中考真题数学试卷
2019年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的） 1．﹣3的绝对值是（ ） A．﹣3 【答案】C
【解析】﹣3的绝对值是3．故选：C．
2．为纪念中华人民共和国成立70周年，我市各中小学积极开展了以“祖国在我心中”为主题的各类教育活动，全市约有550000名中小学生参加，其中数据550000用科学记数法表示为（ ） A．5.5×106 【答案】B
【解析】将550000用科学记数法表示为：5.5×105． 故选：B．
3．下列运算正确的是（ ） A．a•a2＝a2 【答案】C
【解析】A.a•a2＝a3，故此选项错误； B.5a•5b＝25ab，故此选项错误； C.a5÷a3＝a2，正确；
D.2a+3b，无法计算，故此选项错误． 故选：C．
4．若x1，x2是一元一次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值为（ ） A．﹣5 【答案】A
【解析】∵x1，x2是一元一次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根， ∴x1•x2＝＝﹣5．
B．5
C．﹣4
D．4
B．5a•5b＝5ab
C．a5÷a3＝a2
D．2a+3b＝5ab
B． C．3 D．±3
B．5.5×105
C．55×104
D．0.55×106
1
中考真题数学试卷 故选：A．
5．已知点A的坐标为（2，1），将点A向下平移4个单位长度，得到的点A′的坐标是（ ） A．（6，1） 【答案】D
【解析】∵点A的坐标为（2，1），
∴将点A向下平移4个单位长度，得到的点A′的坐标是（2，﹣3）， 故选：D．
6．如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是（ ）
B．（﹣2，1）
C．（2，5）
D．（2，﹣3）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】该几何体的左视图只有一列，含有两个正方形． 故选：B．
7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（点C是
），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，
的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m 【答案】A
【解析】∵OC⊥AB， ∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2， 设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202， 解得：r＝25m， ∴这段弯路的半径为25m 故选：A．
2
B．24m C．30m D．60m
中考真题数学试卷
8．已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离林茂家2.5km B．体育场离文具店1km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min D．林茂从文具店回家的平均速度是60m/min 【答案】C
【解析】从图中可知：体育场离文具店的距离是：2.5﹣1.5＝1km＝1000m， 所用时间是（45﹣30）＝15分钟， ∴体育场出发到文具店的平均速度＝故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算（
）2+1的结果是 4 ．
＝
m/min
【解析】原式＝3+1＝4．故答案为：4． 10．﹣x2y是 3 次单项式．
【解析】∵单项式﹣x2y中所有字母指数的和＝2+1＝3， ∴此单项式的次数是3． 故答案为：3．
11．分解因式3x2﹣27y2＝ 3（x+3y）（x﹣3y） ． 【解析】原式＝3（x2﹣9y2）＝3（x+3y）（x﹣3y）， 故答案为：3（x+3y）（x﹣3y）
12．一组数据1，7，8，5，4的中位数是a，则a的值是 5 ． 【解析】先把原数据按从小到大排列：1，4，5，7，8，正中间的数5，
3
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所以这组数据的中位数a的值是5． 故答案为：5．
13．如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为 50° ．
【解析】∵AB∥CD，∠ACD＝80°， ∴∠BAC＝100°， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAC＝50°， 故答案为：50°．
14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为 4π ． 【解析】扇形的弧长＝
＝4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2． ∴面积为：4π， 故答案为：4π．
15．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝ 8 ．
【解析】∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∴OA＝OB，
4
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∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，
又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C， ∴△AOC的面积＝|k|， ∴|k|＝4， ∵k＞0， ∴k＝8． 故答案为8．
16．如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 14 ．
【解析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′． ∵∠CMD＝120°， ∴∠AMC+∠DMB＝60°， ∴∠CMA′+∠DMB′＝60°， ∴∠A′MB′＝60°， ∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14， ∴CD的最大值为14， 故答案为14．
5
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三、解答题（本题共9题，满分72分） 17．（6分）先化简，再求值． （
+
）÷
，其中a＝
，b＝1．
解：原式＝÷＝•ab（a+b）
＝5ab， 当a＝
，b＝1时，原式＝5
．
．
18．（6分）解不等式组
解：
解①得：x＞﹣1， 解②得：x≤2，
，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤2．
19．（6分）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠DAB＝90°， ∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°， ∵∠DAG+∠BAF＝90°， ∴∠ADG＝∠BAF， 在△BAF和△ADG中，
6
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∵，
∴△BAF≌△ADG（AAS）， ∴BF＝AG，AF＝DG， ∵AG＝AF+FG， ∴BF＝AG＝DG+FG， ∴BF﹣DG＝FG．
20．（7分）为了对学生进行传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达．分别求九（1）班、其他班步行的平均速度．
