第二章
2.1 （1）y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t), y(0-)=1, y’(0-)=-1 解：微分方程对应的特征方程为 λ2+5λ+6=0 其特征根为λ1=-2，λ2=-3,系统的零输入 响应可写为 yzi (t)=C1e-2t+C2e-3t
′
又𝐲𝐳𝐢 (0-)=y(0-)=1, 𝐲𝐳𝐢(𝟎−)=𝐲′(𝟎−)=-1,则有
1=𝐂𝟏+𝐂𝟐 -1=-2 𝐂𝟏-3𝐂𝟐
由以上两式联立，解得 𝐂𝟏 =2，𝐂𝟐=-1 即系统的零输入响应为𝐲𝐳𝐢(t)=2𝐞−𝟐𝐭 -𝐞−𝟑𝐭,t≥𝟎
(2)𝐲′′(𝐭)+𝟐𝐲′(𝐭)+𝟓𝐲(𝐭)=𝐟(𝐭), 𝐲(𝟎−)=𝟐,𝐲′(𝟎−)=−𝟐 微分方程的特征方程为 𝛌𝟐 +𝟐𝛌+𝟓=𝟎 其特征根 𝛌𝟏𝟐=−𝟏±𝐣𝟐, 系统的零输入响应可写为 𝐲𝐳𝐢(𝐭)=𝐂𝟏𝐞−𝐭𝐜𝐨𝐬(𝟐𝐭)+𝐂𝟐𝐞−𝐭𝐬𝐢𝐧(𝟐𝐭)
′又𝐲𝐳𝐢(𝟎−)= 𝐲(𝟎−)=𝟐,𝐲𝐳𝐢(𝟎−)= 𝐲′(𝟎−)=-2,则有
𝐲𝐳𝐢(𝟎−)=𝐂𝟏=𝟐
′
(𝟎−)=𝐂𝟏+𝟐𝐂𝟐=−𝟐 𝐲𝐳𝐢
以上两式联立，解得𝐂𝟏=𝟐，𝐂𝟐=𝟎
因此系统的零输入响应为𝐲𝐳𝐢(𝐭)=𝟐𝐞−𝐭 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝐭)，𝐭≥𝟎 (3) 𝐲′′(𝐭)+𝟐𝐲′(𝐭)+𝐲(𝐭)=𝐟(𝐭) ,𝐲(𝟎−)=𝟏,𝐲′(𝟎−)=𝟏 微分方程对应的特征方程为
𝛌𝟐 +𝟐𝛌+𝟏=𝟎
其特征根为𝛌𝟏,𝟐=-1，系统的零输入响应可写为
𝐲𝐳𝐢(𝐭)=(𝐂𝟏+𝐂𝟐𝐭)𝐞−𝐭
′
又𝐲𝐳𝐢(𝟎−)= 𝐲(𝟎−)=𝟏,𝐲𝐳𝐢(𝟎−)= 𝐲′(𝟎−)=𝟏,则有 ′𝐲𝐳𝐢(𝟎−)= 𝐂𝟏=𝟏 ，𝐲𝐳𝐢(𝟎−)=- 𝐂𝟏+𝐂𝟐=1
以上两式联立，解得
𝐂𝟏=𝟏，𝐂𝟐=𝟐
因此系统的零输入响应为 𝐲𝐳𝐢(𝐭)=(𝟏+𝟐𝐭)𝐞−𝐭, 𝐭≥𝟎
