．（1,7），（0,2）（3,5） B（1,7），（0,2）（4,5） C（1,7），（2,2）（3,5） D（1,7），（2,2）（3,3）

28

7，2b＋2m)，且AB所在直线为第二、四象限夹角的平分线，求m的值． 502.将正方形向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得到的顶点坐标分别是（－1,2），（3,2），

（3，－2），（－1，－2），则平移前该正方形的四个顶点的坐标分别为： 3.如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是：A（0,0）B（6,0）C（5,5）

⑴求△ABC的面积；

⑵如果将△ABC向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1，再向右平移2个单位长度得到△A2B2C2，试求△A2B2C2三个顶点的坐标；

⑶试说明△A2B2C2与△ABC的形状、大小有什么关系？

【例3】在平面直角坐标中，点A（1,2）平移后的坐标A’（－3,3），按照同样的规律平移其它点，则下列哪种变换符合这种规律（ ）

A．（3,2）→（4，－2） B．（－1,0）→（－5，－4） C（2.5，－1/3）→ (－1.5,2/3) D(1.2,5) → (－3.2,6) 【解法指导】先仔细分析平移规律：点A（1,2）→ A’（－3,3），规律是：横坐标减少4，纵坐标增加1，再依据规律作出正确的判断.

【解】依据坐标平移规律，故选C． 【变式题组】

01．在平面直角坐标系中，点A（－2,3）平移后的坐标为A’（2，－3），按照同样的规律平移（1，－2），

得到 .

02．线段CD是由线段AB平移得到的,点A(－1,4)的对应点C（4,7），则点B（－4，－1）的对应点D的坐

标是 .

03．将点P(m－2,n+1),沿x轴负方向平移3个单位长度得到P1（1－m,2）,求点P的坐标. 04．平面直角坐标系中，△ABC个顶点的坐标分别是A（6,8），B（－2,0），C（－5，－3），△DEF各顶点的

坐标是D（0，3），E（8,11），F（－3,0），请仔细观察这两个三角形各顶点的坐标关系，判断△DEF是不是由△ABC平移得到的？如果是请回答平移规律；如果不是，请说明理由.

【例4】如图是某市市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为1个长度单位），请以某景点为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置.

光岳楼 金凤广场 动物园

【解法指导】若以金凤广场为坐标原点O，过点O的水平线为x轴，取向右为正方向；过点O的竖直直线为y轴，取向上为正方向，即可建立平面直角坐标系，各景点坐标的位置就可以表示出来.

【解】以金凤广场为坐标原点O，，建立如图所示的直角坐标系.所以：⑴光岳楼（1,1）

29

⑵金凤广场（0,0）；⑶动物园（6,5）. 【变式题组】

01．如图为某市旅游景点示意图，试以中心广场为坐标原点建立直角坐标系，用坐标表示各个景点的位置.

02．如图是传说中的一个藏宝图，藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图，现金的寻宝人没有原来的地图，

但知道在该图上有两块大石头A(2,1),B(8,2),而藏宝地的坐标是（6,6），试设法在地图上找到藏宝地点.

【例5】某村是一个古树名木保护模范村，仅百年以上树龄的古树就有5棵，第一棵古松树在小刚家的院子里，第二棵古松树在小刚家东南方向2000米处，第三棵古松树在小刚家北偏西30•方向1000米处，第四棵古松树在小刚家正东1000米处，第五棵古槐树在小刚家南偏西45•方向1500米处，请你画图表示这五棵古树的位置.

【解法指导】以小刚家为坐标原点，水平线为x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y轴，正北方向为正方向建立平面直角坐标系，再根据这五棵树的方位和数量关系即可确定它们的位置.

【解】以小刚家为坐标原点，水平线为x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y轴，正北方向为正方向建立平面直角坐标系，比列尺为1:50000，即1厘米表示500米.那么五棵数的位置如图所示.

【变式题组】

01．如图，为一公园内运动园的平面示意图：A为孔雀园，B为猴山，

C为鹦鹉园，D为天鹅园，E为熊猫园，F为师虎园.现以孔雀园来说：

⑴猴山在孔雀园的北偏东多少度的方向上？要想确定猴山的位置，还需要什么数据？

⑵与孔雀园距离相等的有几个园？它们是什么园？

30

⑶要确定狮虎园的位置还需要几个数据？请借助刻度尺、量角器，说出狮虎园距鹦鹉园的位置？

【例6】如图，早直角坐标系中，第一次将OAB变换成OA1B1，第二次将OA1B1变换成OA2B2，第三次将OA2B2变换成OA3B3，已知A（1,3），A1（2,3），A2（4,3）A3（8,3），B（2,0），B1（4,0），B2（8，0），B3（16,0）.

⑴观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再次将OA3B3变换成OA4B4，则A4

的坐标是 ，B4的坐标是 ；

⑵若按⑴题找到的规律，将OAB进行了n次变换，得到OAnBn,推测An的坐标是 ，Bn的坐标是 .

【解法指导】此题为猜想题，解这类题一般步骤是： ⑴＜1＞观察：高清观察的对象；

＜2＞分析：分析个数之间的关系，如：和、倍、分等数量关系；

＜3＞对比：在分析个数据的情况下，找出个数据之间的区别和联系，为归纳作准备； ＜4＞归纳：将观察、分析、对比得出的结论用文字或数学式子表示出来； ⑵这种数学方法是从特殊到一半的思想方法.

+1

分析：观察图形，可知An的横坐标是2n,而Bn的横坐标是按2n变化的.

+1

解：⑴A4(16,3),B4(32,0);An(2n,3),Bn(2n,0). 【变式题组】

01.（菏泽.淄博）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观

察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜想由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有 个.

【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，将坐标为（0,0), (5,0), (4,3), (1,3), (0,0),的点用线段依次连接起来形成一个图案，不画图形，回答下列问题.

若每个点的横坐标保持不变，纵坐标变成原来的2倍，将所得各点用线段依次连接起来，那么所得的图案与原来图案相比有什么变化？

若横坐标保持不变，纵坐标分别加2呢？ 若纵坐标保持不变，横坐标分别加2呢？ 若横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1呢？ 若纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1呢？

【解法指导】⑴所得图案与原图案相比，图案横向未变，纵向被拉长为原来的2倍；

⑵所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向上纵向平移了2个单位； ⑶所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向右横向平移了2个单位；

31

⑷所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于x轴成轴对称. ⑸所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于y轴成轴对称.

欲解此题，只要充分利用图形上点的坐标变化与图形的形状变化之间关系的规律即可. 演练巩固 反馈提高

01．将三角形ABC各顶点的横坐标不变，而纵坐标分别加4，连接三个点所得到三角形是三角形ABC（ ）

A．向左平移4个单位得到 B．向上平移4个单位得到 C．向右平移4个单位得到 D．向下平移4个单位得到

02. 将三角形ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标分别减5，连接三个点所得到三角形是由三角形ABC（ ）

A．向左平移5个单位得到 B．向右平移5个单位得到 C．向上平移5个单位得到 D．向下平移5个单位得到

’

03.（日照市）在平面直角坐标系中，把点P(－2,1)向右 平移一个单位，则得到的对应点P的坐标是（ ）

A．（－2,2） B．（－1,1） C．（－3,1） D．（－2,0）

04．如右图，将三角形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）

A．（2,2），（3,4），（1,7） B．（－2,2），（4,3），（1,7） C．（－2,2），（－5,－3），（0,－1）D．（－2,2），（－5,3），（0，－1） 05．利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下⑴根据

具体问题确定适当的单位长度；⑵建立平面直角坐标系；⑶在平面直角坐标系内画出各点.其中顺序正确的是（ ） A．⑴，⑵，⑶ B．⑵，⑴，⑶ C．⑶，⑴，⑵ D．⑴，⑶，⑵

06．如图，图是由图1经过变换得到的，下列说法中错误的是（ ）

A．将图1先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到图2 B．将图1先向上平移6个单位，再向右平移4个单位得到图2

C．将图1先向上平移6个单位后，再沿y轴翻折180•可得到图2 D．将图1先向右平移4个单位后，再沿x轴翻折180•可得到图2 07．在象棋中，“马走斜”是指“马”从“日”的一个顶点沿着对角线走向另一个顶点，图中“马”现在的位

置用（6,2）表示，要想“马”走现在“帅”的位置（如图），至少需要 步，写出“马”所走的路线（只要写出一种） .

08.（泸州）如图是某市市区四个旅游景点示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度），请以某景点为

原点，建立平面直角坐标系（保留坐标系的痕迹），请用坐标表示下列景点的位置. ⑴动物园 ，⑵烈士陵园 .

‘’‘

09.（永州）如图所示，要把线段AB平移，使得点A到达点A(4,2)，点B到达点B，那么点B的坐标是 . 10．华英学校七年级二班的三位同学：李丽，王明，张倩，他们从家到学校的路线分别是：

⑴李丽出家门口向东走50米，再向南走100米，可到学校； ⑵王明出家门口向西100米，再向南走150米，可到学校； ⑶张倩出家门口向东走100米，再向北走50米，可到学校.

根据以上条件建立坐标系，画出李丽、王明、张倩家的位置及学校的位置.

32

11. 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示.

⑴计算△ABC的面积；

⑵将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标； ⑶写出所得△A1B1C1和△ABC的形状、大小有什么关系？

培优升级 奥赛检测

01. 在平面直角坐标系内，已知点（2m,m－4）在第四象限内，且m为偶数，那么m的值为 . 02. 已知点P1（a－1,5）在第一、三象限角平分线上；点P2（2，b－8）在二、四象限角平分线上，则

2004

（－a+b）＝ .

03．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，以矩形的对角线交点为坐标原点，平行于边的直线为坐标轴，建立直角

坐标系，则四个顶点的坐标为 . 04．在正方形ABCD中，A、B、C三点坐标分别为（1,2）、（－2,1）、（－1，－2），则顶点D的坐标为 . 05．无论x为何实数值，点p(x+2,x－2)都不在第象限. 06．如果点A(

b2

,1)在第一象限，则点B(－a,ab)在第（ ）象限. aA．一 B．二 C．三 D．四 07．若点的坐标满足，则点P必在（ ）.

A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D． x或y轴上

22

08．已知x、y实数，且P(x,y)的坐标满足x+y＝0，则点p必在（ ）

A．原点上 B． x轴正半轴上 C． y轴正半轴 D． x轴负半轴上 09．（遵义）如图所示，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.设坐标轴的单位长度

为1厘米，整点P从原点O 出发，速度为1厘米/秒，且整点P作向上或向右运动，运动的时间（秒）与整点（个）的关系如下表“

整点P从原点O出发的时间（秒） 1 2 3 …

可以得到整点P的坐标 (0,1)(1,0) (0,2)(1,1)(2,0) (0,3)(1,2)(2,1)(3,0) … 可以得到整点P的个数 2 3 4 … 33

根据上表中的规律，回答下列问题：

⑴当整点P从点O出发4秒时，可以得到的整点P的个术士为 个；

⑵当整点P从点O出发8秒时，在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这些整点； ⑶当整点P从点O出发 秒时，可以到达整点（16,4）的位置.

34

第18讲 二元一次方程组及其解法

考点·方法·破译

1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念；

2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义； 3．熟练掌握二元一次方程组的解法. 经典·考题·赏析

－＋

【例1】 已知下列方程2xm1＋3yn3＝5是二元一次方程，则m＋n＝ . 【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件： ⑴这个方程中有且只有两个未知数； ⑵含未知数的次数是1；

⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.

m11【解】根据二元一次方程的概念可知：，解得m＝2,n＝ －2,故m＋n＝0.

n31【变式题组】

01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.

⑴2x＋5y＝16 (2)2x＋y＋z＝3 (3)02．若方程2xa1＋3＝y2b

＋

－5

1＋y＝21 (4)x2＋2x＋1＝0 (5)2x＋10xy＝5 x是二元一次方程，则a＝ ,b＝ .

14x23y104xy127x8y52y003．在下列四个方程组①，②，③x，④中，是二元

7xy29x45y02x4y92x3y4一次方程组的有 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3x2y7【例2】（十堰中考）二元一次方程组 的解是 （ ）

x2y5A． x3 B．

y2x1 C． y2x4 D． y2x3 y1【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案.

