三角形心的向量关系

我们都知道，在三角形中，因为有三边与三角，故有很多的心。其中作为学生应掌握的四个心：重心，内心，外心，垂心。不仅要理解其定义、性质，还需了解与分析其向量的表示形式。由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理与归纳，让同行借鉴。

一．各心的定义。

1．

重心：三角形三条边的中线的交点。其性质一是连接重心与

顶点，延长后必交于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成2：1。

2．

垂心：三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连

线必与对应的边垂直。

3．

外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆

心。其性质是外心到三顶点等距离。

4．

内心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆

心。其性质是内心到三边等距离。

二．各心的向量表示。

在三角形ABC中，点O为平面内一点，若满足： 1．OAOBOC0，则点O为三角形的重心。

分析：由OAOCOB，以OB,OC为邻边作一平行四边形OBEC， 点D为BC中点，如图，由向量的平行四边形法则，

有OEOCOB，交BC于D，从而有OE2ODAOOA

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故O为重心。

2．OAOBOC，则点O为三角形的外心。

3．OAOBOBOCOCOA，

或者OABCOBACOCAB，则点O为三角形的垂心。 分析：由

OAOBOBOCOCOA222222有三个等式，其中一个如

OAOBOBOC，

则有OB(OAOC)0，有OBCA0，故OBAC。同理可证，点

O为三角形的垂心。

而在三角形ABC中，记aOA，bOB，cOC，则由

AB2CO2AC2BO2

(ab)2c2(ac)b22，展开为2ab2ac，则(ac)b0

故ACOB ，同理可证BCOA，从而点O为三角形的垂心。 4．BCOAACOBABOC0，则点O为三角形的内心。

分析：若点O为三角形ABC的内心。如图，延长AO，过点C作

CE//BO，由于BDO与CDE相似，有

CECD，由AD为角AOBDBCEACAC，CEOB,故

OBABAB的平分线，有

CECDACDBAB，从而有

ACOB ABODBDOD 同理可得，，OEBC，而BO为角

OEBCBDODOA线，， BDABOABCBCBCOA，故OEAO 有OEABABABBCACOB， 而OEOCCE，所以AOOCABABB的内角平分

BCOAABOCACOB，有BCOAACOBABOC0

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三．动点的轨迹过三角形心的问题：

设点P为三角形ABC所在平面内的一个定点，点Q为平面内的一个动点，若满足：

1．PQPA(ABAC)，（其中0,R），则动点Q一定过ABC的重心。

2．PQPA(ABAC)，（其中0,R），则动点Q一定过ABCABAC的内心。 分析：由于质可知， (ABABACAC)为角ABABcosBABABACAC表示AB,AC方向的单位向量之与，由菱形性

A的内角平分线。

ACACcosC3．PQPA(，则动点)（其中0,R）Q一

定过ABC 的垂心。 分析：下面只需说明ABABcosBACACcosC的性质。

如图，在ABC中，ADBC,延长AD，过点B作BM//AC,记

a1BD,a2CD,

bAC,cAB,则 由AMaa1a2aBM1ba2，BMaa2a1ab，故有BM1AC a2a2ABBM，从而有

ADABa1AC， a2ABABcosBACACcosCADABACABACa1a2ABcosBACcosC，有AD与

共

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线， 从而，ABABcosBACACcosCABABcosB与BC垂直。

ACACcosC4．PQPBPC(2，则动点)（其中0,R）Q

一定过ABC的外心。

四．三角形的外心O与它的垂心H的关系：

在ABC中，以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点建立坐标系。设A(x1,y1)，

y(x2x1)B(x2,0)，C(x2,0)。则不难求得它的外心坐标O(0,1)，从而有

2y1222

3(x2x1)y1xx1OAOBOC(x1,)。它的垂心坐标H(x1,2)，从而有

2y1y122222 向量作为一种新的计算工具，其在不少的规律上有简明的表现，只要我们用心去发现，还能找到更加美丽的关系的。

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