(4) 𝐲′′(𝐭)+𝐲(𝐭)=𝐟(𝐭) ,𝐲(𝟎−)=𝟐,𝐲′(𝟎−)=𝟎 微分方程对应的特征方程为
𝛌𝟐 +𝟏=𝟎
其特征根为𝛌𝟏,𝟐=±𝐣. 系统的零输入响应可写为
𝐲𝐳𝐢(𝐭)=𝐂𝟏 𝐜𝐨𝐬𝐭+𝐂𝟐𝐬𝐢𝐧𝐭
′又𝐲𝐳𝐢(𝟎−)= 𝐲(𝟎−)=𝟐,𝐲𝐳𝐢(𝟎−)= 𝐲′(𝟎−)=𝟎,则有 ′𝐲𝐳𝐢(𝟎−)= 𝐂𝟏=𝟐 𝐲𝐳𝐢(𝟎−)=𝐂𝟐=0
因此系统的零输入响应为
𝐲𝐳𝐢(𝐭)=𝟐𝐜𝐨𝐬𝐭,𝐭≥𝟎
(5)𝐲′′′(𝐭)+𝟒𝐲′′(𝐭)+𝟓𝐲′(𝐭)+𝟐𝐲(𝐭)=𝐟(𝐭),𝐲(𝟎−)=𝟎,𝐲′(𝟎−)=𝟏, 𝐲′′(𝟎−)=−𝟏
微分方程对应的特征方程为
𝛌𝟑+𝟒𝛌𝟐 +𝟓𝛌+𝟐=𝟎
其特征根为𝛌𝟏,𝟐=−𝟏,𝛌𝟑=−𝟐, 系统的零输入响应可写为
𝐲𝐳𝐢(𝐭)=(𝐂𝟏𝐭+𝐂𝟐) 𝐞−𝐭+𝐂𝟑𝐞−𝟐𝐭
′′′
又𝐲𝐳𝐢(𝟎−)= 𝐲(𝟎−)=𝟎,𝐲𝐳𝐢(𝟎−)= 𝐲′(𝟎−)=𝟏,𝐲𝐳𝐢(𝟎−)=𝐲′′(𝟎−)=−𝟏,
则有
𝐲𝐳𝐢(𝟎−)= 𝐂𝟐+𝐂𝟑=𝟎
′𝐲𝐳𝐢(𝟎−) =𝐂𝟏−𝐂𝟐−𝟐𝐂𝟑=𝟏 ′′𝐲𝐳𝐢(𝟎−)=−𝟐𝐂𝟏+𝐂𝟐+𝟒𝐂𝟑=−𝟏
以上三式联立，解得 𝐂𝟏=𝟐，𝐂𝟐=−𝟏，𝐂𝟑=𝟏 因此系统的零输入响应为 𝐲𝐳𝐢(𝐭)=(𝟐𝐭−𝟏)𝐞−𝐭+𝐞−𝟐𝐭,t≥𝟎 2.2
(1) 𝐲′′(𝐭)+𝟑𝐲′(𝐭)+𝟐𝐲(𝐭)=𝐟(𝐭) ,𝐲(𝟎−)=𝟏,𝐲′(𝟎−)=𝟏,𝐟(𝐭)=𝛆(𝐭) 输入𝐟(𝐭)=𝛆(𝐭)，则方程右端不含冲激函数项，则f(t)及其导数在t=0处均不发生跃变，即
𝐲(𝟎+)=𝐲(𝟎−)=𝟏, 𝐲′(𝟎+)=𝐲′(𝟎−)=𝟏
(2) 𝐲′′(𝐭)+𝟔𝐲′(𝐭)+𝟖𝐲(𝐭)=𝐟′′(𝐭) ,𝐲(𝟎−)=𝟏,𝐲′(𝟎−)=𝟏, 𝐟(𝐭)=𝛅(𝐭)
将𝐟(𝐭)=𝛅(𝐭)代入微分方程，有
𝐲′′(𝐭)+𝟔𝐲′(𝐭)+𝟖𝐲(𝐭)=𝛅′′(𝐭) ○1 由于方程右端含有𝛅′′(𝐭)项，则𝐲′′(𝐭)中含有𝛅′′(𝐭)，设