本例中，方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选D． 【变式题组】 01．（杭州）若x=1，y=2是方程ax－y＝3的解，则a的值是 （ ）

A．5 B．－5 C．2 D．1

x202．（盐城）若二元一次方程的一个解为，则此方程可以是 （只要求写一个）

y103.（义乌）已知：∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°,y°,下列方程组中符合题

意的是 （ ）

A． 

xy180 B．

xy30xy180 C． xy30xy90 D． xy30xy90 xy3035

3x2axby54．（连云港）若，是二元一次方程组2，的解，则a＋2b的值为 .

y1axby2【例3】解方程组xy7①

3x5y17②

【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或－1时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得y＝7－x ③,将③带入②可消去y,从而求解.

解：由①得，y＝7－x ③

将③带入②，得 3x＋5(7－x)＝17, 即35－2x＝17 x＝9

x9故此方程组的解是

y2【变式题组】

1.解方程组：

（南京）⑴2xy4x4y1 （海淀）⑵

x2y52xy162xy43xy5（花都）⑶ （朝阳）⑷

x2y55x2y232．方程组xy5的解满足x＋y＋a＝0,则a的值为 （ ）

2xy5A．5 B．－5 C．3 D．－3

2xy3①

【例4】解方程组

② 3x5y11【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消去，原则上尽量选择系数绝对值

较小的未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系数符号相同，则相减，若系数符号相反，则相加.

本题中，y的系数绝对值之比为5：1＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y. 解：①×5得，y＝7－x ③

③＋②,得 ，13x＝26 ∴x＝2 将x＝2代入①得 y＝－1

∴此方程组的解是【变式题组】

x2.

y1x101．(广州)以为解的二元一次方程组是 （ ）

y1A．xy0xy0xy0xy0 B． C． D．

xy1xy1xy2xy202．解下列方程组：

36

（日照）⑴2x3y5x2y3 （宿迁）⑵

3x2y123x8y13axby4x2的解为，则2a－3b的值为 （ ）

axby2y103．（临汾）已知方程组A．4 B．6 C．－6 D．－4 04．已知

① 2xy5 ，那么x－y的值为 ，x＋y的值为 . ② x2y63x2y2k12①

【例5】已知二元一次方程组 的解满足x＋y＝6,求k的值.

② 4x3y4k2【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k而得一个二元一次方程，此方程与x＋y＝6

联立，求得x、y的值，从而代入①或②可求得k的值；另一种是直接由方程组解出x、y，其中x、y含有k,即用含k的代数式分别表示x、y，再代入x＋y＝6得以k为未知数的一元一次方程，继而求k的值.

解：①×2，得， 6x＋4y＝4k＋24 ③ ③－②,得 2x＋7y＝22 ④ 由x＋y＝6，得2x＋2y＝12 ⑤，⑤

x4－④,得 －5y＝－10 ∴y＝2 将y＝2代入x＋y＝6得 x＝4 将带入①得 3×4＋2×2＝2k＋12 ∴k

y2＝2.

【变式题组】 01．已知⑴mx3ny13xy6与⑵有相同的解，则m＝ ,n＝ .

5xnyn24x2y8xy502．方程组的解满足方程x＋y－a＝0, 那么a的值为 （ ）

2xy5A．5 B．－5 C．3 D．－3 03．已知方程组

【例6】解方程组3x2yk的解x与y的和为8，求k的值.

2x3yk34(x3y)3(xy)16①

3(x3y)5(xy)12②

【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式，即（x＋3y）和（x－y）,如果我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解则将会大大减少运算量，当分别求出x＋3y和x－y的值后，再组成新的方程组可求出x、y的值，此种方法称为换元法.

解：设x＋3y＝a, x－y＝b, 则原方程组可变形为

4a3b16 3a5b12

③ ④

③×3，得 12a＋9b＝12 ⑤ ④×4, 得 12a－20b＝48 ⑥－⑤,得 29b＝0,∴b＝0 将b＝0代入

37

③，得 a＝4 ∴可得方程组【变式题组】 01．解下列方程组：

x3y4x1 故原方程组的解为.

xy0y14xyxyx6⑴2 ⑵（湖北十堰）394(xy)5(xy)2x02．（淄博）若方程组310y

75y2a3b134(x2)3(y1)13a8.3的解是，则方程组的解是 （ ）

3a5b30.93(x2)5(y1)30.9b1.2A． x6.3 B．

y2.2x8.3 C． y1.2x10.3 D． y2.2x10.3 y0.2

03．解方程组：

211① x16x3 110②

2x22y1【例7】（第二届“华罗庚杯”中学邀请赛试题）已知：方程组axby16x8的解应为，

cx20y224y10小明解此题时把c抄错了，因此得到的解是x12，则a2＋b2＋c2的值为 .

y13【解法辅导】x8x12是方程组的解，则将它代入原方程可得关于c的方程，由题意分析可知：y10y13是方程ax＋by＝－16的解，由此可得关于a、b的又一个方程，由此三个方程可求得a、b、c的值.

解：34

【变式题组】 01．方程组ax2y7x5x3时，一学生把a看错后得到，而正确的解是，则a、c、d的值是 （ ）

cxdy4y1y1AxBy2x1x2，甲正确解得，乙因抄错C，解得，求A、B、C

Cx3y2y1y6A．不能确定 B．a＝3, c＝1, d＝1 C． c、d不能确定 D． a＝3, c＝2, d＝ －2 02．甲、乙良人同解方程组的值.

38

演练巩固 反馈提高

01．已知方程2x－3y＝5,则用含x的式子表示y是 ，用含y的式子表示x是 . 02．(邯郸)已知x1axby1是方程组的解，则a＋b＝ .

y14xby203．若(x－y)2＋|5x－7y－2|＝0, 则x＝ , y＝ . 04．已知x2axby7是二元一次方程组的解，则a－b的值为 .

y14xby1－

－

05．若x3mn＋y2nm＝－3是二元一次方程，则m＝ ,n＝ .

06.关于x的方程（m2－4）x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5, 当m＝ 时，它是一元一次方程，当m＝ 时，

它是二元一次方程.

3x7y907．（苏州）方程组的解是 （ ）

4x7y5x2A．  B．

y1x23 C． y7x23 D． y7x23 y7x108．（杭州）已知是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是 （ ）

y1A．1 B．3 C．－3 D． －1 09．（苏州）方程组xy1的解是 （ ）

2xy5x2 C． y3x2 D． y1x2 y1x1A．  B．

y210．（山东）若关于x、y的二元一次方程组A．－xy5k的解也是二元一次方程3x＋3y＝6的解，则k的值为（ ）

xy9k3344 B． C． D．－ 443311．（怀柔）已知方程组12.解方程组：

axby2x3a2b的解为，求的值为多少？

a2baxby4y22x2y63x4y19⑴（滨州） ⑵（青岛）

x2y2xy426(y)7(x3)63⑶

218(x3)5(y)53 39

13．已知方程组2x5y6axby4和方程组的解相同，求代数式3a＋7b的值.

3x5y16bxay83x2yk的解x与y的和为8，求k的值.

2x3yk3mx2y10有整数解，求m2的值.

3x2y014． 已知方程组15．（希望杯试题）m为正整数，已知二元一次方程组培优升级 奥赛检测 01．当k、b为何值时，方程组ykxb①

y(3k1)x2②

ykxm至少有一组解.

y(2k1)x4⑴有唯一一组解 ⑵无解 ⑶有无穷多组解 02．.当k、m的取值符合条件 时，方程组03．已知：m是整数，方程组4x3y6有整数解，求m的值.

6xmy265x22y2z204．若4x－3y－6z＝0,x＋2y－7z＝0, (xyz≠0),则式子的值等于 （ ） 2222x3y10zA．－

05．（信利杯赛题）已知：三个数a、b、c满足

则

119 B．－ C．－15 D．－13 22ab1bc1ca1＝，＝，＝， ab3ac4ca5abc的值为 （ ）

abbcca1121A． B． C． D．

206121506． （广西赛题）已知：满足方程2x－3y＋4m＝11和3x＋2y＋5m＝21的x、y满足x＋3y＋7m＝20,那么m

的值为 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 07．（广西赛题）若|a＋b＋1|与（a－b＋1）2互为相反数，则a与b的大小关系是 （ ）

A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a≥b 08．（“华罗庚杯”竞赛题）解方程组

x1x2x2x3x3x4x1997x1998x1998x19991 x1x2x1998x19991999

40

xy1209.（全国竞赛湖北赛区试题）方程组的解的组数为 （ ）

xy6A．1 B．2 C．3 D．4

10．对任意实数x、y定义运算x※y＝ax＋by，其中a、b为常数，符号右边的运算是通常意义的加乘运算，已

知1※2＝5且2※3＝8，则4※5的值为 （ ）

A．20 B．18 C．16 D．14 11．（北京竞赛题）若a、b都是正整数，且143a＋500b＝2001,则a＋b＝ .

12．(华杯赛题）当m＝－5,－4,－3,－1,0,1,3,23,124,1000时，从等式（2m＋1）x＋(2－3m)y＋1－5m＝0可以

得到10个关于x和y的二元一次方程，问这10个方程有无公共解？若有，求出这些公共解.

13．下列的等式成立：x1x2＝x2x3＝x3x4＝ … ＝x99·x100＝x100·x101＝x101·x1＝1,

求x1 ，x2， …x100，x101的值.

第19讲 实际问题与二元一次方程组

考点·方法·破译

1．逐步形成方程思想，进一步适应列方程(组)解决实际问题的新思路. 2．学会用画图，列表等途径分析应用题的方法. 3．熟练掌握各类应用题中的基本数量关系.

4．学会找出每道应用题中所蕴藏的各种等量关系，并依此列出方程组.

41

经典·考题·赏析

【例1】甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向而行，1小时20分钟相遇，相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时追上了拖拉机，这时，汽车、拖拉机各自走了多少千米?

【解法指导】(1)画出直线型示意图理解题意

(2)本题有两个未知数——汽车的行程和拖拉机的行程.有两个相等关系：①相向而行:汽车行驶11小时的路程3+拖拉机行驶11的路程＝160千米；②同向而行：汽车行3驶

11小时的路程＝拖拉机行驶(1+)小时的路程. 22(3)本题的基本数量关系有:路程＝速度×时间.

11(xy)1603解：设汽车的速度为每小时x千米，拖拉机的速度为每小时y千米，根据题意，得1解

x(11)y22这个方程组，得1111x90,90(1)165千米，30（1+1）=85千米。

3232y30.答:汽车走了】65千米，拖拉机走了85千米.

【变式题组】

01．A、B两地相距20千米，甲从A地向B地前进，同时乙从B地向A地前进，2小时后二人在途中相遇，

相遇后，甲返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙二人的平均速度.

02．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他开车以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如

果以每小时75干米的速度行驶，那么可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离.

03．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火

车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度.

42

【例2】一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干天后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半便因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天?

【解法指导】⑴由甲、乙单独完成所需的时间可以看出甲、乙两人的工作效率，设总工作量为1，则甲每天完成

11，乙每天完成； 1218(2)若总工作量没有具体给出，可以设总工作量为单位“1”，然后由时间算出工作效率，最后利用“工作

量＝工作效率x工作时间”列出方程.

11xxy1解:设原计划甲做x天，乙做y天，则有，解方程组，得1218y11x12y1181228,6.答:原计划甲做8

天，乙做6天.

【变式题组】

01．一批机器零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合做，再做8天正好完成；如果乙先做5天后，甲

加入合做，再做9天也恰好完成，问两人每天各做多少个零件?

02．为北京成功申办2008奥运会，顺义区准备对潮白河某水上工程进行改造，若请甲工程队单独做此项工程

需3个月完成，每月要耗资12万元；若请乙工程队单独做此项工程需6个月完成，每月要耗资5万元. ⑴若甲、乙两工程队合做这项工程，需几个月完成?耗资多少万元?

⑵因种种原因，有关领导要求最迟4个月完成此项工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金.(时间按整月计算)

【例3】古代有这样一个寓言故事，驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说:“你抱怨干吗?如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是多少?

【解法指导】找出本题中的等量关系为：骡子的袋数+1＝2×(驴子的袋数－1)，驴子的袋教+1＝骡子的袋数－1

43

解:设骡子所驮货物有x袋，驴子有y袋，则依题意可得x12(y1)x1y1，解这个方程组，得x7y5.

答:驴子原来所驮货物有7袋.

【变式题组】

01．第一个容器有水44升，第二个容器有水56升.若将第二个容器的水倒满第一个容器，那么第二个容器剩下

的水是该容器的一半；若将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器剩下的水是该容器的三分之一.求两个容器的容量.

02．(呼市)《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上

的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的

1；若从树上3飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?

【例4】某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套(一个螺钉配一个螺母)时就可以运进库房.若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名.问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房?

