广州广大附中2020-2021学年初三11月联盟考数学试题及答案(新人教)

考试时间：120分钟 满分:120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 下列运算正确的是（ ）

A．（﹣a2）3＝a6 B．3a2•a＝3a2 C．﹣2a+a＝﹣a D．6a6÷2a2＝3a3

2. 已知一次函数y＝（m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＜y2，那么m的取值范围是（ ） A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1 3. 已知x1,x2(x1x2)是一元二次方程x5x60的两根，则x2x1的值是（ ） A．1 B．5 C．6 D．7

2x104.一元一次不等式组1的解集中，整数解的个数是（ ）

x302A．2 B．3 C．6

5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（ ）

D．7

125 B． C．3 D．5 5226. 若一元二次方程3x2x70的两根分别为x1,x2，则

11的值为（ ） x1x27722A． B． C． D．

2277A．

7.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝

15°，则∠2的度数是（ ）

A. 25° B. 30° C. 35° D. 15°

8.二次函数yaxbxc的图象如图所示，下列结论正确是 ( ) A．abc0 B．2ab0

2

C．3ac0 D．axbxc30有两个不相等的实数根 9.如图，在ABC中，ADBC于点D，BF平分ABC交AD与点E，交AC于点F，AC13,AD12,BC14，则DE的长等于（ ）

A.

2913 B. 5 C. D. 7 22第 1 页 共 15 页

10.抛物线yax2bxc（a，b，c为常数，a0）经过A(2,0)，B(4,0)两点，下列四个结论：

∠若点C(x1,y1)，D(x2,y2)在该抛物线上，且x1x22，则y1y2； ∠若点C(x1,y1)，D(x2,y2)在该抛物线上，且|x11||x21|则y1y2；

∠对于任意实数t，总有at2btab；

2④对于a的每一个确定值，若一元二次方程axbxcp（p为常数，p0）的根为整数，则p的值只有两个. 正确的是（ ）

A. ∠∠∠④ B. ∠∠∠ C. ∠∠ D. ∠∠④

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11．因式分解：a9 ．

12．已知关于x的一元二次方程xax40有两个相等的实根，则实数a的值为 ． 13.如图所示，点O是平行四边形ABCD的两对角线交点，E、F分别是AB边上的点，且

2211AB；G、H分别是BC边上的点，且GHBC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH23S的面积，则1______________.

S2EF

14.设二次函数yxmxn的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后对应的解析式是yx，则m______，n________.

15.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt∠ABO中，∠OBA＝90°，A(4,4)，点C在线段AB上，且

22AC1，点D为OB的中点，点P为线段OA上的动点，当点P在OA上移动时，CB3''使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为___________. 16.如图，在正方形ABCD中，AB3，点E，．若将四边形EBCFCD上，F分别在边AB，沿EF折叠，点B的对应点B恰好落在AD边上，点C的对应点C，BC与CD交于点G，则下列结论正确的是______________.(填写正确结论的序号)

①若EFD60，则BE2；②ABCFBE；③BBG的大小为定值； ④FCG的周长与线段AB的长度之和为定值.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

1217.(本题满分4分)解方程：x2x0.

4

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18.(本题满分6分)为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： （1）将条形统计图补充完整；

（2）被调查的学生周末阅读时间众数是 小时，中位数是 小时； （3）计算被调查学生阅读时间的平均数；

（4）该校八年级共有500人，试估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数．

19.(本题满分7分)甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．

（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次降价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品每次降价的百分率相同，求这个降价的百分率；

（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利11200元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价40元的基础上应如何调整？

20. (本题满分7分)矩形ABCD中，AB=8，BC=6，过对角线BD中点 O的直线分别交AB，CD边于点E，F. （1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

第20题图

（2）当四边形BEDF是菱形时，求该菱形的边长.

21. (本题满分7分)在平面直角坐标系xoy中，等腰直角ABC的直角 顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB4，抛物线经 过A，B，C三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点O任作直线l交抛物线于M，N两点， 求△CMN面积的最小值．

y

622. (本题满分8分)在初中阶段的函数学习

5中，我们经历了“确定函数的表达式

4——利用函数图象研究其性质——运用函

3数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，2我们通过描点或平移的方法画出了所学的1函数图象．同时，我们也学习了绝对值的

-8-7-6-5-4-3-2-1O12345678x-1a(a0)意义a． -2a(a＜0)

第 3 页 共 15 页 -3-4-5-6第22题图

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数ykx3b中，当x＝2时，y＝－4；当x＝0时，y＝－1． （1）求这个函数的表达式； （2）已知函数y＝

1x－3的图象如图所示，请在图中画出函数ykx3b的图象，结合21x3的解集． 2

图象直接写出不等式kx3b

23.（本题满分9分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0） （1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；

（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围； （3）当k≤x≤k+2时，求y的最小值（用含a、k的代数式表示）．