𝐲′′(𝐭)=𝐚𝛅′′(𝐭)+𝐛𝛅′(t)+ 𝐜𝛅(𝐭)+𝐫𝟏(𝐭) ○2 其中𝐫𝟏(𝐭)不含𝛅(𝐭)及其导数项。
对○2式两边从-∞到t积分，得
𝐲′(𝐭)=𝐚𝛅′(t)+b 𝛅(𝐭)+𝐫𝟐(𝐭) ○3 其中𝐫𝟐(𝐭)=𝐜 𝛆(𝐭)+𝐫𝟏𝛅(𝐭)及其导数项。
同理，对○3式两边从-∞到t积分，得
𝐲(𝐭)=𝐚 𝛅(𝐭)+𝐫𝟑(𝐭) ○4 其中𝐫𝟑(𝐭)=𝐛 𝛆(𝐭)+𝐫𝟐
(−𝟏)(−𝟏)
(t)，而𝐫𝟏
(−𝟏)
(t)=∫𝐫(𝛕)𝐝𝛕,故𝐫𝟐(𝐭) 不含−∞𝟏
𝐭
(𝐭),不含𝛅(𝐭)及其导数项。
将○2○3○4式代入○1 式，整理得
a𝛅′′(𝐭)+(𝟔𝐚+𝐛) 𝛅′(t)+(8a+6b+c) 𝛅(𝐭)+𝐫𝟏(𝐭)+𝟔𝐫𝟐(𝐭)+𝟖𝐫𝟑(𝐭)=𝛅′′(𝐭)
比较上式两端𝛅(𝐭)及其 各阶导数前的系数，有 a=1 6a+b=0 8a+6b+c=0 以上三式联立，解得 a=1,b=-6,c=28
对○2○3两式两端从𝟎−到𝟎+积分，得 𝐲′(𝟎+)−𝐲′(𝟎−)=𝐜=𝟐𝟖 𝐲(𝟎+)−𝐲(𝟎−)=b=-6 则有
𝐲′(𝟎+)=𝐲′(𝟎−)+𝟐𝟖=𝟐𝟗 𝐲(𝟎+)= 𝐲(𝟎−)−𝟔=−𝟓
（3）𝐲′′(𝐭)+𝟒𝐲′(𝐭)+𝟑𝐲(𝐭)=𝐟′′(𝐭)+𝐟(𝐭) ,𝐲(𝟎−)=𝟐,𝐲′(𝟎−)=−𝟐 𝐟(𝐭)=𝛅(𝐭)
将𝐟(𝐭)=𝛅(𝐭) 代入微分方程，有
𝐲′′(𝐭)+𝟒𝐲′(𝐭)+𝟑𝐲(𝐭)=𝛅′′(𝐭)+𝛅(𝐭) ○1 由于方程右端含有𝛅′′(𝐭)项，则𝐲′′(𝐭)中含有𝛅′′(𝐭)，设
𝐲′′(𝐭)=𝐚𝛅′′(𝐭)+𝐛𝛅′(t)+c 𝛅(𝐭)+𝐫𝟏(𝐭) ○2 其中𝐫𝟏(𝐭)不含𝛅(𝐭)及其导数项。 对○2式两端从-∞到t积分，得
𝐲′(𝐭)=𝐚𝛅′(t)+b 𝛅(𝐭)+𝐫𝟐(𝐭) ○3 其中𝐫𝟐(𝐭)=𝐜𝛆(𝐭)+𝐫𝟏
(−𝟏)
(t),不含𝛅(𝐭)及其导数项。
对○3式两端从-∞到t积分，得
