信号分析与处理_杨西侠_课后答案二三五章

1)x1(t) = sin  t·u（t）

1 0 -

xπ 234t

2）x2(t） = sin[  ( t – t0 ) ]·u(t）

1 0 -x2t3）x3(t) = sin  t·u （ t – t0 )

t

x31 0 tt

4)x2（t) = sin［  （ t – t0 ) ］·u （ t – t0 ）

1 0 -x4tt

1

2—2 已知波形图如图2—76所示,试画出经下列各种运算后的波形图

1 x(t) 1 2 3 -1

0 t

图 2-76 （1）x ( t—2 )

1 x t -0 1 2 3 4

（2）x （ t+2 ）

x 1 t ----0 1

（3）x （2t）

1 x(2t) t -1 0 1 2 3

(4）x （ t/2 ）

1 x t --0 1 2 3 4

（5）x (-t）

2

x (-t) 1 t -3 -2 -1 0 1 2

（6）x (-t-2）

1 x (-t-2) t 1

-----0

（7）x （ —t/2—2 )

1 x ( -t/2-2 )

t -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

（8)dx/dt

1 dx/dt t -2 -1 0 1 2 3 -δ (t-2) 2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值

(1）

x(tt0)δ（t） dt = x（—t)

00

(2)

x(t0t)δ（t） dt = x（t）

3

（3）

t0(tt0) u（t —20

t0) dt = u（

20

）

(4）

(t0t) u（t – 2t) dt = u（—t）

t（5）

etδ(t+2） dt = e2-2

(6)

tsintδ(t-

) dt =

66+

12

(7）

ejtttt0dt

=

ejttdt–ejt(tt0)dt

 = 1 – cosΩt0 + jsinΩt0

= 1—

ejt02-4 求下列各函数x1（t)与x2(t） 之卷积，x1（t)* x2（t）

（1) x1（t） = u（t)， x2(t） = e

—at

· u（t） （ a>0 ）

x1(t）＊ x2（t) =

u()eau(t)d =

t0ead =

1(1eat) a（2） x1(t） =δ(t+1） -δ（t-1） ， x2(t） = cos（Ωt + 4） · u（t) x1（t)* x2（t） =

[cos(t)u()][(t1)(t1)]d44］u（t+1） – cos[Ω(t—1）+



= cos［Ω(t+1）+

4]u(t—1）

（3) x1（t） = u(t） – u（t—1） , x2（t) = u(t） – u(t-2）

x1（t)* x2（t） =

[u()u(2)][u(t)u(t1)]d

t当 t <0时，x1（t）＊ x2（t) = 0

当 00d = t

4

当 1211d = 1

当 2〈t〈3时，x1（t)* x2（t) = 当 3t2d=3—t

x1(t)* x2(t) 1 t 0 1 2 3

(4) x1（t) = u（t-1） ， x2(t) = sin t · u(t）

x1(t）＊ x2（t） =

0sin() u() u(t1)d

t-10

=

t-1sin  u(t--1)d sin  d  -cos |0

= 1- cos（t-1）

2—5 已知周期函数x(t）前1/4周期的波形如图2—77所示，根据下列各种情况的要求画出x（t）在一个周期（ 0(1) x（t)是偶函数，只含有偶次谐波分量 f（t) = f(-t), f(t) = f（t±T/2)

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

（2) x(t）是偶函数,只含有奇次谐波分量 f（t) = f（-t), f（t） = —f（t±T/2）

5

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

(3) x(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波分量 f(t) = f(—t）

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

（4) x(t)是奇函数,只含有奇次谐波分量 f（t） = —f（-t)， f（t） = —f(t±T/2）

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

（5) x(t)是奇函数,只含有偶次谐波分量 f(t) = —f（-t)， f（t） = f（t±T/2）

6

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

(6） x（t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波分量 f（t) = -f（—t）

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

2-6 利用信号x（t）的对称性，定性判断图2—78所示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量

（a)

7

x(t) t -2T -T 0 T 2T

(b)

这是一个非奇、非偶、非奇偶谐波函数，且正负半波不对称,所以含有直流、正弦等所有谐波分量,因

为去除直流后为奇函数。

x (t) t -T 0 T

(c）

这是一个奇函数。也是一个奇谐波函数，所以只含有基波、奇次正弦谐波分量。

x(t) t -T -T/2 0 T/2 T

除去直流分量后是奇函数，又f（t） = f（t±T/2),是偶谐波函数，所以含有直流、偶次正弦谐波。

（d）

x (t) t -T -T/2 0 T/2 T

8

（e)