24.(本题满分12分)定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝ ；

（2）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF∠BE，求证：四边形BCEF是准矩形；

（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当∠ADC为等腰三角形时，求这个准矩形的面积．

25.(本题满分12分)已知抛物线y＝ax2﹣

1x+c经过A(﹣2，0)，B(0，2)两点，动点P，Q同3时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动，动点P沿x轴正方向运动，动点Q沿y轴正方向运动，连接PQ，设运动时间为t秒 (1)求抛物线的解析式； (2)当BQ＝

1AP时，求t值； 3(3)随着点P，Q的运动，抛物线上是否存在点M， 使∠MPQ为等边三角形？若存在， 请求出t的值及相应点M的坐标； 若不存在，请说明理由．

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广州广大附中2020-2021学年11月大联盟考试数学（答案）

考试时间：120分钟 满分:120分

三、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

CDADB CBCAB 10解析：

抛物线的对称轴为直线x当x1时，yabc

则抛物线的顶点的纵坐标为abc，且abc0

将抛物线yaxbxc向下平移abc个单位长度得到的二次函数解析式为

2421，开口向下，所以∠∠正确 2yax2bxc(abc)ax2bxab

由二次函数图象特征可知，yaxbxab的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上即y0恒成立，则对于任意实数t，总有at2btab0，即at2btab，结论∠正确

将抛物线yaxbxc向下平移p个单位长度得到的二次函数解析式为

22yax2bxcp

222函数yaxbxcp对应的一元二次方程为axbxcp0，即axbxcp

2因此，若一元二次方程axbxcp的根为整数，则其根只能是x11,x23或

x10,x22或x1x21

对应的p的值只有三个，则结论④错误

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11．(a+3)(a﹣3) 12. 4

313. 14.4,7(答对1空得2分) 2

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8815.(,)

3316.①②③④

16解析

三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.(本题满分4分))解方程：x2x解：a1,b2,c210. 41 ……1分 4122 b4ac(2)41()30……2分

4bb24ac23则x……3分

2a22323x1,x2……4分

22

18.(本题满分6分)为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： （3）将条形统计图补充完整；

（4）被调查的学生周末阅读时间众数是 小时，中位数是 小时； （3）计算被调查学生阅读时间的平均数；

（4）该校八年级共有500人，试估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数． 解：（1）由题意可得，本次调查的学生数为：30÷30%＝100， 阅读时间1.5小时的学生数为：100﹣12﹣30﹣18＝40， 补全的条形统计图如图所示，……1分

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（2）由补全的条形统计图可知，被调查的学生周末阅读时间众数是1.5小时，中位数是1.5小时，故答案为1.5，1.5；……3分 （3）所有被调查学生阅读时间的平均数为：

1×（12×0.5+30×1+40×1.5+18×2）＝1.32小10040+18＝290（人）．……6分 100时，即所有被调查同学的平均阅读时间为1.32小时．……5分 （4）估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数为500×

19.(本题满分7分)甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．

（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；

（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利11200元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？

解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，……1分 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；……2分 答：这个降价率为10%；……3分

（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y件， 根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝11200， ……4分 解得：y＝4或y＝6， ……5分

当y=4时，500+50y=700件；当y=6时，500+50y=800件……6分 答：为扩大销量该商品在原售价的基础上，再降低6元． ……7分

20.(本题满分7分)矩形ABCD中，AB=8，BC=6，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.

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（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求该菱形的边长. （1）证明：在矩形ABCD中，AB∠DC ∠ OBEODF

又 O是BD的中点 ∠OB=OD

在∠BOE与∠DOF中

OBEODF OBODBOEDOF∠∠BOE∠∠DOF ∠EO=FO

又 BO=DO

∠四边形BEDF为平行四边形……4分 （2）四边形BEDF为菱形  BE=DE DB∠EF

又 AB=8 ， BC=6， 设BE=DE=x,则AE=8-x

222在Rt∠ADE中，6(8x)x

∠x25 ……7分 44则菱形边长为25

21.(本题满分7分)在平面直角坐标系xoy中，等腰直角ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点O任作直线l交抛物线于M，N两点，求△CMN面积的最小值．

220.解：（1）设抛物线的解析式为yaxbxc，

在等腰RtABC中，OC垂直平分AB，且AB4， ∠OAOBOC2． ∠A(2,0) B(2,0) C(0,2)

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4a2bc04a2bc0， c21a2解得：b0

c2∠抛物线的解析式为y12x2 ……3分 2（2）∠设直线l的解析式为ykx，交点Mx1,y2，Nx2,y2

12yx212xkx20，……4分 由，可得22ykx∠x1x22k，x1x24．

∠x1x2x1x24x1x24k216，……5分 ∠x1x22k24． ∠SCMN22SOCMSOCN1OCx1x22k24．……6分 2∠当k0时，2k24取最小值4． ∠SCMN的最小值是4． ……7分

23. (本题满分8分)在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式

——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义a(a0)a．

a(a＜0)结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数ykx3b中， 当x＝2时，y＝－4；当x＝0时，y＝－1． （1）求这个函数的表达式；