𝐲(𝐭)=𝐚 𝛅(𝐭)+𝐫𝟑(𝐭) ○4 其中𝐫𝟑(𝐭)=b 𝛆(𝐭)+𝐫𝟐
(−𝟏)
(𝐭)，不含𝛅(𝐭)及其导数项。
将○2○3 ○4式代入○1中，整理得
𝐚𝛅′′(𝐭)+(𝟒𝐚+𝐛)𝛅′(t)+(3a+4b+c) 𝛅(𝐭)+𝐫𝟏(𝐭)+𝟒𝐫𝟐(𝐭)+𝟑𝐫𝟑(𝐭) =𝛅′′(𝐭)+ 𝛅(𝐭)
比较上式两端𝛅(𝐭)及其导数前的系数，有 a=1 4a+b=0 3a+4b+c=1 以上三式联立，解得 a=1,b=-4,c=14
对○2○3两断从𝟎−到𝟎+积分，得
𝐲′(𝟎+)−𝐲′(𝟎−)=𝐜=𝟏𝟒
𝐲(𝟎+)−=𝐛=−𝟒
则有𝐲′(𝟎+)=𝐲′(𝟎−)+𝟏𝟒= 𝐲(𝟎−)𝟏𝟐 𝐲(𝟎+)= 𝐲(𝟎−)−𝟒=−𝟐
(4)𝐲′′(𝐭)+𝟒𝐲′(𝐭)+𝟓𝐲(𝐭)=𝐟′(𝐭),𝐲(𝟎−)=𝟏，𝐲′(𝟎−)=2, f(t)=𝐞−𝟐𝐭𝛆(𝐭） 由f(t) =𝐞−𝟐𝐭𝛆(𝐭）求得
𝐟′(𝐭)=−𝟐𝐞−𝟐𝐭𝛆(𝐭)+𝐞−𝟐𝐭 𝛅(𝐭)=−𝟐𝐞−𝟐𝐭+𝛅(𝐭)将上式代入微分方程，得
𝐲′′(𝐭)+𝟒𝐲′(𝐭)+𝟓𝐲(𝐭)=−𝟐𝐞−𝟐𝐭+𝛅(𝐭) 由于方程右端含𝛅(𝐭)项，则𝐲′′(𝐭)中含𝛅(𝐭)，设
𝐲′′(𝐭)=𝐚 𝛅(𝐭)+𝐫𝟏(𝐭) 其中𝐫𝟏(𝐭)不含𝛅(𝐭)及其导数项。 对○2式两端从-∞到t积分，得 𝐲′(𝐭)=𝐫𝟑(𝐭)= 𝐫(−𝟏)
𝟏
(t) 其中𝐫𝟐(𝐭)=a 𝛆(𝐭）+𝐫(−𝟏)
𝟏
(t)，不含𝛅(𝐭)及其导数项
将○2 ○3与上式代入○1式，整理得 a 𝛅(𝐭)+𝐫𝟏(𝐭)+4𝐫𝟐(𝐭)+5𝐫𝟑(t)=-2𝐞−𝟐𝐭+𝛅(𝐭) 比较上式两端𝛅(𝐭)前系数，知 a=1
对○2 ○3式两端从𝟎−到𝟎+积分，得
○1 ○23
○
𝐲′(𝟎+)−𝐲′(𝟎−)=a=1 𝐲(𝟎+)−𝐲(𝟎−)=𝟎
因此，𝐲′(𝟎+)=𝐲′(𝟎−)+𝟏=𝟑，𝐲(𝟎+)= 𝐲(𝟎−)=𝟏 2.3