正负半波对称，偶函数,奇谐波函数，所以只含有基波、奇次余弦分量。

x (t) t -T/2 0 T/2 T

(f）

奇函数、正负半波对称，所以只含有正弦分量(基、谐)

x(t) t -T -T/2 0 T/2 T

正负半波对称、奇函数、奇谐波函数,所以只含有基波和奇次正弦谐波。

2-7 试画出x（t) = 3cosΩ1t + 5sin2Ω1t的复数谱图（幅度谱和相位谱）

解：a0 = 0, a1 = 3, b2 = 5, c1 = 3， c2 = 5 |x1｜ = |

12（a1—jb1)｜ =

32, ｜x2| =

12c2 =

52

035φ2 = arctan (—

0φ1 = arctan (—

) = 0， φ—1= 0 ） = —

2, φ—2=

2

9

|xn| 3 2 1 nΩ1

-2Ω1 -Ω1 0 Ω1 2Ω1

π/2 nΩ1

-2Ω1 -Ω1 0 Ω1 2Ω1 -π/2

2-8 求图2-8所示对称周期矩形信号的傅里叶级数

E/2 x (t) t -T -T/2 0 T/2 T -E/2

解：这是一个正负半波对称的奇函数,奇谐函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。

bn =

2T2TT0x(t) sin nt dt 2E sin nt dt–

T2 =

T20TT2E sin nt dt 2 10

=

ETT20[sin nt - sin n(t-TT) ]dt 2T =

EET22cos nt|0  cos [n(t)]|0 2n2n2

EE(cos n -1)  cos (1-cos n) = 2n2n2E ，n为奇数，n = 1，3，5 …… n

= E(cos n -1)  n11 [ sin t  sin 3t  sin 5t   ] 35 0 ，n 为偶数，n = 2，4，6 ……

2E∴ x（t) =

指数形式的傅里叶级数

0 ， n = 0， ±2, ±4 ……

Xn=

12（an—jbn) =

jEn , n = ±1, ±3， ±5 ……

∴ x(t） = a0 +

jntjnt(XeXe) nnn02—9 求图2-9所示周期信号的傅里叶级数

E x (t) t -T/2 0 T/4 T/2 3T/4 T

解：此函数是一个偶函数 x（t） = x（—t） ∴ 其傅里叶级数含有直流分量和余弦分量

3TT1Tt1144EE4  t dt= + T E dt+ 3T4E(1-) dt0T4TT4TT8 ao =

11

= =

EE2E292 + + E–2(TT) 8216T6E3E3E– = 444 an =

2T  x(t) cos nt dt T01T  x(t) (ejnt  e-jnt) dt T0 =

=

=

1T4En(1cos)， n = 1， 2， … 22(n) ∴ x（t） =

3E4–

11[ cos t  cos2t  cos 3t  ...] 2494E2—10 若已知F［x（t）］ = X（Ω）利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换

（1） x（2t–5） （2） x（1–t） (3） x(t) · cos t

解：(1） 由时移特性和尺度变换特性可得

1-j2 X () eF ［x（ 2t — 5）] = 22(2) 由时移特性和尺度变换特性

5 F ［x(at)］ =

1 X () |a|aX () e-jt0 X (-) e-j

F ［x(t-t0)］ =

F ［x(1–t)］ =

(3） 由欧拉公式和频移特性

cos t =

1 ( ejt e-jt) 2j0t

(t) eF [xΩ0 = 1

] = X（Ω

Ω）

0

F ［x(t) · cos t］ =

1［ X(Ω–1） + X（Ω+1)］ 2 12

2-11已知升余弦脉冲x（t） =

Et( 1  cos ) (t)求其傅里叶变换 22

解:x(t) = 求微分

Et( 1  cos )[ u（ t +τ）–u（ t–τ）］ 22

Etx(t) =  sin [ u(t  ) - u(t-)]

2

E2tx(t) = 2 cos [ u(t  ) - u(t-)]

2E2E3tx(t)=3 sin [ u(t  ) - u(t-)] +2 [ (t  ) - (t-)]

22 =

2E2 x(t) + [ (t  ) - (t-)] 222由微分特性可得:

2Ejj[-(j) X()  (ee)]23

（ jΩ） X（Ω) =

2

∴ X（Ω) =

2E2sin2 2 2(2)2—12已知一信号如图2-81所示,求其傅里叶变换

x(t) t -τ/2 0 τ/2

解:（1） 由卷积定理求

x(t) =

G(t) * G(t)

22 13

G(t) =

22E[u(t)u(t)] 442ESa()

24E2Sa() 24

G() =

2 由时域卷积定理

X（Ω） =

G() G() =

22（2） 由微分特性求

2E ，–〈 t 〈 0 2

x(t) = –2E ，0 < t 〈 2

 0 ,| t ｜ 〉

2

2Ex(t) = [δ（ t +） +δ( t–)–2δ（t）］ 22j2j2由微分特性

（ jΩ）2 X(Ω） =

2E(ee2)(2cos2)

22E X(Ω） =

E2Sa() 242—13已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求图2—82所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱

解:G(t) = E [ u( t +

）–u( t–）] 22

G() =

E Sa()

2( t–）

2

x(t） = G( t + )–G2由时移特性和线性性

14

X(Ω） =

jjE Sa()e2–E Sa()e2

22 =

eE Sa()2j2e2jj2E Sa()sin ·2j = 2j

22

2Eτ -2 - 0   2Ω 

2-14已知三角脉冲x1（t）的傅里叶变换为

X1（Ω) =

E2Sa() 24试利用有关性质和定理求x2（t） = x1(t–） cosΩ0t的傅里叶变换

2

解：由时移性质和频域卷积定理可解得此题 由时移性质

-j2F ［x1 (t–）］ = X1 () e

2

由频移特性和频域卷积定理可知:

F ［x(t ）cosΩ0t］=

1[X（Ω–Ω0）+ X（Ω+Ω0）］ 2

X2 （Ω） = F ［x1 （t–）cosΩ0t］

2

=

00jj122［ X1 （Ω–Ω0） e + X（Ω+Ω0） e］ 2

15

=

E4(0)je［Sa2

402(0)je+ Sa2

402]

2—15求图2—82所示X（Ω）的傅里叶逆变换x（t）

|X(Ω)| A A |X(Ω)| Ω -Ω0 0 Ω0 -Ω0 0 Ω0 Ω φ(Ω) π/2 π/2 φ(Ω) Ω -Ω0 0 -π/2 Ω0 -Ω0 0 -π/2 Ω0 Ω a) b)

j()e解:a） X(Ω) = | X(Ω）｜

jt0G()e = 20由定义：

x（t） =

12X()ejtd

=

12A200Aejt0ejtd ej(tt0)d

=

00 =

A0ej(tt0)|02j(tt0)

=

Asin[0(tt0)]

(tt0) 16

=

A012Sa[0(tt0)] X()ejtd

jb）

x(t)

1=

2=

0200Aeeejt1d+

200Aeej2ejtd

2)

A2j(t2)0Ad+

2+

0j(t0d

=

j(t)A2e|002jj(t)A02e|02jj(0t

A

=

j2A2j(0t22e))

A

–

j2A2j(0tsin[(0t)2e)j(0t2)

A

=

2(0t2)]=

ASa[0t2]

2—16确定下列信号的最低抽样频率与抽样间隔

（1) Sa（100t） （2） Sa2(100t）

（3） Sa（100t）+ Sa2(100t） 解:（1）由对偶性质可知：

Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为［—100,100] 即Ωm = 100 =2πfm

∴ fm =

50

由抽样定理 fs ≥ 2fm

∴ fs ≥ 2×50 =

100

Ts≤

 10017

（2） 由对偶性质可知

Sa（100t)的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为［-100,100] 又由频域卷积定理可知

Sa2(100t）的频谱是脉宽为[–200，–200]的三角形脉冲 即Ωm = 200 =2πfm

∴ fm =

100

由抽样定理 fs ≥ 2fm ∴ fs ≥ 2×Ts≤

100 =

200

200

(3） 由线性性质可知

Sa(100t）+ Sa2(100t） 的频谱是Sa(100t）和Sa2(100t)之和 ∴其Ωm =2πfm= 200 即 fm =

100

则fs ≥ 2fm = Ts≤

200

200

2—17已知人的脑电波频率范围为0～45Hz,对其作数字处理时,可以使用的最大抽样周期T是多少？若以T = 5ms抽样，要使抽样信号通过一理想低通滤波器后，能不是真的回复原信号，问理想低通滤波器的截至频率fc应满足什么条件？