【解法指导】这里有两个未知数——生产螺钉的人数和生产螺母的人数.有两个相等关系：(1)生产螺钉的人数+生产螺母的人数＝总人数(81名)；

(2)每天生产的螺钉数＝每天生产的螺母数.

解:设生产螺钉的工人有x名，生产螺母的工人有y名，根据题意，得xy81120x96yx36 得,解方程组，.y45答:有36名工人生产螺钉.有45名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房. 【变式题组】

01．某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳力，

使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母)，则应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母?

02．木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可以加工10把椅子，现在如何安排劳动

力，使生产的一张桌子与4把椅子配套?

03．现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，

问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子?

【例5】一名学生问老师:“你今年多大?”老师风趣地说:“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经37岁了”.请问老师今年多少岁，学生今年多少岁.

【解法指导】如何找出应用题的等量关系是解决应用题的关健，也是难点，本题中，老师的两句话分别蕴含着两个等量关系，其本质就是根据师生不同时段的年龄差相等.

44

师生过去的年龄差＝师生现在的年龄差＝师生将来的年龄差，可列表帮助分析:

过去 现在 将来

师 y x 37

生 0 y x

差 y－0 x－y 37－x

xy37x① 【解】设现在老师x岁，学生y岁，依题可列方程组37xy0②解此方程组得x25y13答:老师今年25岁，学生今年12岁.

【变式题组】

01．甲、乙两人聊天，甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁.”乙对甲说:“当我的岁数是你现

在的岁数时，你将61岁”.同学们，你能算出这两人现在各是多少岁吗？试试看.

02．6年前，A的年龄是B的3倍，现在A的年龄是B的两倍，A现在的年龄是( )

A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁

03．甲对乙风趣地说:“我像你这样大岁数的那年，你才2岁，而你像我这样大岁数的那年，我已经38岁了.

甲、乙两人现在的岁数分别为___________.

【例6】(威海)汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区.我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种账篷共600顶.已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，则A、B两种帐篷各多少顶?

【解法指导】本题等量关系有两个：A种帐篷数＋B种帐篷数＝600，1700×A种帐篷数＋1300×B种帐篷数＝940000，若设A、B两种帐篷数分别为x、y，即可得方程组.

【解】设A种帐篷有x顶，B种帐篷有y顶，依题意可列方程组xy600①解这个

1700x1300y940000②方程组可得x400y200 答：A种帐篷400顶，B种帐篷200顶.

【变式题组】

01．(桂林)某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售.该公司加工该种蔬莱的能力是:每天可以精

加工4吨或粗加工8吨.现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工?

02．(济南)教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而

成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同.请你根据第一、

45

二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格. 03．（云南）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴.

村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求: (1)A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元?

(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元?

【例7】已知有三块牧场，场上的草长得一样快，它们的面积分别为31公顷、10公顷和24公顷.第一块3牧场可供12头牛吃4个星期，第二块牧场可供21头牛吃9个星期.试问第三块牧场可供多少头牛吃18个星期?

【解法指导】此题涉及的草量有三种，一是牧场原有生长的草量，二是每周新长出的草量，三是每头牛每周吃掉的草量，分析相等关系时要注意草量“供”与“销”之间的关系:

第一块牧场:原有草量+4周长出的草量＝12头牛4周吃掉的草量； 第二块牧场:原有草量+9周长出的草量＝21头牛9周吃掉的草量； 第三块牧场:原有草量+18周长出的草量＝？头牛18周吃掉的草量.

解:设牧场每公顷原有草x吨，每公项每周新长草y吨，每头牛每周吃草a吨，依题意，得1010y4412a x3310x10y9921ax10.8a 解这个关于x、y的二元一次方程组，得y0.9a设第三块牧场18周的总草量可供

则:zz头牛吃18个星期，

24x24y1824(10.8a0.9a18)36(头)

18a18a答:第三牧场可供36头牛吃18个星期.

【变式题组】

01．某江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40

分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.若想尽快处理好险情，将水在10分钟内抽完，那么至少需要抽水机多少台?

46

02．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相同)不停地向池塘内流淌，现池塘中

有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完;若用两台A型抽水机则要20分钟正好把池塘中的水抽完;若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时闻恰好把池塘中的水抽完?

演练巩固 反馈提高 一、填空：

01．将一摞笔记本分给若于名同学，每个同学6本，则剩下9本;每个同学8本，又差了3本，则这一摞笔记

本共___________本.

02．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好组成这个个位数字与十位数

字对调后的两位数，则这个两位数是__________.

03．现有食盐水两种，一种含盐12%，另一种含盐20%，分别取这两种盐水akg和bkg，将其配成16%的盐

水100kg，则a＝_______，b＝__________.

04．在2006—2007西班牙足球甲级联赛中，凭借最后几轮的优异成绩，皇家马德里队最终夺得了冠军，已知

联赛积分规则是:胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，皇家马德里队在最后12场比赛得到31分，且平、负场次相同，那么皇家马德里队最后12场比赛胜了________场.

05．(重庆)含有同种果蔬但浓度不同的A，B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克.现从这两种

饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_________千克.

06．.已知乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的

1调入甲组，则甲组比乙组人数多15人，则甲、乙两3组的人数分别为_______、________.

07．小明家去年节余5000元，估计今年节余9500元，并且今年收人比去年提高15%，支出比去年降低10%，

则小明家去年的收人为_____元，支出为_______元. 二、选择题:

08．某次数学知识竞赛共出了25道试题，评分标准如下:答对1题加4分;答错1题扣1分;不答记0分.已知李

明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了() A．18题 B．19题 C．20题 D．21题

09．甲、乙两地相距120km，一艘轮船往返两地，顺流时用5h，逆流时用6h，这艘轮船在静水中航行的速度

和水流速度分别为( )

A．22km/h，2km/h B．20km/h，4km/h C．18km/h，6km/h D．26km/h，2km/h 10．看图，列方程组:

上图是“龟兔赛跑”的片断，假设乌龟和兔子在跑动时，均保持匀速，乌龟的速度为v1米/小时，兔子的速度为v2米/小时，则下面的方程组正确的是( )

20010v1 A．v25v10002

47

20010v2 B．v15v1000120010v1 C．v25v1000120010v2 D．v15v1000211．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有

120张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，则可得方程组()

A．xy120,xy120,xy120, B． C．

40x16y.10x80y.40y210x.D．以上都不对

12．甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙;如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙.设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为( )

A．5y105x,5x5y10,5x105y,5y5x10,B． C． D．

4y6x.4x6y.4x6y.4y6x.三、解答题

13．(贺州)福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬

衫3件或裤子5条.

(1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应各安排多少人制作衬衫和裤子?

(2)已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫?

14．(晋江)2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，下图是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容

分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克?

48

15．(长沙)“5·l2”汉川大地震后，灾区急需大量帐篷，某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工

厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区.若启用1条成衣生产线和2条童装生产线可以生产帐篷105顶;若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶. (1)每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶?

⑵工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务?如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感?

培优升级 奥赛检测

01．(第十七届江苏省竟赛题)美国篮球巨星乔丹在一场比赛中24投14中，拿下28分，其中三分球三投全中，

那么乔丹两分球投中______球，罚球投中_______球.

02．甲、乙分别自A，B两地同时相向步行，2小时后在途中相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/

时，当甲到达B地后立刻按原路向A地返回，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返回.甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，则A，B两地的距离是_____千米.

03．(武汉市选拔赛试题)某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，

将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码.

04．(第17届“希望杯”邀请赛试题)放成一排的2005个盒子有4010个小球，其中最左端的盒子中放了a

个小球，最右端的盒子放了b个小球，如果任意相邻的12个盒子中的小球共有24个，则( ). A， a＝b＝2 B． a＝b＝1 C． a＝1，b＝2B．a＝2，b＝1

05．(广西竞赛题)某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人;如果

开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车.问:原先去租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)

06．(河南省竞赛题)司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，1小时后，看到里程碑

上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过1小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少?

49

07．(第17届江苏省竞赛题)某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过3500米，今有甲、乙、丙三个

施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道.他们于某天零时同时开工，每天24小时连续施工.若干天后的零时，甲完成任务;几天后的18时，乙完成任务;自乙队完成的当天零时起，再过几天后的8时，丙完成任务，已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米、240米、180米，问这段路面有多长?

08．(首届江苏省“数学文化节”能力素质挑战题)如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方

形(尺寸如图)，求图中阴影部分的面积.

09．(第9届“华杯赛”决赛试题)某次数学竞赛前60名获奖.原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人;现

调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分.如果原来二等奖比三等奖平均分数多了7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分?

mxnyz710.已知x＝2，y＝－1，z＝－3，是三元一次”程组2nx3y2mx5的解，求m2－7n＝3k的值.

xyzk

11．(“希望杯”邀请赛)购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支，共需3元，而购买铅笔10支，作业本4本，

圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元钱?

12．四边形ABCD的对角线相交于O点，且三角形ABC、BCD、CDA、DAB的面积为5、9、10、6，求三角

A 形OAB、OBC、OCD、ODA的面积.

x u

B D y O z

C

13.（重庆竞赛）某校七年级的新生男女同学的比例为8:7，一年后收转学生40名，男女同学的比例变为17:15.

到九年级时，原校学生有转学来的，统计知净增10名，此时男女同学的比例为7:6.问:该校在七年级时招收的新生中，各招了男女同学多少名?(注:该校七年级新生人数不超过1000人)

50

第20讲 三元一次方程组和一元一次不等式组

考点·方法·破译

1．了解三元一次方程组和它的解的概念；

2．会解三元一次方程组并会用它解决较简单的应用题； 3．了解一元一次不等式和一元一次不等式组的解集；

4．会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会进行一些简单的用．

经典·考题·赏析

应

2xy7①【例１】解方程组5x3y2z2②

3x4y4z16③【解法指导】观察发现，本方程组共有两个三元一次方程，一个二元一次方程．解三元一次方程组的基本思想是消元，将其转化为二元一次方程组来求解．因此，根据本题特点有两种主要思路：一是代入法，将①分别代入②、③消去y，从而得到一个以x、z为未知数的二元一次方程组；二是由②③用加减法消去z得一个以x、y为未知数的方程，再与①联系，得一个二元一次方程

51

解：方法⑴

由①得：y＝2x－7 ④ 将④代入②，得

5x＋3(2x－7)－3z＝2 即11x＋3z＝23 ⑤ 将④代入③，得

3x－4(2x－7)－4z＝16

即－5x－4z＝－12 ⑥

解二元一次11x3z23x2得5x4z12z12将x＝2代入①得y＝－3

x∴原方程组的解为2y3

z12方法⑵

②×2得 10x＋6y＋4z＝4 ④ ④＋③得 13x＋2y＝20 ⑤ 解方程组2xy713x2y20得x23

y将x2代入②得y3z12

x2∴原方程组的解为y3

z12 52

【变式题组】 1．解下列议程组：

xy1⑴xyz26 2xzy182xy7⑵3y2z8 3x4z4x:y5:3⑶x:z7:2 x2y3z4xy81994

2．解方程组yz6，并且mx＋2y－z＝10，求m的值．

xz4

【例2】北京时间2006年1月23日，科比率领湖人队在洛杉矶迎接多伦多猛龙队的挑战．在比赛中，科比全场46投28中，罚篮命中率高达90%，疯狂砍下职业生涯最高分81分，其中依靠罚球和三分球所得分数比其他投篮得分仅仅少了3分，最终湖人队以122︰104获胜．科比的81分超越了近20年来乔丹69分的得分记录，也成为继张伯伦1962年3月2日对阵纽约尼克斯砍下的NBA单场最高得分记录100分之后，联盟历史上排名第二的单场个人最高分．在篮球比赛中，三分球每投中一个加3分，除此之外其他的投篮每投中一个加2分．若是对方犯规，罚球每中一个，加1分，且在计算命中率时，罚球是单独计算的，不计入总的出手次数，那么通过上面的这则新闻，你能算出科比投中的三分球、二分球和罚球分别是多少个吗？

【解法指导】列方程组解决实际问题时，关键是找出题中的等量关系（注意找全所有的等量关系），然后适当设出未知数，列出各个方程组成方程组．

本题中，等量关系有3个：

⑴科比全场共得81分；⑵科比46投28中，即他的三分球和二分球总共中了28次；⑶罚球和三分球所得的分数比其他投篮得分仅仅少了3分，即三分球和罚球的分数之和比二分球得分少3分．