解：设其他班步行的平均速度为x米/分，则九（1）班步行的平均速度为1.25x米/分， 依题意，得：解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， ∴1.25x＝100．
答：九（1）班步行的平均速度为100米/分，其他班步行的平均速度为80米/分． 21．（8分）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
﹣
＝10，
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表
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法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕A，B，C，D表示）
解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷15%＝200（人）；
（2）书画的人数为200×25%＝50（人），戏曲的人数为200﹣（50+80+30）＝40（人）， 补全图形如下：
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为1200×（4）列表得：
A B C D A BA CA DA B AB CB DB C AC BC DC D AD BD CD ＝240（人）；
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果， ∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为
＝．
22．（7分）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一位，≈1.414，
≈1.732．）
解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，
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在Rt△AED中，AE＝BC＝40m，∠EAD＝45°， ∴ED＝AEtan45°＝20
m，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝40m， ∴AB＝40
≈69.3m，
﹣20
≈29.3m．
则CD＝EC﹣ED＝AB﹣ED＝40
答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3m和29.3m．
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE． （1）求证：△DBE是等腰三角形； （2）求证：△COE∽△CAB．
证明：（1）连接OD，如图所示： ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE＝90°， ∴∠ADO+∠BDE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠CAB＝∠ADO， ∴∠BDE＝∠CBA， ∴EB＝ED，
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中考真题数学试卷 ∴△DBE是等腰三角形；
（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径， ∴CB是⊙O的切线， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE＝EC， ∵EB＝ED， ∴EC＝EB， ∵OA＝OC， ∴OE∥AB， ∴△COE∽△CAB．
24．（10分）某县积极响应市加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．
（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式； （2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；
（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
解：（1）当0≤x≤30时，y＝2.4； 当30≤x≤70时，设y＝kx+b，
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把（30，2.4），（70，2）代入得∴y＝﹣0.01x+2.7； 当70≤x≤100时，y＝2；
（2）当0≤x≤30时，w＝2.4x﹣（x+1）＝1.4x﹣1；
当30≤x≤70时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）＝﹣0.01x2+1.7x﹣1； 当70≤x≤100时，w＝2x﹣（x+1）＝x﹣1；
（3）当0≤x＜30时，w′＝1.4x﹣1﹣0.3x＝1.1x﹣1，当x＝30时，w′的最大值为32，不合题意；
当30≤x≤70时，w′＝﹣0.01x2+1.7x﹣1﹣0.3x＝﹣0.01x2+1.4x﹣1＝﹣0.01（x﹣70）2+48，当x＝70时，w′的最大值为48，不合题意；
当70≤x≤100时，w′＝x﹣1﹣0.3x＝0.7x﹣1，当x＝100时，w′的最大值为69，此时0.7x﹣1≥55，解得x≥80， 所以产量至少要达到80吨．
25．（14分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒重合），设运动时间为t（秒）．
（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；
（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值； （4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D
，解得
，
解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，
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将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得，
∴，∴y＝﹣﹣x+2；
（2）∵△PAM≌△PBM， ∴PA＝PB，MA＝MB，
∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点， ∵AB＝2，
∴点P的纵坐标是1， ∴1＝﹣∴x＝﹣1+∴P（﹣1﹣（3）CM＝MD＝4MF＝
﹣x+2， 或x＝﹣1﹣
，
，1）； CM＝2t﹣4， ﹣（2
+
t﹣2
）＝4
﹣
t，
，1）或P（﹣1+t﹣2
，MG＝
﹣（BC+CM）＝4MD＝4﹣t，
∴BF＝4﹣4+t＝t， ∴S＝
（GM+BF）×MF＝
（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣
+8t﹣8
＝﹣（t﹣）2+； 当t＝时，S最大值为；
（3）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2， 直线AQ的解析式y＝﹣∴K（0，∴OK2＝
），H（，
，OH2＝
＝
（x+2）+2，
）， +
+
，HK2＝
，
+
，
①当OK＝OH时，∴m2﹣4m﹣8＝0，
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中考真题数学试卷 ∴m＝2+2
或m＝2﹣2
+；
＝
+
，
②当OH＝HK时，∴m2﹣8＝0， ∴m＝2
或m＝﹣2
；
＝
+
，不成立；
，0）或Q（2
，0）或Q（﹣2
，0）；
③当OK＝HK时，综上所述：Q（2+2
，0）或Q（2﹣2
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