如图所示RC电路中，已知R=1𝛀， C=0.5F，电容的初始状态𝐮𝐜(𝟎+)= -1V，试求激励电压源𝐮𝐬(𝐭)为下列函数时 电容电压的全响应𝐮𝐜(t)
(1) 𝐮𝐬(𝐭)=𝛆(𝐭) (2) 𝐮𝐬(𝐭)=𝐞−𝐭 𝛆(𝐭) (3) 𝐮𝐬(𝐭)= 𝐞−𝟐𝐭 𝛆(𝐭) (4) 𝐮𝐬(𝐭)=𝐭 𝛆(𝐭) 解：根据电路列出微分方程，有
𝐝𝐮𝐜(𝐭)
𝐮𝐜(𝐭)+𝐑𝐂=𝐮𝐬(𝐭)
𝐝𝐭
代入元件参数值，整理得
𝐮′𝐜(𝐭)+𝟐𝐮𝐜(𝐭)=𝟐𝐮𝐬(𝐭)
(1) 当𝐮𝐬(𝐭)= 𝛆(𝐭) 时，系统的微分方程为
𝐮′𝐜(𝐭)+𝟐𝐮𝐜(𝐭)=𝟐𝛆(𝐭)
由于方程右端不含冲激项，故
𝐮𝐜(𝟎+)=𝐮𝐜(𝟎−)=−𝟏
微分方程的齐次解为
𝐮𝐜𝐩(𝐭)=𝐂𝟏𝐞−𝟐𝐭
易求其特解为
𝐮𝐜𝐩(𝐭)=𝟏,𝐭≥𝟎
- + R C - +
故微分方程的完全解为
𝐮𝐜(𝐭)=𝐮𝐜𝐡(𝐭)+𝐮𝐜𝐩(𝐭)=𝐂𝟏𝐞−𝟐𝐭+𝟏，𝐭≥𝟎 代入初始值
𝐮𝐜(𝟎+)=𝐂𝟏+𝟏=−𝟏 故
𝐂𝟏=−𝟐
因此，电路在𝐮𝐬(𝐭)= 𝛆(𝐭)的激励作用下的全响应为
𝐮𝐜(𝐭)=−𝟐𝐞−𝟐𝐭+𝟏，𝐭≥𝟎
(2)
当𝐮𝐬(𝐭)=𝐞−𝐭 𝛆(𝐭)时，系统的微分方程为
−𝐭
𝐮′𝐜(𝐭)+𝟐𝐮𝐜(𝐭)=𝟐𝐞𝛆(𝐭)
由于方程右端不含冲激项，故
𝐮𝐜(𝟎+)=𝐮𝐜(𝟎−)=−𝟏
微分方程的齐次解为
𝐮𝐜𝐡(𝐭)=𝐂𝟏𝐞−𝟐𝐭
易求其特解为
𝐮𝐜𝐩(𝐭)=𝟐𝐞−𝐭，𝐭≥𝟎
故微分方程的完全解为
𝐮𝐜(𝐭)=𝐮𝐜𝐡(𝐭)+𝐮𝐜𝐩(𝐭)=𝐂𝟏𝐞−𝟐𝐭+𝟐𝐞−𝐭，𝐭≥𝟎
代入初始值𝐮𝐜(𝟎+)=−𝟏，有
𝐂𝟏+𝟐=−𝟏，即𝐂𝟏=−𝟑
因此电路在𝐮𝐬(𝐭)=𝐞−𝐭 𝛆(𝐭)时全响应为
𝐮𝐜(𝐭)=−𝟑𝐞−𝟐𝐭+𝟐𝐞−𝐭，𝐭≥𝟎
(3) 当𝐮𝐬(𝐭)=𝐞−𝐭 𝛆(𝐭)时，系统的微分方程为
−𝟐𝐭
𝐮′𝛆(𝐭) 𝐜(𝐭)+𝟐𝐮𝐜(𝐭)=𝟐𝐞
由于方程右端不含冲激项，故
𝐮𝐜(𝟎+)=𝐮𝐜(𝟎−)=−𝟏
微分方程的齐次解为
𝐮𝐜𝐡(𝐭)=𝐂𝟏𝐞−𝟐𝐭
易求其特解为