利用这三点就很容易建立方程组求解．

解：设科比投中x个二分球，y个三分球，z个罚球． 依题意得：

2x3yz81x21解得Ly7 xy283yz2x3z18【变式题组】

1．某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件

各一个可以配成一套，现要在63天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套？

53

2．2003年全国足球甲A联赛的前12轮（场）比赛后，前三各比赛成绩如下表．

大连实德队 上海申花队 北京现代队 胜（场） 8 6 5 平（场） 2 5 7 负（场） 2 6 1 3 0 2 22积分 2问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分？

【例3】下列各命题，是真命题的有（ ）

22

①若a＞b,则a－b＞0 ②若a＞b，则ac＞bc ③若ac＞bc，则a＞b

22

④若ac＞bc，则a＞b ⑤若a＞b，则3a＞3b ⑥若a＞b，则－3a＋1＞－3b＋1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解法指导】不等式的三条性质，是解决有关不等式的命题的重要依据，深入透彻理解不等式的三条性质的真实内涵，是判断上述各命题的关键．第①题是直接运用不等式的性质

22222

1，完全正确．第②题是将不等式a＞b的两边同乘以c，但c≥0，当c＝0时，ac＝bc，故本题不对．第③题是将ac＞bc的两边同除c得到a＞b，虽然条件知c≠0，但c可正可负，

222

当c＜0时，a＞b就不成立，故本题不对．第④题由条件ac＞bc知c≠0，因而c2＞0,故本题正确．第⑤题中，设a＞b两边同乘以3，满足性质2，故正确．第⑥题中由a＞b得－3a＜－3b．因而－3a＋1＜－3b＋1，因此不对，本小题运用了性质3和性质1．

解：C

【变式题组】

1．下列各命题，正确的有（ ）

①若a－b＞0,则a＞b ②若a＜b,则ac＜bc

③若＞,则a＞b ⑤若a＞b，则

acbc④若a＜b，则

ab ＜c2c22

ab ＞22m1m1⑥若a＞b，则a＞ab

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

22

2． ⑴关于x的不等式（m＋1）x＞m＋1解集是________________；

⑵若关于x的不等式（m＋1）x＜m＋1的解集是x＜1，则m满足的条件是_________ 3．若关于x的不等式（2a－b）x＞3a＋b的解集是x＜

集是多少？

7,则关于x的不等式2ax≥3b的解3 54

159x104x①【例4】解不等式组1并把解集在数轴上表示出来． 3x1≤7x②22【解法指导】不等式的解集就是不等式组中每个不等式的公共解集．这就要求首先会解

每个不等式然后会综合不等式组的解集．一般地，对于a＜b，有下列四种情形．

⑴xaxb即同大取大

xb⑵xaxa即同小取小

xbxa⑶axb即大小小大中间找

xb⑷xa无解即大大小小无法找

xb解：由不等式①可得x＞1， 由不等式②得x≤4

综合可得此不等式组的解集是1＜x≤4

－－0 1 2 3 4 5 6 7

【变式题组】

1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

3x14⑴

2x≤x25x12≤2(4x3)⑵3x1

122x1x-1,并且满足3(x＋a)－5a1＜322．已知整数x满足不等式3x－4≤6x－2和不等式

＋2＝0，试求5a2

3．已知|1－x|＝x－1，则不等式组

1的值. 2a5x42x1的解集为________________

3x12 55

x3(x2)2①【例5】若关于x的不等式组a2x有解，则a的取值范围是多少？

x②4x2【解法指导】分别解每个不等式，可得a，若原不等式组有解，由“大小小大中

x2间找”的法则，可知︰在数轴上看，2与示在数轴上如下图：

aa之间必有“空隙”，且2在的左边，将它们表22a 2⑴

2

2 a2⑵

2 ⑶

a 2

显然只有图⑶才符合要求，所以2＜解：由⑴可知：x＞2 由⑵可知：x＜

a,即a＜4． 2a 2∵原不等式有解 ∴2＜

a 2即a＞4

故a的取值范围是a＞4 【变式题组】 1．选择题：

⑴若关于x的不等式组A．a＜3

x2a1≤0有解，则a的取值范围是(

x3a4≥0C．a＞3

D．a≥3

)

B．a≤3

x3(x2)4⑵若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（

3xa2xA．a＜1 ⑶若不等式组B．a≤1

C．a＝1

D．a≥1

）

）

xa≥0有解，则a的取值范围是（

12x＞x2C．a≤1

A．a＞－1 B．a≥－1

2．试确定a的取值范围，使不等式组：

D．a＜1

56

x1x＞1①4 111.5a(a1)＞(ax)0.5(2x1)②22只有一个整数解． 3．不等式组xa1的解集中，任一个x的值均不在3≤x≤7的范围内，求a的取值范

xa2围。

输入正整数x 【例6】如图所示，要使输出值y大于100,则输入的最小正整数x是______________.

【解法指导】由计算机编入程序的问题，主要是由题目中

奇数 偶数 设置的不同程序，对输入的不同数值上，其计算路径也不同．，此类题的关键，是读懂题目所给的程序（框图）．本题中，对×4 于输入的正整数x，分奇数和偶数分别进行计算．若x为奇数，

×5 则乘以5，得出输出值y为5x，即y＝5x．若输入的x为偶数，

则y＝4x＋13． ＋13 解：当x是奇数时，由程序运算得5x＞100,解得x＞20，

输出y 所以输入的最小正整数x是21；当x是偶数时，由程序运算得

4x＋13＞100，解得x＞21.75，所以输入的是最小正整数x是22.综上可知，输入的最小正整数x是21．

【变式题组】

1．如下图，当输入x＝2时，输出的y＝_________________

2．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为______________

57

【例7】解不等式：|x＋3|－|2x－1|＜2

【解法指导】解含有绝对值的不等式，就是要设法脱去绝对值符号，主要有两种方法：一是采用较为常用的“零点分段法”分类去掉绝对值符号．（所谓“零点”，就是指使得每个绝对值符号内的代数式的值为0的未知数的值），再在相应的范围内解一元一次不等式，本题中“零点”即是x＝－3和x＝

111,从而分x＜－3，－3≤x≤，x＞这三个范围分别脱222去绝对值符号而求解．此法可以简单地说成“找零点、两边分”．二是根据绝对值定义可得：

xaaxa，x≥ax≥a或x≤a这样，可以快速脱去绝对值符号，避免复

杂的讨论，如解不等式|3x＋1|＜2，可快速得－x＜3x＋1＜2即－3＜3x＜1，所以－1＜x＜避免了讨论．

解：解法⑴：零点为x＝－3，x＝1)＜2．

解不等式得x＜6，又x＜－3． 所以原不等式的解为x＜－3

1,31,①当x＜－3时，原不等式化为－(x＋3)＋(2x－21时，原不等式化为(x＋3)＋(2x－1)＜2 21解此不等式得x＜0，又－3≤x＜，所以原不等式的解为－3≤x＜0

21③当x≥，原不等式化为（x＋3）－(2x－1)＜2

21解此不等式得x＞2,又x≥,所以原不等式的解为x＞2

2②当－3≤x＜

综上所述，原不等式的解为x＜0或x＞2． 解法⑵：由原不等式得： |2x－1|＞|x＋3|－2.

所以2x－1＞|x＋3|－2.① 或2x－1＜|x＋3|－2.②

由①得|x＋3|＜2x＋1→－（2x＋1）＜x＋3＜2x＋1，解得x＞2. 由②得|x＋3|＜3－2x→－（3－2x）＜x＋3＜3－2x．解得x＜0． 综上所述，原不等式的解为x＞2或x＜0． 【变式题组】 1．解不等式（组）：

⑴|x－2|≤2x－10 ⑵|2x＋1|＞x－3

3xyk12．若方程的解为x,y，且2＜k＜4，则x－y的取值范围是（

x3y3A．0＜x－y＜

）

1 B．0＜x－y＜1 C．－3＜x－y＜－1 D．－1＜x－y＜1 258

演练巩固·反馈提高

01．在三元一次方程x－2y＋3z＝5中，若x＝1，y＝－1，则Z＝________________．

2

02．若|x－3z|＋(y－1)＋|2x＋3|＝0，则x＝________，y＝________，z＝_________． 03．已知x︰y︰z＝3︰4︰5，且x＋y＋＋z＝36，则x＝________，y＝________，z＝_________．

04．不等式组2x51的整数解是_________________3x8≤10．

05．mx－2＜3x＋4的解集是x＞

6m3,则m的取值范围是________________． 2x06．不等式组≤3x2＜1的解集是_________________________．

07．若不等式组x2ax2b的解集是－1＜x＜2，则a＝____，b＝____．

08．若不等式组x3a2xa4的解集是x＜3a＋2，则a的取值范围是_________________．09．已知方程组3x2y4a3x3ya7的解满足x＋y＞0，则a的取值范围是___________．210．如果方程

2xa4xb35的解不是正数，则a与b的关系是（ ） A．5a≤5b B．5a＜3b C．a＞553b D．b＞3a

11．不等式组x1≤3x6的解集为(

)

2A．x＞3 B．x≤4 C．3＜x＜4 D．3＜x≤4 12．三角形三边长为a、b、c，且a＞b，则下列结论正确的有（

）

①a－c＞b－c；②

aabcbcacbc；③

abab；④baba A．① B．①②③

C．①②④

D．①②③④

13．解方程组：

xy10xyz⑴

xz6

⑵02xyz7 

yz14x3yz8

59

14．解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来．

x1≥01⑴ 334(x1)1

15．解答题：

3x54⑵2x6≥10 1(x3)2≥122x5x5①3⑴关于x的不等式组只有5个整数解，求a的取值范围．

x3xa②2

mxy5①⑵m取什么整数时，方程组的解满足x＞0且y＜0？

2x3my7②培优升级·奥赛检测

01．若－1＜a＜b＜0，则下列式子中正确的是（

A．－a＜－b B．02．一共有（

A．10000

） D．a＞b

2

2

11 abC．|a|＜|b|

）个整数x适合不等式|x－2000|＋|x|≤9999． B．20000 C．9999 D．80000

03．设a,b是正整数，且满足56≤a＋b≤59，0.9＜

a22

≤0.91,则b－a等于（ b）

A．171 B．177 C．180 D．182

04．当a＞3时，不等式ax＋2＜3y＋b的解集是x＜0，则b＝_____________． 05．已知|3x－4y|＝42，|x－1|≤5，|y＋2|≤4，则x＋y＝_____________．

06．将2004写成若干个质数的乘积，如果a,b,c是这些质数中的三个，且a＜b＜c，那么关

于x、y的方程组bxay1的解是x＝_________,y＝______________．

axcy16507．如果不等式组x10无解，则a的取值范围是______________．

xa008．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动．规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答，以后

在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答，抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是________________________．

60

三、解答题：

09．解不等式|3x＋2|－|x－6|＞1

10．已知：

2x15x3x，求|x－1|－|x＋3|的最大值和最小值． 1≥x32

11．已知a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中

最小的a1的最大值． 12．求满足下列条件的最小正整数n，对于这个数n，有唯一的正整数k，满足

8n7 ．

15nk13

13．已知：实数a,b满足1≤a＋b≤4，0≤a－b≤1，且a－2b有最大值，求：8a＋2003b的

值．

61

第21讲 一元一次不等式（组）的应用

考点·方法·破译

1．进一步巩固一元一次不等式和一元一次不等式组的解法及它们的解集的意义，并会简单运用•

2．会列不等式或不等式组解决一些典型的实际问题• 经典·考题·赏析

【例1】当x取何有理数时，代数式

1x2的值不大于1？ 23【解法指导】从题目中找出不等关系来，并依此列出不等式，解此不等式即可求出本题

所求“不大于”，即是小于或等于，类似的还有“不超过”、“不多于”、“顶多为”，另外，“不少于”、“不低于”、“至少为”等，即为“大于或等于”•

解：依题意得

1x2≤1 23去分母，得 3－2(x－2)≤6

去括号，得 3－2x＋4≤6

合并同类项，得 －2x≤6－3－4 即 －2x≤－1 系数化为1，得 x≥∴ 当x取值不小于【变式题组】 01．如果1 2

11x2时，的值不大于1• 2232(1x)的值是非正数，则x的取值范围是（ ） 3 A．x≤－1 B．x≥－1 C．x≥1 D．x≤1 02．当x取何值时，代数式2x－5的值：

⑴大于0？ ⑵等于0？ ⑶不大于－3？ 03．若代数式

x1x1x1的值不小于的值，求正整数x的值• 326xy元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原2【例2】（乐山）某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午他又买了20斤，价格为每斤y元•他以每斤