解:由已知条件，可知fm = 45Hz 由抽样定理fs ≥ 2fm = 90Hz ∴ T ≤

1 901T =

x(f) T = 0.005 ∴ fs =

1000 = 200 5f -45 0 45 由抽样定理和低通滤波可知 45 ≤ fc ≤ 200-45 = 155 即45 ≤ fc ≤ 155

x(f) f -45 0 45 200 18

2—18若F[a（t）］ = X（Ω）， 如图2—85所示，当抽样脉冲p(t)为下列信号时,试分别求抽样后的抽样信号的频谱X s （Ω）， 并画出相应的频谱图

（1） p(t) = cos t （2） p(t） = cos2 t （3） p(t） =

1 X(Ω) n(t2n)

Ω -1 0 1 (4） p（t） =

n(tn)

解：由抽样特性可知 x s = x（t） p(t） 由频域卷积定理可知 X s (Ω） =

图 2-85

1X()*P() 21 1/2 X s (Ω) （1） P(Ω） = [δ（Ω+1）+δ（Ω—1）］

1∴ X s (Ω) = X()*P()

21 = [X(1)X(1)]

2(2) P（Ω） = ［δ（Ω+2)+δ(Ω-2)］ ∴ X s （Ω） =

=

Ω -2 -1 0 1 1/2 1 2 18 (1) X s (Ω) 1X()*P() 2-3 -2 -1 1[X(2)X(2)] 2Ω 0 1 2 3 18 (2) （3） P(Ω) =

22n(n)

1X s (Ω) 2 =

n(n)

1X()*P() 212-3 -2 -1 0 1 2 3 Ω 18 (3) ∴ X s （Ω） =

=

nX(n) (2n)

（4） P（Ω） =

2n1 X s (Ω) Ω

19 -3 -2 -1 0 1 2 3 18 (3) =

2(2n)

n∴ X s (Ω) =

1X()*P() 21 =

nX(2n)

Xp （1） = 2， Xp （2） = 0， Xp （3) = 2

3—1 解：序列频谱的定义为

X(ej) =

（1)

jn-x(n)en-jn

X(e) = X(ej) = X(e) =

=

jjn(n)e= 1

(2）

n-jn-j3(n3)e= e

（3)

n-jn[0.5(n1)(n)0.5(n1)]e

0.5ej+ 1 +0.5e-j= 1 +

njnau(n)eejej = 1 +cos 

2（4）

X(e) =

j

n- =

aen0njn =

jn(ae) （∵0 〈 a 〈 1, ∴收敛） n0

1 = j

1ae（5）

X(ej) =

n-RN2N(n)ejN2jn=

en0N1jn1ejN = j

1ee

=

jej2 ·

eeejN2ej2j2 = e-jN-12Nsin2  sin2 20

3—2 (1） DTFT[x（n—n0）］ =

n-jnx(nn)e0

mnn0

（2） DTFT［x(n)] =

＊m-x(m)ejmjn0e=

X(ej)ejn0

n-x(n)e*jnjn*[x(n)e] = n-jn()*[x(n)e]= X*(e-j) = n- (3) DTFT［x（-n）] =

n-x(-n)en-jnmnx(m)ejm()= X(e-j)

m（4) DTFT［x(n)＊ y（n）] =

jn[x(n) * y(n)]e

=

n-m-x(m)y(nm)ejjmjn=

jmjnx(m)y(nm)en

=

mx(m)Y(e)e

jmY(e)x(m)e=

m =

X(ej)Y(ej)