𝐮𝐜𝐩(𝐭)=𝟐𝐭𝐞−𝟐𝐭，𝐭≥𝟎
故微分方程的完全解为
𝐮𝐜(𝐭)=𝐮𝐜𝐡(𝐭)+𝐮𝐜𝐩(𝐭)=𝐂𝟏𝐞−𝟐𝐭+ 𝟐𝐭𝐞−𝟐𝐭,𝐭≥𝟎
代入初始值𝐮𝐜(𝟎+)=−𝟏，有
𝐮𝐜(𝟎+)=𝐂𝟏=−𝟏
因此电路在𝐮𝐬(𝐭)=𝐞−𝟐𝐭 𝛆(𝐭)时全响应为
𝐮𝐜(𝐭)=−𝐞−𝟐𝐭+𝟐𝐭𝐞−𝟐𝐭，𝐭≥𝟎
（4） 当𝐮𝐬(𝐭)=𝐭 𝛆(𝐭)时，系统的微分方程为
𝐮′𝐜(𝐭)+𝟐𝐮𝐜(𝐭)=𝟐𝐭𝛆(𝐭)
由于方程右端不含冲激项，故
𝐮𝐜(𝟎+)=𝐮𝐜(𝟎−)=−𝟏
微分方程的齐次解为
𝐮𝐜𝐡(𝐭)=𝐂𝟏𝐞−𝟐𝐭
易求其特解为
𝐮𝐜𝐩(𝐭)=𝐭−𝟎.𝟓，𝐭≥𝟎
故微分方程的完全解为
𝐮𝐜(𝐭)=𝐮𝐜𝐡(𝐭)+𝐮𝐜𝐩(𝐭)=𝐂𝟏𝐞−𝟐𝐭+𝐭−𝟎.𝟓 ,𝐭≥𝟎
代入初始值𝐮𝐜(𝟎+)=−𝟏，有
𝐮𝐜(𝟎+)=𝐂𝟏−𝟎.𝟓=−𝟏,即𝐂𝟏=−𝟎.𝟓
因此电路在𝐮𝐬(𝐭)=𝐭 𝛆(𝐭)时全响应为
𝐮𝐜(𝐭)=−𝟎.𝟓𝐞−𝟐𝐭+𝐭−𝟎.𝟓，𝐭≥𝟎
2.4已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应，零状态响应和全响应。
（1）𝐲′′(𝐭)+𝟒𝐲′(𝐭)+𝟑𝐲(𝐭)=𝐟(𝐭),𝐲(𝟎−)=𝐲′(𝟎−)=𝟏,𝐟(𝐭)=𝛆(𝐭) (2) 𝐲′′(𝐭)+𝟒𝐲′(𝐭)+𝟒𝐲(𝐭)=𝐟′(𝐭)+𝟑𝐟(𝐭),𝐲(𝟎−)=𝟏,𝐲′(𝟎−)=𝟐, 𝐟(𝐭)=𝐞−𝐭𝛆(𝐭)
(𝟑) 𝐲′′(𝐭)+𝟐𝐲′(𝐭)+𝟐,𝐲(𝐭)=𝐟′(𝐭),𝐲(𝟎−)=𝟎, 𝐲′(𝟎−)=𝟏,
𝐟(𝐭)=𝛆(𝐭) 解：
（1）由零输入响应的定义，可知
′′′(𝐭)+𝟒𝐲𝐳𝐢(𝐭)+𝟑𝐲𝐳𝐢(𝐭)=𝟎 𝐲𝐳𝐢
′′
(𝟎+)=𝐲𝐳𝐢(𝟎−)=𝐲′(𝟎−)=𝟏 且有𝐲𝐳𝐢
𝐲𝐳𝐢(𝟎+)=𝐲𝐳𝐢(𝟎−)=𝐲(𝟎−)=𝟏
该齐次方程的特征根为𝛌𝟏=−𝟑，𝛌𝟐=−𝟏， 则有
𝐲𝐳𝐢(𝐭)=𝐂𝟏𝐞−𝟑𝐭+𝐂𝟐𝐞−𝐭,𝐭≥𝟎
带入初始值，得
𝐲𝐳𝐢(𝟎+)=𝐂𝟏+𝐂𝟐=𝟏