因是（ ） A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y

【解法指导】若要比较两个有理数a和b的大小，有一种方法就是判断a－b的值的正负：若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b，反之亦然•用这种方法比较两数大小，称之

xy的大小的问题，所谓“赔了钱”，就2xyxy是进价30x20y50，也就是30x20y500变形可得x＞y，故选B•

22为作差比较法•本题实质就是比较30x＋20y与50【变式题组】

62

x22x1201．如果比大，则x的取值范围是（ ）

33

A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≠1

32302．试比较两个代数式xx2x与x1的大小•

03．若代数式3x2x1比3xx1大，求x的取值范围•

【例3】某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，从甲、乙两商场了解到统一餐桌每张均为200元，餐椅报价每把均为50元•甲商场称：每购买一张餐桌赠餐椅；乙商场称：所有的餐桌、餐椅均按报价的八五折销售，那么什么情况下到甲商场购买更优惠？什么情况下到乙商场购买更优惠？

【解法指导】餐椅的购买数量是个变量，到哪个商场购买更优惠，取决于餐椅的数量多少•把餐椅数量设为x把，到甲、乙两商场购买所需费用分别设为y甲、y乙，它们分别用含x的式子表示，再比较y甲、y乙的大小即可，在求y甲是，应注意x减去12后，在乘以50，即y甲＝200×12＋50(x－12)；同理y乙＝(200×12＋50x)×85%•

解：设学校计划购买x把餐椅，到甲、乙两商场购买所需费用分别为y甲元、y乙元• 根据题意，得：y甲＝200×12＋50(x－12)，即y甲＝1800＋50x，

y乙＝(200×12＋50x)×85%，即y乙2040①当y甲＜y乙时，180050x20402285x• 285x， 2解这个不等式，得x＜32•

即当购买的餐椅少于32把时，到甲商场购买更优惠• ②当y甲＞y乙时，180050x204085x， 2解这个不等式，得x＞32•

即当购买的餐椅多于32把时，到乙商场购买更优惠• ③当y甲＝y乙时，180050x204085x， 2 解这个不等式，得x＝32• 即当购买的餐椅等于32把时，到两家商场购买均可• 【变式题组】 01．某电信公司对电话缴费采取两种方式，一种是每月缴纳月租费15元，每通话1分钟0.20

元；另一种是不交月租费，但每通话1分钟收话费0.30元•请问，用那种缴费方式比较合适？

02．某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～25人，甲、

乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元•经协商，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可以免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠，该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 03．（潍坊）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸

63

箱•供应这种纸箱有两种方案可供选择：

方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元； 方案二：由蔬菜加工厂朱琳机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取，工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需要成本费2.4元•

⑴若需要这种规格的纸箱x个，请用含x的代数式表示购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）；

⑵假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由•

【例4】（潍坊）为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化•绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于3

10亩，并且种植草皮面积不少于种植树木面积的，则种植草皮的最小面积是多少？

2【解法指导】应用题中，要充分挖掘题目中所蕴含的不等关系，一个也不能遗漏，否则就会出错•

注意到题中表示不等关系的关键词语“不少于”，这是列不等式的依据•显然，本题中有三个不等式关系：

3

①种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩；②种植草皮面积不少于种植树木面积的，2根据这三个不等关系可以求出种植草皮的面积的范围•

解：设种植草皮的面积为x亩，则种植树木的面积为(30－x)亩，

x≥10则有30x≥10，解得18≤x≤20•故x的最小值为18•

3x≥(30x)2答：种植草皮的最小面积为18亩• 【变式题组】

01．2007年某厂制定某种产品的年度生产计划，现有如下数据供参考：

⑴生产此产品的现有工人为400人； ⑵每名工人的年工时约计2200小时；

⑶预测2008年的销售量在10万箱到17万箱之间； ⑷每箱需用工4小时，需用料10千克；

⑸目前村料1000吨，2007年还需用料1400吨，到2007年底可补充原料2000吨• 试根据以上数据确定2008年可能生产的产量，并根据产量确定工人人数•

02．某公司在下一年度计划生产出一种新型环保冰箱，下面是公司各部门提出的数据信息；

人事部：明年生产工人不多于80人，每人每年工作时间2400h计算； 营销部：预测明年年销量至少为10000台；

技术部：生产1台电冰箱平均用12个工时，每台机器需要安装5个某种主要部件； 供应部：今年年终库存主要部件1000件，明年能采购到这种主要部件80000件• 根据上述信息，下一年度生产新型冰箱数量应该在什么范围内？

【例5】（襄樊）“六一”儿童节前夕，某消防官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意购买了一些送给这个小学的小朋友作为节日礼物•如果每班分10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班虽然分得有福娃，但不足4套•问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？

【解法指导】抓住题中的关键词“虽然分有福娃，但不足4套”来建立不等式组，这是本题的关键所在•

解：设该小学有x个班，则奥运福娃共有(10x＋5)套，

10x513(x1)4①根据题意，得

10x513(x1)②解①得x＞

14，解②得x＜6• 3

因为x只能取正整数，所以x＝5，此时10x＋5＝55• 答：该小学有5个班级，奥运福娃共有55套• 【变式题组】

01．幼儿园有玩具若干份，分给小朋友，如果每个小朋友分3件，难么还剩59件；如果每

个小朋友分5件，那么最后一个小朋友还少几件，这个幼儿园有多少玩具？有多少个小朋友？ 02．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们•若每名学生

送3本，则还余8本；若前面每名学生送5本，则最后一名学生得到的课外读物不足3本•设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，请你解答下列问题• ⑴用含x的代数式表示m；

⑵求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数•

【例6】某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，现计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，则工厂安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来•

【解法指导】此为典型的材料供应类设计方案的应用题，题中的不等关系不很明显，但经过认真分析，结合生活实际仍可挖掘出题中所蕴含的不等关系，即生产所使用的甲种原料总量不得超过360千克，乙原料总量不得超过290千克，据此可以列出两个一元一次不等式，从而组成一元一次不等式组•

65

此类题的不等关系不十分显眼，发掘不等关系是解决此类题之关键所在• 解：设安排生产A种产品x件，则生产B种产品(50－x)件•根据题意，得

9x4(50x)≤360，解这个不等式组，得30≤x≤32• 3x10(50x)≤290因为x需要取整数，所以x可以取30、31、32，对应50－x应取20、19、18•

故可设计三种方案：A种产品30件，B种产品20件；A种产品31件，B种产品19件；A种产品32件，B种产品18件• 01．（泰州）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称“蒜你狠”、“豆你玩”•

以绿豆为例，5月上旬某市绿豆的市场价已达16元/千克•市决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格•经市场调研预测，该市每调进100吨绿豆，市场价格就下降1元/千克•为了既能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在8元/千克到10元/千克之间（含8元/千克和10元/千克）•问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？ 02．（深圳）迎接亚运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙

种花卉搭配A、B两种园艺找些共50个摆放在迎宾大道两侧•已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆•

⑴某校九年级⑴班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来； ⑵若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明⑴中哪种发案成本最低？最低成本是多少元？

03．（桂林）某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客

车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元• ⑴该校初三年级共有多少人参加春游？ ⑵请你帮该校设计一种最省钱的租车方案• ．．．

7xm≥0【例7】（第17届江苏省竞赛题）如果关于x的不等式组的整数解仅为1，

6xn02，3，那么适合这个不等式组的整数对(m，n)共有( )对

A．49 B．42 C．36 D．13 【解法指导】本题属于“由不等式的解集中包含的整数解来确定字母系数的值”这类题，此类题首先根据不等式组的解集包含哪些整数来确定每个边界点的范围，据此求出符合条件的字母系数的值•

解：由此不等式组得到其解集是

mn≤x• 76∵此解集中仅含有整数1，2，3• ∴0mn≤1，即0m≤7，且3≤4 即18n≤24 76故m＝1，2，3，4，5，6，7，n＝19，20，21，22，23，24

故符合此不等式组的整数对(m，n)共有6×7＝42对，即本题选B•

66

【变式题组】

3xa001．（江苏赛题）已知：关于x的不等式组的整数杰有且仅有4个：－1，0，1，bx22，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对(a，b)共有多少个？

演练巩固 反馈提高 01．用不等式表示：

⑴x与2的和小于5________________； ⑵a与b的差是非负数_________________•

xy

02．若x＜y，则x－y______y－2；5－x_______5－y；a2x_______a2y；－_____－；

35

x(a＋1)______ y(a＋1)• 03．不等式组2

2

x5≤12x30的解集是___________，其整数解是__________•

04．关于x的不等式组xa0的整数解共有6个，则a的取值范围是 •

32x01

，则a的取值范围是__________________• a－5

05．已知：三角形的两边为3和4，则第三边a的取值范围是_________________• 06．若不等式(a－5)x＞1的解集是x＞

07．如果不等式组x73x7的解集是x＞7，则n的取值范围是（ ）

xn A．n≥7 B．n≤ C．n＝7 D．n＜7

08．若abcd＞0，a＋b＋c＋d＞0，则a、b、c、d中负数的个数至少有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 09．如果

2(1x)是非正数，则x的取值范围是（ ） 3D．x≤1

A．x≤1 B．x≥1 C．x≥1

52x≥110．已知：关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）

xa0 A．a＞3 B．a≥3 C．0＜a＜3 D．a≤3

11．（河南）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同

的优惠方案：在甲超市累计购买商品超过300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超过200元后，超出部分按原价8.5折优惠，设顾客预计累计购物x元（x＞300）•

⑴请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所需费用； ⑵试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由•

67

12．七⑵班共有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制

作材料36kg，乙种制作材料29kg，制作A、B两种型号的陶艺品用料情况如下表：

1件A型陶艺品 1件B型陶艺品 需甲种材料 0.9kg 0.4kg 需乙种材料 0.3kg 1kg ⑴设制作B型陶艺品x件，求x的取值范围；

⑵请你根据学校现有的材料分别写出七⑵班制作A型和B型陶艺品的件数• 13．（济南）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件，学校计划租用

甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李•

⑴设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；

⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助选择哪一种租车方案更节省费用•

14．（威海）响应“家电下乡”的惠农，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型

号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元•已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为1200元/台、1600元/台、2000元/台•

⑴至少购进乙种电冰箱多少台？

⑵若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？ 15．（中山）某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙

两种型号的汽车10辆•经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李•

⑴请你帮助学校设计所有可行的租车方案；

⑵如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省•

68

培优升级 奥赛检测

9xa≥001．如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这三个不等式组的整数a、

8xb0b的有序数对(a，b)共有（ ）对• A．17 B． C．72 D．81 02．（全国数学竞赛题）设a、b、c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与C的平均数

为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（ ） A．M＝P B．M＞P C．M＜P D．不确定的 03．（第18届江苏省竞赛题）a1、a2、…、a2004都是正数，如果M＝(a1＋a2＋…＋a2003)(a2

＋a2＋…＋a2004)，N＝(a1＋a2＋…＋a2004)( a2＋a2＋…＋a2003)，那么M、N的大小关系是（ ） A．M＞N B．M＝N C．MN D．不确定的 04．（“希望杯”邀请赛试题）设ma2a1a，n，p，若a＜－3，则（ ） a3a1a2 A．m＜n＜p B． n＜p＜m C． p＜n＜m D．p＜m＜n

05．（“希望杯”邀请赛试题）已知：a、b、c、d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜50，

那么a的最大值是（ ） A．1157 B．1167 C．1191 D．1199

x4x106．（“CHSIO杯”河南省竞赛题）已知关于x的不等式组32的解集为x＜2，那

xa0么a的取值范围是________________•

07．（浙江省复赛题）正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别冲A、

C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米/秒，乙的速度为8厘米/秒，那么出发后经过_______秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上• 08．（“CHSIO杯”河南省竞赛题）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备•现有

A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水及年消耗费如下表•经计算，该企业购买设备的资金不高于105万元，请你设计，该企业购买方案有_______种•

价格（万元/台） 处理污水量（吨/月） 年消耗费（万元/台） A型 12 240 1 B型 10 200 1 09．（北京市竞赛题）大、中、小三个正整数，大数与中数之和等于2003，中数减小数之差

等于1000，那么这三个正整数的和为_____________• 10．（四川省竞赛题）已知不等式ax＋3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是______•