jnx(n)y(n)e  (5） DTFT［x(n) y(n）］ =

n =

1[n212X(ej)ejnd]y(n)ejn

j

 =

X(e)[y(n)ejn()]dn

=

12X(ej)Y(ej())d=

1X(ej)*Y(ej) 2dX(ej)] d （6） DTFT[nx（n）] =

njnnx(n)e = j[ （7） DTFT[x(2n）］ =

njnx(2n)e

21

m2n

mx(m)ejm2

m取整数mjmjm122[x(m)e(1)mx(m)e] 2 =

jm12x(m)e2mj12mx(m)(e) +2m =

jj112X(e)+X(e2) 22 （8） DTFT［x2(n）］ =

1X(ej)*X(ej) 2n （9） DTFT[xa（n）］ =

xa(n)ejn=

nj2nx(2n)ea

 =

nj2nj2x(n)e) = X(e3-3 解:x（n） =

12X(e)ejjnd =

1200ejnd

=

jn0jn011ee0ejn|0 =

2jnn2j =

sinn0n =

0sinn0n0 =

0Sa(n0) 3—4解： 由DFS的定义

∴ Xp （0) = Xp (k) =

nkx(n)WpN n0N1xn03n0N1p(n)epjn022

1 n =

x(n) = 4

-2 -1 0 1 2 3 4 5 图3-44 22

Xp （1) =

3xn03p(n)ejn2= 2 + (–j ) + 0 + j = 2

Xp (2） =

jnx(n)ep= 2 + （–1 ） + 0 + （–1 ） = 0 n0 Xp （3） =

xn03p(n)ejn32= 2 + j + 0 + （–j ） = 2∵ Xp （k）是周期函数,其周

期长度N=4 = 2

3—5 解： 由DFS的定义

N1∴ Xp （k) = Z［1+cos（ k)]或 Xp (0） = 4， Xp （1) = 2， Xp （2） = 0， Xp (3)

2 Xp1 (k） =

n0j2nkxp(n)eN j2nkxp(n)e2N

2N1 Xp2 （k) =

N1n0j2nk2N1j2nk=xp(n)e2N+xp(n)e2N n0nNN1 mnNj2n(k)N1j2(mN)kN22 +xp(n)exp(mN)eNn0m0N1j2mkjkk = Xp1 （) +xp(m)eN2e

2m0 =Xp1()Xp1() ek2k2jk=Xp1()(1 ek2jk)

0 , k为奇数 = k2Xp1() , k为偶数23—6。解：与3-4答案相同，可由定义求出.

只不过此时的x(k）非周期的.

x(n) 2 1 Xp （k) = Z[1+cos（ k）］R4（k）

2 或 Xp1 (0） = 4, Xp1 （1) = 2, Xp1 （2） = 0， Xp1 （3) = 2

-2 -1 n 0 1 2 3 4 图3-45 离散时间信号 5 23

3-8 解：（1）由定义得，

X(k)∴X(0)2j2nke3

2n0e03 n02X(1)n02j2ne3j4ne31ej23ej430

X(2)n0j41e3j2ne30

（2）∵N2m4m

2 ∴只要m1,N就取整数N4

∴X(k)n033j2nkcosneN

2 ∴X(0)j0cosne10100 2n03

X(1)n03jncosne210102

2

X(2)cosn03nejn10100

2

X(3)n0j3ncosne210102

2

X(k)1cosk, k=0,1,2,3

(3）X(k)n03j2nkx(n)eN

3 ∴X(0)x(n)5 n03jn2

X(1)x(n)en01(2j)13j2j

24

X(2)x(n)ejn1(2)(1)(3)5

n033

X(3)x(n)en0j3n212j1(3j)2j

DFTx(n)N1j2nkx(n)eNX(k)3

—

9

解

：

n0N1（1)DFT(n)(n)ej2Nnk1X(k)∴X(0)1 X(1)1。n0X(N1)1 ∴X(k)1RN(k), k0,1,2,...,N1

N6（2）DFT(n3)1(n3)ej2NnkejNk

n0N1j2k(3）DFTananej2Nnk1aNe

n021aN1aejNk1aej2Nk（4)DFTejw0nN1ejwe20njNnkNn01ej(w02Nk)n n0jw

1ejw0Nej2kj(w1e0N1e02Nk)j(w

1e02Nk)N1 (5)DFTj2j2nj2nkN1j(22eNneNeNeNNk)n n0n0

1ej2(1k)N , k11ej2(1k)0 , k1 N(k1)

NN13—10 解:（1)Zx(n)znnx(n)zn1zNn01z1 (z1) N1 （2)DFTx(n)x(n)ej2Nnk1ej2k2n01ejN(k)

NkN1 （3）DTFTx(n)X(ejw)nx(n)ejnwejnw

n0 25

. 。

1ee(ee)wwwjjj1ejwe2(e2e2) NsinwN1j()w2e2wsin2 当w0时，X(ejw)N 当wjNwjNw2jNw2jNw22k时，X(ejw)0 N11（4）由（3）可得，当x(n)由4点通过补零扩为10点时，此时的圆卷积和线卷积的结果相同。由于线卷积的长度为4+4-1=7

