第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题
小学中年级组
一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）
1. 在 2017 个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这
2017 个数中有 个三位数。 【答案】2016
【考点】抽屉原理的基础：最不利原则 【启智数学春季班四年级第 8 讲内容】 【解析】
假设这些自然数中有 2 个数不满足三位数的条件，则与“任意两个数至少有一个三位数”相
矛盾，因此只有 1 个数不是三位数，三位数有：2017-1=2016（个）
2. 如下图（1）所示，一个棋子从 A 到 B 只能沿着横平竖直的路线，在网格中行走，给定棋子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子数标
在该行的左方。如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那么
图中 x 代表的数字为 。
1
2
3 4 4 1
A
1
2
2
3 x
A 2 1
B
1 3 4 【答案】2
【考点】平面图形找规律
【启智数学秋季班三年级第 6 讲内容】 【解析】
每个格子都在某一行某一列上，所以行上的数字和与列上的数字和相等，故： x=（1+3+4+4+1）-（3+1+3+4）=13-11=2（路线如上图）
（1）
B
（2）
1
2
3.用[x]表示不超过 x 的最大整数，例如[10.2]=10，则：
[
2017×3
11
] + [
2017×4
11
] + [
2017×5
11
] + [
2017×6
11
] + [
2017×7
11
] + [
2017×8 ]等于
。
11
【答案】6048 【考点】定义新运算
【启智数学春季班五年级第 15 讲内容】
2017×3 2017×8 2017×（3+8）
= 2017
【解析】 11 + 11 =
11
又[x]表示不超过 x 的最大整数，所以[2017×311] + [2017×811] = 2017 − 1 = 2016
原式=2016×3=6048.
4.盒子里有一些黑球和白球，将黑球数量变成原来的 5 倍，总的球数将会变成原来的 2 倍。
如果将白球数量变成原来的 5 倍，则总的球数将会变成原来的 【答案】4 【考点】倍数关系
【启智数学春季班四年级第 6 讲内容】
【解析】黑球数量变成原来的 5 倍：5 黑+白=2（黑+白）→白=3
黑白球数量变成原来的 5 倍：（黑+5 白）÷（黑+白）
=（黑+5×3 黑）÷（黑+3 黑） =16÷4 =4
5.能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有 【答案】5
个。 倍。
【考点】位值原理
【启智数学春季班四年级第 3 讲内容】
【解析】奇×奇=奇，因此数字和为奇数，又各位为奇数，因此十位只能为偶数。经过枚举发现，满足条件的两位数有：21,27,45,63,81，共 5 个。
6.如右图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一个长方形。正方形边长和三角形直角边长都是整数。 若剪去部分的总面积为 40 平方厘米，则长方形的面积是 平方厘米。 【答案】24
【考点】图形的割补法
【启智数学暑假班四年级第 6 讲内容】 【解析】设边长分别是 a 和 b，则 a+b=40
b
2
2
经枚举知：2+6=40
所以，长方形面积=（2+6）-40=24（平方厘米）。
2
a
2
22
8.亚瑟王在王宫中召见 6 名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有 2 名朋友。他们围着一张圆桌坐
下（骑士姓名与座位如右图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友。 7.小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场，从家到商店距离是 500 米，用了 7 分钟；从商店到游乐场以 80 米/分钟的速度要走 8 分钟；从游乐场到学校的距离是 300 米，
走的速度是 60 米/分钟。那么小龙从家到学校的平均速度是 【答案】72 【考点】平均数
【启智数学秋季班四年级第 7 讲内容】 【解析】平均速度=总路程÷总时间
=（500+80×8+300）÷（7+8+300÷60） =1440÷20 =72（米/分钟）
米/分钟。
亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有 种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）。 【答案】6 【考点】乘法原理
【启智数学春季班四年级第 14 讲内容】
【解析】从兰斯洛特开始，按逆时针顺序标上字母 ABCDEF 以及数字123456，题目意思为：重新排序之后，相邻字母不能在一起，用 A 来定位，若 A 在 1 号位，那么 B,F 只能在 345 号位，共有 3×2=6 种方式，而每一种方式定下来之后，剩下的 CDE 均只有 1 种排列方式（或用枚举法）。故答案为 6 种。
B
2
A
1
6
F
3
4
5
C
D
二、简答题（每小题 15 分，共 60 分，要求写出简要过程）
A
9.如右图所示，两个边长为 6 的正方形 ABFE 和 CDEF 拼成长方形ABCD。G 为 DE 的中点，连接 BG 交 EF 于 H。求图中五边形 CDGHF 的面积。 【答案】6 【考点】图形分割
【启智数学暑假班四年级第 6 讲内容】
【解析】按图示分割，得出每个小长方形的面积为：6×6÷6=6
五边形 CDGHF 的面积=6×6-6÷2=33
E H F
G
D
B
C
10.乌龟和兔子进行 1000 米赛跑，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后 10 米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？ 【答案】802 【考点】追及问题
3
【启智数学春季班四年级第 10 讲内容】
【解析】兔子最后还差 10 米到达，假设兔子跑这 10 米需要 t 分钟，则她跑完 1000 米需要 100t 分钟，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，乌龟跑完全程需要 500t 分钟。实际上兔子跑了 100t-t=99t 分钟，睡了 500t-99t=401t 分钟。 这 401t 分钟内，乌龟跑了 401t÷500t×1000=804（米）
11.如右图，一个边长为 3 的正六边形被 3 组平行于其边的直线分割成边长为 1 的 54 个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？ 【答案】27 【考点】图形计数
【启智数学暑假班四年级第 7 讲内容】 【解析】边长为 1 的正六边形：
边长为 2 的正六边形：
2+3+2=7（个）
边长为 3 的正六边形：1 个，总共 19+7+1=27（个）
12.如右图，将 1 至 9 这九个数字填入网格中，要求每个格
子填一个数字，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格
3+4+5+4+3=19（个）
子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所
填数字的整数倍，已知左右格子已经填有数字 4 和 5，
4 x 5
那么标有字母 x 的格子可以填的数字最大是多少？ 【答案】6 【考点】数阵图
【启智数学秋季班四年级第 8 讲内容】
【解析】x=6 是可行的，4 上面放 7，下面放 1，5 上面放 8，下面放 2，中间从上至下分别
是 3,6,9.
x 与周围 6 个数的和应该是 1+2+3+6+7+8+9=36，所以 x 的可能取值为 1,2,3,6,9。
这里仅需考虑 x=9 是否可行即可。
考虑 2,6,8 所在的位置。
4
若 4 旁边的数都是偶数，那么必然是 2 和 6，考虑 2 和 6 周围的数的和必须是偶数，而 x=9，所以上下两个空格必然也是奇数，所以 8 必然在 5 旁边，且周围全是奇数，所有奇数的和1+3+5+7+9=25，去掉一个必须是 8 的倍数，则只能去掉 1 或者 9，x=9，所以只能去掉 1，而 7 一定在 8 边上，而 2+8+9=19,6+8+9=23。所以 7 只能挨着 5，而 8+5+9+1=23，不是 9 的倍数。
因此 4 旁边的必须是 2 个奇数。此时 8 若在最上或者最下，则周围三个数必然是奇数，奇数偶数，因此挨着 5 的那个数，必然是偶数，考虑这个数周围的和，得到挨着 5 的另外一个数也必然是偶数，所以只能是 2 和 6，而 2+6=8 不是 5 的倍数，舍掉。所以 8 不在最上面或者最下面，只能挨着 5，那么挨着 5 的另一个数只能是 2，5+9+2=116，挨着 8 的最后一个数无论如何取值均不可能使得四个数的和是 8 的倍数。
故 x 不可能等于 9.
5
综上所述，x 最大值为 6.
