2009年全国高考理科数学试题及答案-宁夏卷

数学（理工农医类）

一- 选择题（每小题5分，共60分）

（1）已知集合M={x|－3(A) {x|－5＜x＜5} (B) {x|－3＜x＜5} (C) {x|－5＜x≤5} (D) {x|－3＜x≤5}

【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 【答案】B

（2）已知复数z=1−2i，那么

1= z

（A）

5255251212+i （B）−i （C）+i （D）−i 55555555

【解析】

111−2i1−2i12===＝−i z1+2i(1+2i)(1−2i)1+2255

【答案】D

（3）平面向量a与b的夹角为600，a=(2,0)，b=1 则a+2b= （A）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴a+2b=23 【答案】B

(4) 已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为

（A）(x+1)2+(y−1)2=2 (B) (x−1)2+(y+1)2=2 (C) (x−1)2+(y−1)2=2 (D) (x+1)2+(y+1)2=2

【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B

（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种

【解析】直接法：一男两女,有C51C42＝5×6＝30种,两男一女,有C52C41＝10×4＝40种,共计70种

间接法：任意选取C93＝84种,其中都是男医生有C53＝10种,都是女医生有C41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 【答案】A

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www.zgxzw.com 中国校长网 （6）设等比数列{ an}的前n 项和为Sn ，若

S6S=3 ，则 9 =

S6S3

（A） 2 （B）

78

（C） （D）3 33

S6(1+q3)S3

【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3 ⇒ q3＝2 =

S3S3S91+q3+q61+2+47

于是=== 3

S61+q1+23

【答案】B (7)曲线y=

x

在点（1，－1）处的切线方程为 x−2

x−2−x−2

=,当x＝1时切线斜率为k＝－2

(x−2)2(x−2)2

π2

2

，则f(0)= 3

（A）y=x－2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x－3 (D)y=－2x+1 【解析】y’＝【答案】D

(8)已知函数f(x)=Acos(ωx+ϕ)的图象如图所示，f()=−（A）−

2211 (B) (C)－ (D) 3322

2π

【解析】由图象可得最小正周期为3 2π2ππ7π

于是f(0)＝f(3),注意到3与2关于12对称 2ππ2

所以f(3)＝－f(2)＝

3

【答案】B

13

12121212（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）

33332323

（9）已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调增加，则满足f(2x−1)＜f()的x 取值范围是

【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|) ∴得f(|2x－1|)＜f(

1

),再根据f(x)的单调性 3112

得|2x－1|＜ 解得＜x＜

333

【答案】A

10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据a1，a2，。。。aN，其中收入记为

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www.zgxzw.com 中国校长网 正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的 （A）A>0,V=S－T (B) A<0,V=S－T (C) A>0, V=S+T （D）A<0, V=S+T

【解析】月总收入为S,因此A＞0时归入S,判断框内填A＞0 支出T为负数,因此月盈利V＝S＋T 【答案】C

（11）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为

（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2

【解析】由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积 在底面正六边形ABCDER中 E D BH＝ABtan30°＝33AB F 而BD＝3AB H C 故DH＝2BH

于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VA B P－GAC 【答案】C

（12）若xx

1满足2x+2=5, x2满足2x+2log2(x－1)=5, x1+x2＝ （A）

52 (B)3 (C) 7

2

(D)4 【解析】由题意2x1

1+2x=5 ①

2x2+2log2(x2−1)=5 ② 所以2

x1

=5−2x1,x1=log2(5−2x1)

即2x1=2log2(5−2x1)

令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)

∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2 【答案】C

（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，

用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h. 【解析】x=

980×1+1020×2+1032×1

4

＝1013

【答案】1013

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www.zgxzw.com 中国校长网 （14）等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5−5S3=5,则a4= 1

【解析】∵Sn＝na1＋n(n－1)d

2

∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d

∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4

【答案】

13

（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为 m

3

【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 1

体积等于×2×4×3＝4

6

【答案】4

x2y2

−=1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则（16）以知F是双曲线

412

PF+PA的最小值为 。 【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5

两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 （17）（本小题满分12分）

如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量

00

于水面C处测得B点和D点的仰角船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，

均为600，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449）

(17)解:

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www.zgxzw.com 中国校长网 在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ……5分

ABAC

=在△ABC中，sin∠BCAsin∠ABC,

ACsin60o

32+6

20

即AB=sin15o

=

,

因此，BD=

32+6≈0.33km。 20

故B，D的距离约为0.33km。 ……12分

（18）（本小题满分12分）

如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。 （I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦； （II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

（18）（I）解法一：

取CD的中点G，连接MG，NG。 设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 则MG⊥CD，MG=2，NG=

2

.

因为平面ABCD⊥平面DCED， 所以MG⊥平面DCEF，

可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=

6

，所以sin∠MNG=

6

3

为MN与平面

DCEF所成角的正弦值 ……6分 解法二：

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴

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www.zgxzw.com 中国校长网 正半轴建立空间直角坐标系如图. 则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得MN=(－1,1,2). 又DA=（0，0，2）为平面DCEF的法向量， 可得cos(MN,DA)=

MN⋅DA||MN||DA|=−

63

·

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为 cos

MN,DA=

63

· ……6分

(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……8分 则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF。

又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB//EN。 又AB//CD//EF，

所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分

（19）（本小题满分12分）

1某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、3三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。 （Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；

（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）

（19）解：

（Ⅰ）依题意X的分列为

P

………………6分

（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.