′
(𝟎+)=−𝟑𝐂𝟏−𝐂𝟐=𝟏 𝐲𝐳𝐢
解得
𝐂𝟏=−𝟏，𝐂𝟐=𝟐
因此，零输入响应为
𝐲𝐳𝐢(𝐭)=−𝐞−𝟑𝐭+𝟐𝐞−𝐭，𝐭≥𝟎
由零状态响应的定义，可知
′′()′()𝐲𝐳𝐬𝐭+𝟒𝐲𝐳𝐬𝐭+𝟑𝐲𝐳𝐬(𝐭)=𝛆(𝐭)
且有
′(𝐲𝐳𝐬𝟎+)=𝐲𝐳𝐬(𝟎−)=𝟎
由于方程右端无冲激项，故
′(′(𝐲𝐳𝐬𝟎+)=𝐲𝐳𝐬𝟎−)=𝟎，𝐲𝐳𝐬(𝟎+)=𝐲𝐳𝐬(𝟎−)=𝟎
该方程的齐次解为
𝐲𝐳𝐬𝐡(𝐭)=𝐂𝟑𝐞−𝟑𝐭+𝐂𝟒𝐞−𝐭,𝐭≥𝟎
易求其特解为
𝟏
𝐲𝐳𝐬𝐩(𝐭)=，𝐭≥𝟎
𝟑因此，系统的零状态响应为
𝐲𝐳𝐬(𝐭)=𝐲𝐳𝐬𝐡(𝐭)+𝐲𝐳𝐬𝐩(𝐭)=𝐂𝟑𝐞
代入初始值，得
𝟏
𝐲𝐳𝐬(𝟎+)=𝐂𝟑+𝐂𝟒+ 𝟑′(𝐲𝐳𝐬𝟎+)=−𝟑𝐂𝟑−𝐂𝟒=𝟎
−𝟑𝐭
+𝐂𝟒𝐞
−𝐭
𝟏
+,𝐭≥𝟎 𝟑以上两式联立，解得
𝟏𝟏𝐂𝟑=，𝐂𝟒=− 𝟔𝟐故系统零状态响应为
𝟏−𝟑𝐭𝟏−𝐭𝟏
𝐲𝐳𝐬(𝐭)=𝐞−𝐞+，𝐭≥𝟎
𝟔𝟐𝟑根据线性系统的分解特性，得系统的完全响应为 y(t)= 𝐲𝐳𝐢(𝐭)+𝐲𝐳𝐬(𝐭)=−𝐞−𝟑𝐭+𝐞−𝐭+,𝐭≥𝟎
𝟔
𝟐
𝟑
𝟓
𝟑
𝟏
(2)由零输入响应的定义，可知
′′′(𝐭)+𝟒𝐲𝐳𝐢(𝐭)+𝟒𝐲𝐳𝐢(𝐭)=𝟎 𝐲𝐳𝐢
′′
(𝟎+)=𝐲𝐳𝐢(𝟎−)=𝐲′(𝟎−)=𝟐 且有𝐲𝐳𝐢
𝐲𝐳𝐢(𝟎+)=𝐲𝐳𝐢(𝟎−)=𝐲(𝟎−)=𝟏
该齐次方程的特征根为𝛌𝟏，𝟐=−𝟐，其解为
𝐲𝐳𝐢(𝐭)=(𝐂𝟏𝐭+𝐂𝟐)𝐞−𝟐𝐭,𝐭≥𝟎
解得
𝐂𝟏=𝟒，𝐂𝟐=𝟏
因此，零输入响应为
𝐲𝐳𝐢(𝐭)=(𝟒𝐭+𝟏)𝐞−𝟐𝐭，𝐭≥𝟎
由零状态响应的定义，可知
′′()′()𝐲𝐳𝐬𝐭+𝟒𝐲𝐳𝐬𝐭+𝟒𝐲𝐳𝐬(𝐭)=𝟐𝐞−𝐭𝛆(𝐭)+𝛅(𝐭)
′(𝐲𝐳𝐬𝟎−)=𝐲𝐳𝐬(𝟎−)=𝟎
由于方程两端含𝛅(𝐭)，且不含𝛅(𝐭)的导数项，易推知
′(′(𝐲𝐳𝐬𝟎+)=𝐲𝐳𝐬𝟎−)+𝟏，𝐲𝐳𝐬(𝟎+)=𝐲𝐳𝐬(𝟎−)=𝟎
方程的齐次解为