69

11．（黄冈市选拔赛试题）小慧上宝塔观光，他发现：若上了7阶楼梯时，剩下的楼阶梯数

是已上的阶数的3倍多，若再多上15阶楼梯时，已上阶数是剩下的楼梯阶数的3倍多，那么，此宝塔的楼梯一共有多少阶•

12．若正整数x＜y＜z，k为整数，且

111k，试求x、y、z的值• xyz 13．（华杯决赛题）已知：a1＋2a3≥3a2，a2＋2a4≥3a3，a3＋2a5≥3a4，…，a8＋2a10≥3a9，

a9＋2a1≥3a10，a10＋2a2≥3a1，且有a1＋a2＋a3＋…＋a10＝100，求a1，a2，a3，…，a9，a10的值•

70

第22讲 一元一次不等式（组）与方程（组）的结合

考点·方法·破译

1．进一步熟悉二元一次方程组的解法，以及一元二次不等式组的解法． 2．综合运用一元一次不等式组和二元一次方程组解决一些典型的实际问题． 经典·考题·赏析

【例1】求方程3x+27＝17的正整数解．

【解法指导】一般地，一个二元一次方程有无数个解，但它的特殊解是有限个，如一个二元一次方程的正整数解，非负整数解都是有限个．

求不定方程的正（非负）整数解时，往往借助不等式，整数的奇偶性等相关知识来帮助求解．

解：将方程变形为2y＝17－3x 即y173x 2173x＞0 2172∴x＜即x＜5

33173x又∵y为正整数（即为整数）

2∵y＞0 ∴∴17－3x为偶数 ∴x必为奇数 ∴x＝1，3，5

173x17317 22173x1733当x＝3时，y4

22173x1735当x＝5时，y1

22当x＝1时，y

x=1x=3x=5

故原方程的正整数解为 或 或

y=7y=4y=1

【变式题组】

01．求下列各方程的正整数解：

⑴2x+y＝10 (2) 3x+4y＝21

02．有10个苹果，要分给两个女孩和一个男孩，要求苹果不得切开，且两个女孩所得的苹

果数相等，每个孩子都有苹果吃，问有哪几种分法？

71

【例2】足球联赛得分规定如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分•某队在足球联赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？

【解法指导】本题中，所有的等量关系只有两个，而未知量有三个•因而所列方程的个数少于未知数的个数，即为不定方程组，但每个未知数量的数目必为非负整数•因此，此题的实质就是滶不定方程的非负整数解的问题．

此方程组有两个方和，三个未知数，解法仍然是消元，即消去某一个未知数后，变为二元一次方程，再仿照例1的解法施行．

解：设该队胜了x场，平了y场 ，负了z场，依题意可得：

x＋y＝4 ① 

3x＋y＝6 ②

②－①得：2x－z＝2 ③ 变形得： z＝2x－2 ∵0≤z≤2

∴0≤2x－2≤2 即1≤x≤2 又x为正整数 ∴x＝1，2

相应地，y＝3，0 z＝0，2

答：这个队胜了1场，平了3场，或胜了2，负了2场． 【变式题组】 01．（佳木斯）为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其

单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么可能购买甲种笔（ ）． A．11支 B．9支 C．7支 D．5支

02．一旅游团50人到一旅舍住宿，旅舍的客户有三人间、二人间、单人间三种•其中三人间

的客房每人每晚20元，二人间的客房每人每晚30元，单人间的客房每人每晚50元． (1)若旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住了几间？怎样住消费最低？

(2)若该旅游团中，夫妻住二人间，单身住三人间，小孩随父母住在一起，现已知有小孩4人（每对夫妻最多只带1个小孩），单身30人，其中男性17人，有两名单身心脏病患者要求住单人间，问这一行人共需多少间客房？

x－y=a+3

【例3】已知：关于x、y的方程组 若x＞y，求a的取值范围．

2x+y=5a

【解法指导】解本题的指导思想就是构建以a为未知数的不等式•解之即得a的取值范围，构建不等式的依据就是x＞y，而解方程组即可用a的代数式分别表示x和y，进而可得不等式．

x－y＝a＋3x＝2a＋1

解：解方程组 得 

2x＋y＝5ay＝a－2

∵x＞y ∴2a＋1＞a－2 解得a＞－3

72

故a的取值范围是a＞－3． 【变式题组】

01．已知：关于x的方程3x－(2a－3) ＝5x＋(3a＋6)的解是负数，则a的取值范围是_____．

x+y=3a+9

02．已知：关于x、y的方程组x－y=5a+1 的解为非负数．



(1)求a的取值范围；

(2)化简｜4a+5｜－｜a－4｜．

03．当m为何值时，关于x的方程

2x+y=5m+6

4．已知方程组x－2y=－17 的解x、y都是正数，且x的值小于y的值，求m的取值范围．



x6m15m1的解大于1？ x632

x－a＞2

【例4】（凉州）若不等式 的解集是－1＜x＜1，求（a+b）2009的值．

b－2x＞0

【解法指导】解此不等式组得a+2＜x＜

b，而依题意，该不等式的解集又是－1＜x2＜1，而解集是唯一的，因此两解集的边界点分别“吻合”，从而得两等式即得方程组，解之可得a、b之值．

x－a＞2ab 解：解不等式组 得a+2＜x＜

－2x＞02 又∵此不等式组的解集是－1＜x＜1 a+2=－1a=－3a

∴ b=1a 解设

b=2a

2∴（a+b）2009＝（－1）2009＝－1 【变式题组】

2a+x＞a01．若 的解集为－1＜x＜2，则a＝___________，b＝_____________．

2－3x＞ax－a≥bb02．已知：关于x的不等式组的解集为3≤x＜5，则的值为（ ）

2x－a＜2b+1a A．－2 B．1 2 C．－4 D． 1 473

x4＞x103．若关于x的不等式组3 的解集为x＜2，则a的取值范围是___________． 2x+a＞0b

x+2＞a+b

04．已知：不等式组 的解庥为－1＜x＜2，求（a+b）2008的值．

x－1＜a－b

【例5】（永春）商场正在销售“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，已知购买1盒“福娃”玩具和2盒徽章共需145元；购买2盒“福娃”玩具和3盒徽章共需280元•

(1)一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格各是多少元？

(2)某公司准备购买这两种奥运商品共20盒送给幼儿园（要求每种商品都要购买），且购买金额不能超过450元，请你帮该公司设计购买方案•

【解法指导】本题属材料选择类的方程与不等式结合的实际应用题，但方程组与不等式组是分开的•分析可知：第(1)问只需依照题目主干所提供的两个等量关系即可列出二元一次方程组•第(2)问由题目所给不等关系“购买金额不能超过450元”及第(1)问所求出的数据列出不等式，从而求解•

解：(1)设一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别为x元和y元．

x+2y=14x=125

 依题意，得 解得 2x+3y=280y=10

答：一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别是125元和10元．

(2)设购买“福娃”玩具m盒，则购买徽章（20－m）盒．

由题意，得125m+10（20－m）≤450，解得m≤2.17．所以m可以取1，2． 答：该公司有两种购买方案．

方案一：购买“福娃”玩具1盒，徽章19盒； 方案二：购买“福娃”玩具2盒,徽章18盆． 【变式题组】

01．(益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3

本笔记本;小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；

(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品， 奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．

02． (眉山)渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾

0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%． ⑴若购买这批鱼苗共用了 2600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？ ⑵若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？

⑶若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？ 03．（盐城）整顿药品市场，降低药品价格是国家的惠民之一．根据国家的《药品

定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%根据相关信息解决下列问题：

⑴降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？

74

⑵降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实 际情况决定：对甲种药品每盒加价15%对、乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？ 【例6】认真阅读下面三个人的对话．

小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱入）．

售货员：本来你用10元钱买一盒饼干是多余的，但再买一袋牛奶就不够了．不过今天是儿童节，我给你买的饼干打九折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱．

旁边者：一盒饼干的标价可是整数哦！

根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少？

【解法指导】本题的条件蕴藏在对话中，应学会从对话中获取信息，“用10元钱买一盒饼干是多余的”， 说明一盒饼干的售价小于10元，此不等关系之一；“但再买一袋牛奶就不够了 ”，说明一盒饼干和一袋牛奶的价格之和大于10元，此不等关系之二．对话中还包含有一个等量关系，就是用10元钱买上述两样东西剩余0.8 元钱，即是说一袋牛奶与一盒饼干的价格之和等于10元减去0.8元，由一个方程和两个不等式结合最终可求出答案．

解：设饼干的标价为每盒x元，牛奶的标价为每袋^元.根据题意，得

x＋y＞10 ①0.9x＋y＝10－0.8 ② x＜10 ③

由②，得y＝9.2－9x将其代入①，得x+9.2－9x＞10，解得：x＞8．所以综合③可知8＜x＜10．

又因为x为整数，所以x＝9，y＝9.2－9x＝1.1

即饼干的标价为每盒9元，牛奶的标价为每袋1. 1元． 【变式题组】

01．某次足球联赛A组共6队，比赛规定采取小组循环赛的形式，取前3名进人决赛，记分

方法为胜1场得2 分，负1场扣1分，平1场不得分，问该小组共需比赛几场？某队得了 7分，则它是几胜几负？能否进人决赛？

02．(杭州)宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全

省招收的“宏志班” 学生，也有一般普通班学生．由于场地、师资等条件，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%问今年最少可招收“宏志班”学生多少名？

03．把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本，

那么最后一个同学分不到3本，这些书有多少本？学生有多少人？

75

【例7】(北京市竞赛题)已知：a、b、c是三个非负数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b－3c＝1，设m＝3a+b－7 c，设x为m的最大值，y为m的最小值．求xy的值．

【解法指导】要求某一代数式的最大(或最小)值，往往依题意构建一个不等式组：若s≤m≤t，则m的最小值为s，最大值为t．

本题思路亦类此，首先利用前两个等式，将c看作已知量，解关于a、b的二元一次方程组，得到用含c的式子表示a、b的形式，代入第三个等式，得到用含c的式子表示m的形式，同时依据a、b、c均为非负数，得到c的范围，代入m与c的关系式，得m的范围，因而x、y可求．

解：由条件得：

3a＋2b=5－c

解得： 

2a＋b=1+3 ca=7c－3 b=7－11 c

则m＝3a+7－7c＝3(7c－3)+ (7－11 c) －7 c ＝3 c－2 由a≥0，b≥0，c≥0得

7c－3≥07－11c≥0 c≥0

13755解得，≤c≤从而x＝－，y＝－故xy＝．

71177711

【变式题组】

01．若a、b 满足3a+5∣b∣＝7，S＝2a2－3∣b∣，则 S 的取值范围是 ．

02．已知：x、y、z是三个非负有理数，且满足3 x+2 y+z＝5，x+y－z＝2，若S＝3 x+ y－z，

则S的取值范围是 ． 演练巩固 反馈提高 一、填空题

01．方程3x+y＝ 10的解有 个，其正整数解有 个．

02．若关于x的不等式(a－1)＜a+5和2x＜4的解集相同，则a的值为 ． 03．已知：关于x的不等式2x－a≥－3的解集如图所示，则a＝ ．

2x－y=m

04．已知方程组，若未知数x、y满足尤x+y＞0，则m的取值范围是 ．

2y－x=13x+2y=2k

05．若方程组的解满足无x＜1且y＞0，则整数k的个数是 ．

2y－x=3

∣x－1∣06．若＝－1则x的取值范围是 ．

x－1

二、选择题

x－y≥bb

07．已知：关于尤的不等式组的解为3≤x＜5，则的值为( )

a2x－a＜2b+1

A．－2 B．－2 C．2 D．1

76

08．若∣x+1∣＝－1－x，∣3x+4∣＝3x+4．则x取值范围是( )

444

A．－≤x≤－1 B．x≥－1 C．―≤x≤―1 D．―＜x＜―1

333

09．已知：m、n是整数，3 m +2＝5n+3，且3 m +2＞30，5n+3＜40，则mn的值是〈 〕 A．70 B．72 C．77 D．84

10．某次测验共20道选择题，答对一题记5分，答错一题记―2分，不答记0分，某同学得

48分，那么他答对的题目最多是（ ）道． A．9 B．10 C．11 D．12 三、解答题

11．学校举办奥运知识竞赛，设一、二、三等奖共12名，奖品发放方案如下表： 一等奖 1盒福娃和1枚徽章 二等奖 1盒福娃 三等奖 1枚徽章 用于购买奖品的总费用不少于1000元但不超过1100元，小明在购买“福娃”和徽章前，了解到图所示的信息：

⑴求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？

⑵若本次活动设一等奖2名，则二等奖和三等奖应各设多少名？ 12．（宿迁）某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3

株，乙种花木1 株，共需成本1500元．

⑴求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元；

⑵据市场调研，1株甲种花木的售价为760元，1株乙种花木的售价为540元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？

13．—项维修工程，若由甲工程队单独做，则40天可以完成，需费用24万元；若由乙工程

队单独做，则60天可以完成，需费用21万元•现打算由甲、乙两工程队共同完成，要使该项目的总费用不超过22万元，则乙工程队至少要施工多少天？

77

14．足球联赛得分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分•在一次足球赛中，南

方足球队参加了 14场比赛，至少负了 1场，共积分19分．试推算南方足球队胜、平、负各多少场． 15．（温州）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒.