∴可知x（n）由4点通过补零扩为最少7点时，圆卷积和线卷积相等。

ln3-12 证明:频移定理为 IDFT X(kl)R(k)x(n)WpNN 由IDFT的定义可知，

IDFTXp(kl)RN(k)1N

Xk0kljN1p(kl)ej2nkN1NNl1Xp(m)ej2nmNlnj2Ne

x(n)e2lnNx(n)WNln3-13 解：频移定理

ln IDFTX(kl)R(k)x(n)WNN p2mnjmn21j2N1mnmnNcos(mn)(ee)(WNWN) （1)∵

N22 ∴DFTx(n)cos( 由频移特性:

211mnmnmn)DFTx(n)WDFTx(n)WNN N22mn) DFTx(n)cos(Xp(km)Xp(km)RN(k) N22mnjmn21j2N1Nmn)(ee)(WNmnWNmn) （2）∵sin(N2j2j21 26

∴DFTx(n)sin( 由频移特性：

211mnmnmn)DFTx(n)WDFTx(n)WNN N2j2jmn) DFTx(n)sin(Xp(km)Xp(km)RN(k) N2j3—14

解：由DFT的定义可知，

21DFTy(n)

rN1n0y(n)ej2nkrNx(n)en0N1j2nkrNx(n)en0N1j2kn()NrkX()r

3—15 证明：频域圆卷积定理，

若y(n)x(n)h(n) 则

Y(k)X(k)H(k)1 N1 NX(l)Hl0N1p(kl)RN(l) (kl)RN(l)N1n0H(l)Xl0N1pY(k)DFTy(n)x(n)h(n)WNnk x(n)IDFTH(k)W

n0N1nkN1x(n)n0NN1lnnkH(k)WNWNl0N1 1NH(l)x(n)Wl0n0N1N1

(kl)nN1 NH(l)Xl0N1p(kl)RN(l)(kl)RN(l)

1 同理可证Y(k)NX(l)Hl0N1p3-16 证明：由卷积的定义可知 （1）x(n)(n)mx(m)(nm)x(n) x(m)(nn0（2)x(n)(nn0)m)x(nn0)

m3—19解：(1）T1min

11110.02s(2）Tmax0.5103s

2fn21000F5027

（3）NT10.0240 ∴Nmin26 3T0.510 (4)分辨力提高一倍,则T1min0.04s，则N80,取N27128

N)又DFTRN(n)N(k) 2nn3-17解：18..DFT(1)DFT(1)RN(n)X(kn ∴DFT(1)N(kN) 2x(0) x(8) x(4) x(12) x(2) x(10) x(6) x(14) x(1) x(9) x(5) x(13) x(3) x(11) x(7) x(15) x1(0) x1(1) x1(2) x1(3) x1(4) x1(5) x1(6) x1(7) x1(8) x1(9) x1(10) x1(11) x1(12) x1(13) x1(14) x1(15) x2(0) x2(1) x2(2) x2(3) x2(4) x2(5) x2(6) x2(7) x2(8) x2(9) x2(10) x2(11) x2(12) x2(13) x2(14) x2(15) x3(0) x3(1) x3(2) x3 (3) x3 (4) x3 (5) x3 (6) x3 (7) x3 (8) x3 (9) x3 (10) x3 (11) x3 (12) x3 (13) x3 (14) x3 (15) X(0) X(1) X(2) X (3) X (4) X (5) X(6) X (7) X(8) X (9) X (10) X (11) X (12) X (13) X (14) X(15)

28

3—18 解：DFTX(N)N12r0nk2rk(2r1)k (1)nWN(1)2rWN(1)2r1WNn0r0r0N12r0N1N12N12rkkWNWNWNrk

22

nnDFT(1)DFT(1)RN(n)X(kN) 25-1 用冲击响应不变法求相应的数字滤波器系统函数H（z)