𝐲𝐳𝐬𝐡(𝐭)=(𝐂𝟑𝐭+𝐂𝟒)𝐞−𝟐𝐭,𝐭>0
易求其特解为
𝐲𝐳𝐬𝐩(𝐭)=𝟐𝐞−𝐭，𝐭>0
则有
𝐲𝐳𝐬(𝐭)=(𝐂𝟑𝐭+𝐂𝟒)𝐞−𝟐𝐭+𝟐𝐞−𝐭，𝐭≥𝟎
代入初始值，得
𝐲𝐳𝐬(𝟎+)=𝐂𝟒+𝟐=𝟎
′(𝐲𝐳𝐬𝟎+)=𝐂𝟑−𝟐𝐂𝟒−𝟐=𝟏
解得
𝐂𝟑=−𝟏，𝐂𝟒=−𝟐
得系统的零状态响应为
𝐲𝐳𝐬(𝐭)=−(𝐭+𝟐)𝐞−𝟐𝐭+𝟐𝐞−𝐭,𝐭≥𝟎
根据线性系统的分解特性，得系统的完全响应为 y(t)= 𝐲𝐳𝐢(𝐭)+𝐲𝐳𝐬(𝐭)=(𝟑𝐭−𝟏)𝐞−𝟐𝐭+𝟐𝐞−𝐭,𝐭≥𝟎 （3）
由零输入响应的定义，可知
′′′(𝐭)+𝟐𝐲𝐳𝐢(𝐭)+𝟐𝐲𝐳𝐢(𝐭)=𝟎 𝐲𝐳𝐢
且有
′′
(𝟎+)=𝐲𝐳𝐢(𝟎−)=𝟏 𝐲𝐳𝐢
𝐲𝐳𝐢(𝟎+)=𝐲𝐳𝐢(𝟎−)=𝟎 设该齐次方程的解为
𝐲𝐳𝐢(𝐭)=𝐂𝟏𝐞−𝐭𝐜𝐨𝐬𝐭+𝐂𝟐𝐞−𝐭𝐬𝐢𝐧𝐭
代入初始值得
𝐲𝐳𝐢(𝟎+)=𝐂𝟏=𝟎
′
(𝟎+)=−𝐂𝟏+𝐂𝟐=𝟏 𝐲𝐳𝐢
解得
𝐂𝟏=𝟎，𝐂𝟐=𝟏
故系统零输入响应为
𝐲𝐳𝐢(𝐭)=𝐞−𝐭𝐬𝐢𝐧𝐭，𝐭≥𝟎
由零状态响应定义，可知
′′()′()𝐲𝐳𝐬𝐭+𝟐𝐲𝐳𝐬𝐭+𝟐𝐲𝐳𝐬(𝐭)=𝛅(𝐭)
且有
′(𝐲𝐳𝐬𝟎−)=𝐲𝐳𝐬(𝟎−)=𝟎
由于方程右端有冲激项𝛅(𝐭)，且不含其导数，易推 知
′(′(𝐲𝐳𝐬𝟎+)=𝐲𝐳𝐬𝟎−)+𝟏=𝟏
𝐲𝐳𝐬(𝟎+)=𝐲𝐳𝐬(𝟎−)=𝟎
因此当𝐭>0时，有
′′()′()𝐲𝐳𝐬𝐭+𝟐𝐲𝐳𝐬𝐭+𝟐𝐲𝐳𝐬(𝐭)=𝟎
次方程的解为
𝐲𝐳𝐬(𝐭)=𝐂𝟑𝐞−𝐭𝐜𝐨𝐬𝐭+𝐂𝟒𝐬𝐢𝐧𝐭,𝐭>0
代入初始值，得
𝐲𝐳𝐬(𝟎+)=𝐂𝟑=𝟎
′(𝐲𝐳𝐬𝟎+)=−𝐂𝟑+𝐂𝟒=𝟏
解得
𝐂𝟑=𝟎，𝐂𝟒=𝟏
故系统零状态响应为
𝐲𝐳𝐬(𝐭)=𝐞−𝐭 𝐬𝐢𝐧𝐭，𝐭≥𝟎
由线性系统的分解特性，得系统的完全响应为 y(t)= 𝐲𝐳𝐢(𝐭)+𝐲𝐳𝐬(𝐭)=𝟐𝐞−𝐭 𝐬𝐢𝐧𝐭，𝐭≥𝟎 2.5
已知𝐑𝟏=𝟐𝛀，𝐑𝟐=𝟒𝛀，𝐋=𝟏𝐇，𝐂=𝟎.𝟓𝐅,𝐮𝐬(𝐭)=𝟐𝐞−𝐭 𝛆(𝐭)𝐕