⑴现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个．①根据题意，完成以下表格： 盒纸板 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 竖式纸盒（个） x 4x 横式纸盒（个） 2(100－x) ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜306．则求a的值．(写出一个即可)

培优升级 奥赛检测

4x+y=k+1

01．若方程组的解满足条件0＜x+y＜1，则k的取值范围是( )

x+4y=3

A．－4＜k＜1 B．－4＜k＜0 C．0＜k＜9 D．k＜－4

3x+2y=a

02．（浙江省竞赛题)要使方程组的解是一对异号的数，则a的取值范围是( )

2x+3y=2

444

A．＜k＜3 B．a＜ C．a＞3 D．a＜或a＞3

333

78

c

03．已知a+b+c＝0，a＞b＞c，则 的取值范围是 ．

a

04．(新加坡竞赛题）正整数m、n满足8m+9n＝mn+6，则m的最大值是 ． 05．（“希望杯”邀请赛初一试题）（中国古代问题）唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，

则剩余一人；若一千零二卒为一营，则剩余四人，此次点兵至少有 人． 06．（第15届“希望杯”邀请赛试题）若正整数x、y满足2004x＝15y，则x+y的最小值为 ． 07．（北京市竞赛题）有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不

能表示为3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 ． 三、解答题

x－y=a+3

08．已知:关于x的方程组的解满足x＞y＞0，化简∣a∣+∣3－a∣．

2x+y=5a

09．a、b、c、d是正整数，且a+b＝20，a+c＝24，a+d＝22，设a+b+c+d的最大值为M，最

小值为N，求M－N的值．

10．在车站开始检票时，有a(a＞0)名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有

旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？ 11．（河南省竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒

地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？

79

12．(“希望杯”初二竞赛题)一个布袋中有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标

有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中，红球的个数最多不超过多少个？ 1+2+3+…+n－k

13．（第20届中学数学竞赛题）已知：n、k皆为自然数，且1＜k＜n，若，

n－1

及n+k＝a，求a的值．

第23讲 数据的收集与整理

考点•方法•破译

1．了解收集数据的方法、会设计简单的调查问卷，收集数据，能根据问题查找相关资料，获得数据信息•

2．通过抽样调查，体会用样本估计总体的思想• 经典•考题•赏析

【例1】下列调查中哪些适用全面调查方式，哪些适用抽样调查方式• (1)为了解某班所有同学的视力情况；

(2)为了解本校七年级400名学生在家承担家务老动的情况； (3)为了解一箱（100只装）灯炮的寿命；

(4)某校为了解全校每个学生的心里健康状况，请一位心里专家对全校学生进行问卷调查；

【解法指导】考察全体对象的调查叫全面调查，光从调查对象中抽取部分对象调查，然后根据调查的数据推断全体对象的情况，这种调查方式叫抽样调查•

使用全面调查：一是考查对象的数目不多；二是考查对象特殊•

使用抽样调查：一是考查对象的数目很多；二是工作量大；三是收集数据有困难；四是破坏性大．

解：⑴全面调查 （２）抽样调查 （３）抽样调查 （４）全面调查 【变式题组】

01．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）

A．调查一批新型节能灯炮的使用寿命 B．调查长江流域的水污染情况 C．调查北京市初中学生的视力情况

D．为保证“神七”的成功发射，对其对零部件进和检查• 02．下列调查中调查方式正确的是（ ）

80

A．为了调查不同品牌牛奶中三聚氰胺的含量状况，对品牌选择抽样调查• B．为了选择身体条件优秀的适龄青年入伍，对报名人员选择抽样调查• C．为了检测汽车的安全系数所进行的碰撞实验，选择全面调查• D．“神舟”七号发射前对“长征二号F火箭”的检查，属于全面调查• 03．下列抽样调查中所选的样本合适吗？

⑴张老师为了解全班50名学生对英语单词的掌握情况，抽查了5名进行检查• ⑵为了解全校２６个班的课外活动情况，从七年级抽查了两个班进行分析•

⑶为调查全市中学生的上网情况，在全市的300所中学随意抽查50所学校的学生的上网情况•

⑷为了解我国中学多媒体的普及情况，在北京市作了抽样调查•

【例２】某次考试有２０００名学生参加，为了了解２０００名学生的数学成绩，从中抽取了７００名学生的数学成绩进行调查统计分析，在这个问题中有下述４种说法：① ７００名学生是总体的一个样本•②２０００名考生是总体•③７００名考生数学平均成绩可估计总体数学平均成绩•④每个考生的数学成绩是个体，其中正确的说法（ ）

A．1种 B．2种 C．３种 D．４种 【解法指导】总体：要考查的对象的全体是总体称为总体• 个体：组成总体的每一个考查对象称为个体• 样本：被抽取的那些个体组成一个样本• 样本容量：样本中个体的数目称为样本容量•

总体，样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，在本题中，总体、样本都是指考生的数学成绩，而不是考生•选B．③ ④

【变式题组】

01．为了了解某市七年级200名学生的身高，从中抽取500名学生进行测量，对这个问题，

下列说法正确的是（ ）•

A．2000名学生是总体• B．每个学生是个体•

C．抽取的５００名学生是所抽的一个样本 D．每个学生的身高是个体

【例３】某冰箱厂2008年前三个季度的冰箱产量如下：一季度570台，二季度0台，三季度720台•为了清楚的比较每个季度，请你画出相应的统计图•

【解法指导】根据统计图的特征可知，从条形统计图中可以清楚的看出每个项目的具体数目•所以本

720 题制作条形统计图比较合适• 900 0 解：制作的条形统计图如图

600 570 制作条形图的一般步骤是：

⑴根据情况，画两条互相垂直的射线； 300 ⑵在水平射线上，适当分配条形的宽度、位置及问题； 一 二 三 季度 ⑶在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况确定单位长度；

81

⑷按照数据的大小，画出长度不同的直条并注明数量．

【变式题组】 01．（益阳）汶川大地震发生后，某中学八年级⑴班共40名同学开展了“我为灾区献爱心”

活动•活动结束后，生活委员小林将捐款情况进行了统计,并绘制成如图所示的统计图,求这40名同学捐款的平均数.

人数 16 12 9 3 0 20 30 50 100 金额（元）

【例4】 看到猪肉价格持续上涨,小兰和她的同学对当地去年上半年猪肉价格作了统计:一到六月份每千克的猪肉价格(单位:元)分别是:23,25,28,30,27,29.为了反映该地区一到六月份猪肉价格的变化情况,请你画出相应的统计图.

【解法指导】根据统计图的特征可知,折线统计图能够清楚地表示出数量的变化情况.故应画折线统计图.

解:所画的折线统计图如图所示. 制作折线统计图的步骤是: 根据统计图的资料整理数据;

(2)画横轴、纵轴，横轴纵轴都要有单位，价格(元/千按纸面的大小来

确定用一定单位长度表示一 35定的数量； 3030292827(3)根据数量的多少，在纵 252520轴、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点

15用线段顺次连接起来. 10 5月份 0【变式题组】 二三四五六1．（荆门）某住宅小区六月份的1至6日每天的

用水量变化情况如图所示,那么这6天的平均用水量是( ) A．30吨 B．31吨 C．32吨 D．33吨 【例5】小明家10月份的支出情况如下:购物支出120元,医疗支出144元,伙食支出432

82

元,教育支出216元,其它支出288元.为清楚的看出每项支出所占的比例,请你画出相应的统计图.

【解法指导】根据统计图的特征可知,从扇形统计图中能清楚的看到各部分在总体中所占的百分比,故本题应画扇形统计图.

解(1)计算支出总数:120+144+432+216+288＝1200(元).

其他 (2)计算各项支出占总支出的百分比:购物:120÷1200×100﹪

购物 24% ＝10﹪;医疗:144÷1200×100﹪＝12﹪;伙食:432÷1200×100﹪医疗 10% ＝36﹪;教育:216÷1200×100﹪＝18﹪;其它:288÷1200×100﹪12% 教育 ＝24﹪.

18% 伙食 (3)计算相应扇形所对的角度:购物:360°×10﹪＝36°,医疗:

36% 360°×12﹪＝43.2°,伙食: :360°×36﹪＝129.6°

教育: :360°×18﹪＝.8°,其它: 360°×24﹪＝86.4° (4)制作扇形统计图(如图所示). 制作扇形统计图的步骤;

(1)先算出各部分数量占总数量的百分比; (2)再算出各部分数量的扇形的圆心角度数.

100元 5元 (3)取适当的半径画圆,在圆内画出各个扇形.

8% 12% 10元 (4)在各扇形中标出数量名称和所占的百分数.

50元 20% 【变式题组】

16% 01.(长沙)在一次捐款活动中,某班50名同学分别拿出自己的零花钱,

40元 有捐5元、10元、20元的,还有捐50元和100元的.右图的统计44% 图反映了不同提款数的人数比例,那么该班同学平均每人提款________元.

02．某校七年级D班同学在“你我同心,抗击非典”的募捐活动中,自愿捐款情况如下表:

每人提款数(元) 相应人数

根据上表所给的条件,回答下列问题: 该班共有______名学生. 该班共捐款_____元;

根据上表信息制成条形统计图和户型统计图.

【例6】 在“创优”活动中,我市某校开展收集废旧电池活动,该校七年级(1)班为了估计四月份收集废旧电池的个数,随机抽取了该月某7天收集废旧电池的个数,数据如下(单位:个):48,51,53,47,49,50,52.求这7天该班收集废旧电池个数的平均数,并估计四月份(30天)该班收集废旧电池的个数.

【解法指导】先求出样本平均数,再利用样本平均数去估计总体平均数.

2 5 5 10 10 20 20 15 4851475349505250(个)7解:这7天收集废旧电池个数的平均数为:

所以估计四月份该班收集废旧电池的个数为50×30＝1500(个).

83

即这7天收集废旧电池平均数为50个,四月份该班收集废旧电池约1500个. 【变式题组】

01．某水果公司以2元/千克的单价新进了10000千克柑橘,为了合理定出销售价格,水果公

司需将运输损坏的水果成本算到没有损坏的水果售价中,销售人员从柑橘中随机抽取若干柑橘统计损坏情况,结果如下表;

柑橘质量(千克) 损坏的质量(千克) 50 5.50 200 19.94 500 51.54 02．如果公司希望全部售完这批柑橘能够获得5000元株数 利润,那么在出售柑橘时,每千克大约定价____元. 20 15

10

5

0 10 12 14 15黄瓜根数/株

03.(天津)为了解某新品种黄瓜的生长情况,抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数,得到如图

的条形图,观察图,可知共抽查了_____株黄瓜,并可估计出这个新品种黄瓜平均每株结_______根黄瓜. 【例7】(北京)在每年年初召开的市人代会上,北京市财政局都要报告上一年度市财政预算情况.以下是根据2004～2008年报告中的有关数据制作的市财政教育预算与实际投入统计图表的一部分.

年份 教育实际投入与预算的差值 2004 2005 2006 2007 2008 8 6.7 5.7 14.6 7.3

2004年～2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表(单位:亿元)

年份 教育实际投入与预算的差值 2004 2005 6.7 2006 5.7 2007 14.6 2008 7.3 请根据以上信息解答下列问题: 请在表中的空格内填入2004年市财政教育实际投入与预算的差值; 求2004～2008年北京市财政教育实际投入与预算的平均数;

84

已知2009年北京市财政教育预算是141.7亿元,在此基础上,如果2009年北京市财政教育实际投入按照(2)中求出的平均数增长,估计它的金额可能达到多少亿元?

【解法指导】 观察统计图可知2004年差值为52.2－44.2＝8.

解:(1)2004～2008年北京市财政教育实际投入与预算的差值统计表(单位:亿元)

86.75.714.67.342.38.46(亿元)55(2),所以2004～2008年北京市财政教

育实际投入与预算差值的平均数是8.46亿元

(3)141.7+8.46＝150.16(亿元).

估计2009年北京市财政教育实际投入可能达到150.16亿元.