s3

s23s2s12）Ha（s） = 2

s2s41）Ha（s) =

解：由Ha（s)分解成部分分式之和 1）Ha（s） =

s3s321==– 2s2s3s2(s2)(s1)s1211eT(12eT)z1∴H（z) = –= T12T1TT13T21ez1ez1e(1e)zezs1=

s22s42）Ha(s) =

12s2ej3+

12s2ej3

∴H(z) =

121e2Tez1j3+

121e2Tej3z112ecos(3T)zez=

1eTcos(3T)z1T12T2

5—2 设ha（t）表示一个模拟滤波器的单位冲击响应 ha(t）= 0 ， t＜0

e0.9t , t≥0

29

（1）用冲击响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器,确定系统函数H(z）（以T作为参数）

（2）证明，T为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器，还是高通滤波器

解:（1)∵ ha(t）= e0.9tu(t) ∴ Ha（s) =

1 s0.91 ∴ H（z) =

1e0.9Tz11（2）∵ H(z） =

1e0.9Tz1

则其极点为z=e0.9T

∵ T 〉 0 ∴ |z｜ 〈 1 H(ej) =H(z)|zejej = j0.9T ee可以看出当ω↑时，| H(ej) |↓ ∴ 是低通滤波

5-3 图5—40是由RC组成的模拟滤波器,写出其系统函数Ha(s）,并选用一种合适的转换方法，将Ha（s）转换成数字滤波器H(z) 解:由回路法可知(这是一个高通滤波器）

C ya（t)=RC∴

dUc(t)dx(t)dy(t)= RCa–RCa dtdtdtxa(t) R ya(t)

Y(s)RCs== Ha（s) X(s)1RCs由于脉冲响应不变法只适宜于实现带通滤波器，所以最好用双线性变换法实现H（z)

30

∴H（z）

2RC1z1112RC(1z)H(s)|T1z1a21z=1=12 s1=2RC1z(T2RC)(T2RC)zzT1z1T1z1c5—4 设模拟滤波器的系统函数为Ha(s）= ，式中Ωc是模拟滤

sc波器的3dB带宽，利用双线性变换，设计一个具有0.2π的3dB带宽的单极点低通数字滤波器

解：由预畸可知

210.65tan(0.2)c==

TT20.65∴ Ha(s） =T

0.65sT由双线性变换法可得

0.6510.65(1z)H(s)|T21z1=H（z) =a=11 s121z0.652.651.35zT1z1T1zT5-5 要求通过模拟滤波器设计数字滤波器，给定指标：3dB截至角频率ωc=π/2,通带内ωp=0.4π处起伏不超过1dB,阻带内ωs=0.8π处衰减不小于20dB，用Butterworth滤波特性实现

（1）用冲击响应不变法 （2）用双线性变换法 解：(1）用冲击响应不变法

31

① 先将数字指标转换为低通原型模拟滤波器指标

p=

p0.4= TT0.8s==

TT②设计模拟滤波器,求出Ha(s) Butterworth的频响函数为

s1|Ha(j)|2=2n

1()c∴ Ha(jp)=

1(1pc)2n=

p2n=101()c1110

201110Ha(js)=s2n=10 s2n=

1()1()cclg(1021110)∴ n =

101=2。14 2lg(s)p∴ 取 n = 3 ③ 求c

|Ha(j)|=

211(s2n)c=10

20.8∴ ωc = 62rad/s = 6= 0。372π

99101∴ c=

scT 设T = 1， 则 c= 0。372π

32

④ 求Ha(s）查表可得

1Ha(s)

(s1)(s2s1)∴ Ha(s） = Ha(s)|ssc1

ss2s(1)(21)ccc⑤ 由冲击响应不变法 先将Ha(s）分解成部分分式

A1A2A3Ha（s） =++

ss1ss2ss3 =

则H(z） =

=

A11es1Tz1A2A3+s3T1 s2T1+1ez1ez（2）用双线性变换法

①由预畸求模拟滤波器原型指标

p1.4532p=tan=

T2T2s0.155s=tan=

TT2 ②设计模拟滤波器,求出Ha(s)

Butterworth的频响函数为

1|Ha(j)|=2n

1()c2 33

∴ Ha(jp)=

1(1pc)2n=10110

20110Ha(js)=10= s2n1()clg(1021110) ∴ n =

101=1.51 2lg(s)p 取n =2

③求c

12|Ha(js)|=10= 2n1()c2取T=1

6.155∴ c=62rad/s = 699= 2.862 101s ④求Ha(s）

查表可得：

1Ha(s)=2

s1.4142s1Ha（s） = Ha(s)|ss=

c1ss1.414212cc2

=

⑤由双线性变换法求

H（z） =

Ha(s)|21z1s1T1z=

34

5-6 已知图5—41h1（n）是偶对称序列N=8，h2(n）是h1（n）圆周位移后的序列。设H1(k)=DFT［h1（n）]， H2(k）=DFT［h2（n)］

(1） 问|H1（k）｜ = ｜H2（k）｜是否成立?θ1(k）与θ2（k）有什

么关系?