0 1 2 3 4 16 8132 8124 818 811 81中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com

www.zgxzw.com 中国校长网 B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2. 依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，

A=A1B1∪A1B1∪A1B1∪A2B2,

所求的概率为

P(A)=P(A1B1)+P(A1B1)+P（A1B1）+P(A2B2)

P(A1B1)+P(A1)P(B1)+P（A1)P(B1)+P(A2)P(B2)

0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28 ………12分

（20）（本小题满分12分）

已知，椭圆C过点A(1,)，两个焦点为（－1，0），（1，0）。

（1） 求椭圆C的方程；

（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线

EF的斜率为定值，并求出这个定值。

32

（20）解：

（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为

19322

+=1，解得b=3，b=−（舍去） 22

41+b4b

x2y2

所以椭圆方程为+=1。 ……………4分

43x2y23

（Ⅱ）设直线AE方程为：y=k(x−1)+，代入+=1得

2433

(3+4k2)x2+4k(3−2k)x+4(−k)2−12=0

23

设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上，所以

2

3

4(−k)2−12

xF=2

3+4k2

3

yE=kxE+−k ………8分

2

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得

3

4(+k)2−12

xF=22

3+4k

3

yE=−kxE++k

2

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www.zgxzw.com 中国校长网 所以直线EF的斜率KEF=

yF−yE−k(xF+xE)+2k1

==

xF−xExF−xE2

1

。 ……12分 2

即直线EF的斜率为定值，其值为（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=

12

x－ax+(a－1)lnx，a>1。 2

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）证明：若a<5，则对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，有(21)解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)。

f(x1)−f(x2)

>−1。

x1−x2

a−1x2−ax+a−1(x−1)(x+1−a)

f(x)=x−a+==2分

xxx

'

（i）若a−1=1即a=2,则

(x−1)2

f(x)=

x

'

故f(x)在(0,+∞)单调增加。

(ii)若a−1<1,而a>1,故10

故f(x)在(a−1,1)单调减少，在(0,a−1),(1,+∞)单调增加。

(iii)若a−1>1,即a>2,同理可得f(x)在(1,a−1)单调减少，在(0,1),(a−1,+∞)单调增加. (II)考虑函数 g(x)=f(x)+x

=

12

x−ax+(a−1)lnx+x 2

a−1a−1≥2xg−(a−1)=1−(a−1−1)2 xx则g′(x)=x−(a−1)+

由于10，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当x1>x2>0时有

g(x1)−g(x2)>0，即f(x1)−f(x2)+x1−x2>0，故

f(x1)−f(x2)

>−1，当0x1−x2

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www.zgxzw.com 中国校长网 时，有

f(x1)−f(x2)f(x2)−f(x1)

=>−1·········12分

x1−x2x2−x1

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲

已知 ∆ABC 中，AB=AC, D是 ∆ABC外接圆劣弧，AC上的点（不与点A,C重合）延长BD至E。

（1） 求证：AD的延长线平分∠CDE；

（2） 若∠BAC=30，∆ABC中BC边上的高为2+3，求∆ABC外接圆的面积。

（22）解：

（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点 ∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即AD的延长线平分∠CDE.

（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.

连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=15, ∠ACB=75,

0

0

0

∴∠OCH=60. 设圆半径为r,则r+

3r=2+3,a得r=2,外接圆的面积为4π。 2

（23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（θ−为C与x轴，y轴的交点。

（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

π

）=1，M,N分别3

（23）解：

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www.zgxzw.com 中国校长网 （Ⅰ）由ρcos(θ−π

3)=1得

ρ(12cosθ+32

sinθ)=1

从而C的直角坐标方程为 12x+32y=1即x+3y=2

θ=0时，ρ=2，所以M(2,0)θ=

π2时，ρ=233，所以N(23π3,2

)（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）

N点的直角坐标为(0,

233) 所以P点的直角坐标为

(1.

323),则P点的极坐标为(3π3,6),

所以直线OP的极坐标方程为θ=πρ,ρ∈(−∞,+∞)

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)=|x−1|+|x−a|。

（1）若a=−1,解不等式f(x)≥3；

（2）如果∀x∈R,f(x)≥2,求a 的取值范围。（24）解：

（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳. 由f(x)≥3得 ︱x－1︳+︱x+1|≥3 x≤－1时，不等式化为 1－x－1－x≥3 即－2x≥3 不等式组

x>1f(x)≥3

的解集为[3

，+∞),

2综上得，f(x)≥3的解集为(−∞,−3

]U[32

2

,+∞) （Ⅱ）若a=1,f(x)=2|x−1|，不满足题设条件

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www.zgxzw.com 中国校长网 −2x+a+1,x≤a

若a<1,f(x)=1−a,a2x−(a+1),x≥1−2x+a+1,x≤1

若a>1,f(x)=1−1,12x−(a+1),x≥a

所以∀x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2，从而a的取值范围为

(−∞,−1]U[3,+∞)

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