【变式题组】

01.(南京)如图是甲,乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图,根据统计图,下面对全年食品支出费用判断正确的是( )

A.甲户比乙户多 B.乙户比甲户多

C.甲.乙两户一样多 D.无法确定哪户多

衣着 25% 教育 23% 食品 31% 其它 21% 衣着 23% 教育 19% 食品 34% 其它 24%

02. (青岛)某市为调查学生的视力变化情况,从全市九年级学生中抽取了部分学生,统计了每

个人连续三年视力检查的结果,并将所得数据处理后,制成折线统计图和扇形统计图,如图所示.

被抽取学生视力在4.9

被抽取学生2008年的视力分布情况 A 40% B 30% C D10% 20% A:4.9以下 B:4.9～5.1 C:5.1 ～5.2 D:5.2以上 (每组数据只含最小值不含最大值) 人数 以下的人数变化情况

800 500 300 0 2006 2007 2008

(1)

时间(年)

解答下列问题:

该市共抽取了多少名九年级学生?b

若该市共有8万名九年级学生,请你估计该市九年级视力不良(4.9以下)的学生大约有多少人?

根据统计图提供的信息,谈谈自己的感想(不超过30字).

85

的

万人)

03.(杭州)统计2010年上海世博会前20天日参观人数,得到如下频数分布直方图(部未完

成):

上海世博会前20天日参观人数的频数分布直方图 ⒈请补全频数分布表和频数分布直方图;

⒉求出日参观人数不低于22万的天数和所占的百分比;

⒊利用以上信息,试估计上海线世博会(会期184天)的参观总人数.

组别(万人) 组中值(万人) 频数 频率

7.5～14.5 11 5 0

.25

14.5～21.5 6 0

.30

21.5～28.5 25 0

.30

28.5～35.5 32 3

练习巩固. 反馈提高

01．全世界受到威胁的动物种类数,如下表:

动物分类 哺乳类 鸟类 爬行类 两栖类 鱼类 无无脊椎动物类 受到威胁的种类 约1100 约1100 约300 约100 约700 约1900 对于这一组数据一般不用的统计图是( )

A． 扇形统计图 B条形统计图 C．拆线统计图 D．都不可以 02．1994年以后我国历次人口普查情况如下表:

年份 1953 19 1982 1990 2000 人口/亿 5.49 6.95 10.08 11.34 12.95 对于这一组数据一般不用的统计图是( )

03.下列抽查必须用抽样调查方式来收集数据的个数为( )

①检查一大批灯泡使用寿命的长短;②调查某一城市居民家庭收入状况;③了解全班学生的身高情况;④检查某种药品的疗效.

A．1个 B． 2个 C．3个 D．4个

04.(济南)如图所示,表示某校一位初三学生平时一天的作息时间安排,临近中考他又调整了

自己的作息时间,准备再放弃1个小时的睡觉时间,原运动时间的

1和其它活动时间的21,全部用于在家学习,那么现在用于在家学习的时间是( ) 2A．3.5小时 B．4.5小时 C．5.5小时 D．6小时 05.(武汉)近几年来,国民经济和社会发展取得了新的成就,农村经济快速发展,农民收入不

断提高.如图统计的是某地区2004～2008农村居民人均年纯收入.根据图中信息,下列判断:①与上一年相比,2006年的人均年纯收入增加的数量高于2005年人均年纯收入增加

86

35783255100%3255的数量;②与上一年相比,2007年人均年纯收入的增长率为;③若

按2008年人均年纯收入的增长率计算,2009年人均年纯收入将达到

41403578414013578元.其中正确的是( )

A．只有①② B．只有②③ C．只有①③ D．只有①②③

小时 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 人均年收入/元 4140 3587 3255 2622 2936 年2004 2005 2006 2007 2008

(第5题图)

份

在学校睡觉(第4题图)

在家学习运看动电视其它活动内容

9 8 76 0

06.(绍兴)如图是小敏五次射击的折线图,根据图中信息,则此五次成绩的平均数是_____环. 07.(重庆)在暑期社会实践活动中,小明所在小组同学与一家玩具生产厂家联系,给该厂组装

玩具,该厂同意他们组装240套玩具.这些玩具分为工A、B、C三种型号,它们的数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数量如图.若每人组装同一型号玩具的速度都相同,根据以上信息完成下列填空:

(1)从上述统计图可知,A型玩具有______套,B型玩具有_____套,;

(2)若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同,那么ɑ的值为____,每人每小时组装C型玩具______套.

成10 (环) A型55% B型 C型25% A B C 项目

(7题图2)

绩8 2a－2 a

08.(浙江)衢州市的总面积是8837平方千米,总人口是247万人(截至2006年),该市有6个

县(市、区)，统计各县（市、区）的行政区域面积及平均每万人拥有面积如图所示• ⑴行政区域面积最大的是哪个县（是、市、区），这个县（市、区）约有多少面积？（精

1 2 34(第6题图)

5

次 (7题图1)

87

确到1平方米）

⑵衢州市的人均拥有面积是多少（精确到1平方米），6个县（市、区）中有几个县(市,区)的有均拥有面积超过衢州市人均拥有面各积? (3)江山市约有多少人(精确到1万人)?

衢州市各县（市、区）行政区域面积统计图

龙游县

面积/平方千米

开化县25.17% 12.88% 柯城区6.%

（2）

常山县12.44% （1）衢江区19.78%江山市22.84%

09.(深圳)某商场对今年端午节这天销售A、B\\C三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制如

图所示的统计图•根据图中信息解答下列问题：

销售量（个） 1200 1400 1200 1000 C品牌 800 ５０% 600 400 400 品牌 200

0 A品牌 B品牌 C品牌

哪一种品牌粽子的销售量最大？ 补全图中的条形图；

写出A品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数；

88

根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A、B、C三种品牌的粽子如何进货？请你提一条合理化的建议• 10.(苏州)2007年5月30日.‘‘六一”国 际儿童节来临之际,某初级中学开展了向山区“希

望小学”损赠图书活动国.全校1200名学生每人捐赠一定数量图书.已知各年级人数比例分布扇形统计图如图(1)所示.学校为了了解各年级捐赠情况,从各年级随机抽查了部分学生,进行了捐赠情况的统计调查,绘制成如图(2)的频数分布直方图.

人均捐赠(册) 七年级35% 八年级30% 九年级35% (1)

(2)

0 七年年年级 级 级 6 5 4.5 年级

根据以上信息解答下列问题:

从图(2)中,我们可以看出人均捐赠图书最多的是______年级; 估计九年级共捐赠图书多少册? 全校大约共捐赠图书多少册?

11.(济南)新华社4月3日发布了一则由生产监督管理局统计的信息:2003年1月至

2月全国共发生事故17万多起,各类事故发生具体统计如下: 事故类型 事故数量 1962 1417 115815 173967 死亡人数 (单位:人) 610 1409 1639 17290 20948 死亡人数占各类事故总死亡人数的百分比 火灾事故(不含森林、草原火灾) 54773 铁路伤亡事故 工矿企业伤亡事故 道路交通事故 合计 请你计算出各类事故死亡人数的百分比,并填入上表(精确到0.01);为了更清楚地表示出问题①中的百分比,请你画出扇形统计图;

请根据你所学的统计知识提出问题(不需作解答也不要解释,但所提的问题应是利用表中所提供数据能不解的.) 培优升级 奥赛检测

01．观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民的年人均收入每年比上年增长率的统

计图,下列说法正确的是( )

A,2003年农村居民人均收入低于2002年

B．农村居民年人均收入每年比上年增长率低于9%的有2年. D．农村居民年人均收入每年比上年的增长率有大有小, C．农村居民年人均收入最多的是2004年 但农村居民年人均收入在持续增加.

02．一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的的

关系.图(1)表示某年12个月中每月的平均气温;图(2)

表示某家庭在这年12个月中每月的用电量.根据图中信息得到下列判断:(1)气温最高时,用电量最多;(2)气温最低时,用电量最少;(3)当气温大于某一值时,用电量随气温升高而增加(或降低而减少);(4)当气温小天某一值时,用电量随气温降低而增加(或升高而减少).其中正确的判断共有( ).

A．4个 B．0个 C．2个 D．1

30 25 20 15 10 5 气温 140 用电量 （图2） 120 100 80 60 40 20 月份 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(图1) 月份

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

03．菱湖是全国著名的淡水鱼产地，某养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘有多少条鱼（假设

这个塘里养的是同一种鱼），先捕上１００条做标记，然后放回鱼塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和鱼塘里的鱼混合后，再捕上１００条，发现其中带标记的鱼有１０条，鱼塘里大约有鱼（ ）•

A1600条 B．1000条 C．８００条 D．６００条 04．（浙江）某住宅小区六月份中１日至６日每天用水量变化情况如图，那么这６天的平均

用水量是（ ）•

A．30吨 B．３１吨 C．３２吨 D．３３吨

05．(聊城)如图所示，是某企业６月份各项支出金额占该月总支出金额的比例情况统计图，

该月总支出金额为４０万元，７月份由于原料提价需增加１万元支出•如果在总支出金额不变的情况下，压缩管理支出，那么７月份绘制的统计图中，管理支出所占区域的扇形圆心角度数为（ ）•

A．25° B．27° C．30° D．36°

06．(第九届“华北赛”试题)下表是2004年１月５日世界部分城市的气温：

东莫法纽旧曼悉北卡开伦巴柏罗汉圣温京 斯兰约 金谷 尼 京 拉罗 敦 黎 林 马 城 地哥科 克山 奇 尼 华 福 5 -6 -5 4 5 23 15 -2 11 9 2 -7 -9 3 -1 12 -8 表中单位是摄氏度，这些城市中平均气温是_________度，气温最低的城市是 90

___________.

07．新华高科技股份限公司董事会决定今年用１３亿资金投资发展项目，现有６个顶目可供

选择•每个项目或者被全部投资，或者不被投资，各项目所需投资金额和预计平均收益如下表：

项目 投资（亿元） 收益（亿元） A 5 B 2 C 6 0.6 .4 D 4 0.9 E 6 0F81

0.55 0.4 如果要所有投资的项目的收益总额不得低于1.6亿元，那么应当选择投资的项目是____时，投资的收益额最大• 08．如图中的折线，ABC为甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)

之间的函数关系的图像，从图中可知，通话2分钟需付电话费______元，通话4分钟需付电话费______元•

09.（第十五届希望杯初一）某地上半年降雨量如图所示，那么在该地25平方米范围内，上

半年平均每日降雨________立方米•

24 y(元) 4.4

A B 2.4

t(分钟)

1 2 3 4 5 6 (第8题图)

1

2 3 4 5 (第9题图)

6

C mm 12 10 5 18 15 月

10.（南平）为了帮助贫困失学儿童，某团发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己压岁

钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后可取回本金，而把利息捐给贫困儿童，其有学生1200人，如图甲所示，是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，乙图是该校学生人均存款情况的条形统计图•

⑴九年级学生人均存款多少元？ ⑵该校学生人均存款多少元？

⑶已知银行一年期定期存款的年利率是2.25%（“爱心储蓄”免收利息税），且每351元能提供给一位失学儿童一学年的基本费用，那么该校一学年能帮助多少贫困失学儿童？

91

11．快乐公司决定按图给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A，已知

这三个工厂生产的产品A的优品率如表所示：

⑴求快乐公司从丙厂购买多少件产品A？

⑵求快乐公司所购买的200件产品A的优品率；

⑶你认为快乐公司能否能过调整从三个工厂所购买的200件产品A，使其优品率上升3%，若能，请问应从甲厂购买多少件产品A？请说明理由•

12．（江西）某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评•A、B、

C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评，结果如下表所示：

规则：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数2分+“较好”票数1分+“一般”票0分；

综合得分＝演讲答辩得分(1a)民主测评得分

a(0.5a0.8)

⑴当a0.6时，甲的综合得分是多少？

⑵a在什么范围内时，甲的综合得分高？a在什么范围内时，乙的综合得分高？ 13．（辽宁）初中生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市3万名初中生

的视力状况进行了一次抽样调查，图中是利用所得数据绘制的分布直方图（长方形的高表示该组人数），根据图中所提供的信息回答下列问题：

⑴本次调查共抽测了多少名学生？ ⑵在这个问题中样本指什么？

⑶如果视力在4.95.1（含4.9，5.1）均属正常，那么全市有多少初中生的视力正常？ 14．（“祖冲之杯”初中数学竞赛题）某校学生参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参

加英语竞赛的有120名女生、80名男生•已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75

92

名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人？

93