（2） h1（n)，h2（n）各构成低通滤波器，试问它们是线性相位

的?延时是多少?

(3） 这两个滤波器的性能是否相同?为什么?若不同谁优谁劣？ 解：（1） 由DFT的时移定理

mkDFT[xp(n—m）RN（n)］= WNX(k)可知

H1（k）和H2（k)只有相位差，幅值相等,即有 ｜H1（k)| = ｜H2（k）| θ1（k）和θ2（k)相差WN

4k即θ2(k）–θ1（k）= W8=emkj24k8jke=

（2） ∵ 无论h1（n)，h2(n)都是偶对称序列

∴ 所以他们构成的低通滤波器具有线性相位

N181延时 α===3。5

22（3） 不相同，相位相差kπ

h1(n）要优于h2（n），因为其相位滞后时间少

5—7用矩形容器设计一个近似理想频率响应的FIR线性相位的数字

j , 0 ||c 滤波器 e

Hd（ej） = 35

0

, c ||

（1) 求出相应于理想低通的单位脉冲响应hd（n）

（2） 求出矩形窗设计法的h（n）表达式确定τ与N之间的关系 （3） N取奇数或偶数对滤波特性有什么影响?

1解：(1) hd(n）=

2

cHd(ej)ejnd ejn1 =

2ecjsin[c(n)]d =

(n)(2） h(n)= hd（n) RN（n）， h（n）只能取偶对称序列，由线

性相位

τ=

N1 2（3） 由于N无论取奇数还是偶数，都可实现低通滤波，而

N1的偶对称函数，就能保证线性2且只要N的取值使h（n）为关于

相关，另外N的大小，只影响余振的多少和过滤带的窄宽,不会影响阻带良域。

5—8用矩形容器设计一个线性相位高通FIR数字滤波器

j , c || eHd（ej） =

， 0 ||c

0

（1） 求出响应于理想高通的单位脉冲响应hd（n）

（2） 求出矩形窗口设计法的h（n）表达式,确定τ与N之间的

关系

（3） N的取值有什么？为什么？

36

1解：（1) hd（n）=

2

Hd(ej)ejnd 1d+

21= 21= 21= 2=

cejejncejejnd

cej(n)1d+

2cej(n)d

cc[ej(n)ej(n)]d

cos[(n)]d 11sin[(n)]|c =

(n)sin[c(n)]1sin[(n)]–=

(n)(n)

cSa[c(n)] = Sa[(n)]–∴ hd(n）仍然是偶函数

（2) h（n）= hd(n） RN（n)

∴ h(n）为偶对称序列,要保持滤波器具有线性相位，则须有

τ=

N1 2(3) 这是一个高通滤波器，由于h(n)为偶对称，而当N取偶数时，

所得到的滤波器不能实现高通特性

∴ N只能取奇数

5—9考虑一个长度为M=15的线性相位FIR滤波器，设滤波器具有对称单位样值响应，并且它的幅度响应满足条件

1， k = 0， 1, 2， 3

37

2kH（) =

15 0, k = 4， 5， 6, 7 确定该滤波器的系数h（n）

解：由于H(k） =Ha(ej)|2 NkN12 ∴ h(n） = IDFT［H（k)］ =

1NH(k)ejNnk

k014

∴ h（0） = 1j20k15H(k)e15= 1 k0j2815h（1） = 114j2

k11e15H(k)e15=2 k0151ej15j56j4k1115

h(2） = 11415H(k)e15=e4k0151ej 15j84 j6k115h（3) = 11415H(k)e15=1e6k0151ej 15

h（4） = 0 h(5） = 0 h（6） = 0 h(7) = 0

由频率特性可知，这是一个低通滤波器

∴ 要取h（n)关于α=N12=1512=7这一点偶对称时，可

实现低通滤波（奇对称时，无法实现低通滤波） ∴ 取 h（8) = h（6）

38

h（9) = h（5) h(10） = h（4） h(11) = h(3) h（12） = h(2) h(13) = h(1） h(14) = h（0）

5—10设FIR滤波器的系统函数为

H（z） = 0.1(1+0.9z-1+2。1z—2+0。9z-3+z-4）

求出滤波器的单位抽样响应，判断是否具有线性相关，并求出其幅度特性和相位特性，画出其直接型结构和线性相位型结构

39