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（2）已知函数y＝

1x－3的图象如图所示，请在图中画出函数ykx3b的图象，结合21x3的解集． 2

图象直接写出不等式kx3b32k3b4k22.（1）由题意得，解得2，

3b1b4故该函数解析式为y＝

3x3－4．……3分 2（2）当x≥2时，该函数为y＝

3x－7； 23x－1， 2当x≤2时，该函数为y＝－其图象如下图所示：

y654321-8-7-6-5-4-3-2-1O12345678x-1-2-3-4-5-6第22题答图

……6分

根据函数图象，两函数图象的交点分别为(1,)和(4,1)，

521x3的解集为1≤x≤4……8分 223（本题满分9分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0） （1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；

（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围； （3）当k≤x≤k+2时，求y的最小值（用含a、k的代数式表示）．

所以不等式kx3b.解：（1）由题意得：∠＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0，解得：a≥

1；……2分 3 第 10 页 共 15 页

（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣

4a＝2， 2a当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1或m=5∠

由n>b得实数m的取值范围为：m＜﹣1或m＞5； ……5分 （3）∠当k+2＜2时，即k＜0时， 函数在x＝k+2时，取得最小值，

ymin＝a（k+2）2﹣4a（k+2）+a+1＝ak2﹣3a+1； ∠当k≤2≤k+2时，即0≤k≤2， 函数在顶点处取得最小值， 即ymin＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1； ∠当k＞2时，

函数在x＝k时，取得最小值， ymin＝ak2﹣4ak+a+1；

综上，y的最小值为：ak2﹣3k+1或﹣3a+1或ak2﹣4ak+a+1． ……9分

24.(本题满分12分)定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝ ；

（2）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF∠BE，求证：四边形BCEF是准矩形；

（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当∠ADC为等腰三角形时，求这个准矩形的面积． 解：（1）∠∠ABC=90，∠BD=AB2BC24913，故答案为13，……2分

（2）∠四边形ABCD是正方形， ∠AB=BC,∠A=∠ABC=90°， ∠∠EBF+∠EBC=90°，

∠BE∠CF，∠∠EBC+∠BCF=90°， ∠∠EBF=∠BCF，……2分 ∠∠ABE∠∠BCF（AAS），……4分 ∠BE=CF，且∠CBF=90°，

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∠四边形BCEF是准矩形；……5分

（3）∠∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=300，∵AB=2，∠AC=4，BC=23， 准矩形ABCD中，BD=AC=4，

∠当AC=AD时，则AD=AC=BD，如图1，作DE∠AB，

∠AE=BE=∠DE=1AB=1， 2AD2AE216115，……6分

11DE×AE+（BC+DE）×BE 22∠S准矩形ABCD=S∠ADE+S梯形BCDE==

11×15×1+（23+15）×1=15+3；……7分 22∠当CA=CD时，则CD=CA=BD，如图2，作DF∠BC，垂足为F

∠BD=CD，∠BF=CF=

1BC=3， 2∠DF=CD2CF216313，……8分 ∠S准矩形ABCD=S∠DCF+S梯形ABFD==

11FC×DF+（AB+DF）×BF 2211×3×13+（2+13）×3=39+3；……9分 22∠当DA=DC，如图3，取AC中点G，连DG，则DG∠AC. 连接BG，过B作BH∠DG，垂足为H.

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在Rt∠ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，G为AC中点

1AC=AB=2，∠∠ABG为等边三角形， 2∠∠BGC=120°，∠BGH=30° 又BD=AC=4，

∠AG=BG=

在Rt∠BHG中，BG=2，∠BGH=30°，∠BH=1，HG=3 在Rt∠DHB中，BH=1，BD=4，∠DH=15， ∠DG=DH﹣HG=15﹣3， ∠S准矩形ABCD=S∠ABC+S∠ACD==

11AB×BC+AC×DG 2211×23×2+×4×（15﹣3）=215；……11分 22故答案为153；393；215．……12分 25.(本题满分12分)已知抛物线y＝ax2﹣

1x+c经过A(﹣2，0)，B(0，2)两点，动点P，Q同3时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动，动点P沿x轴正方向运动，动点Q沿y轴正方向运动，连接PQ，设运动时间为t秒 (1)求抛物线的解析式； (2)当BQ＝

1AP时，求t值； 3(3)随着点P，Q的运动，抛物线上是否存在点M，使∠MPQ为等边三角形？若存在，请求出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解（1）∠抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2）两点，

的

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224ac0,a,∠，解得33 c2.c2.∠抛物线的解析式为y＝－

221x－x＋2． ……3分 33（2）由题意可知，OQ＝OP＝t，AP＝2＋t．

∠当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ＝2－t． ∠BQ＝

11AP，∠2﹣t＝（2＋t），∠t＝1． 33∠当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ＝t﹣2．

11AP，∠t﹣2＝（2+t），∠t＝4． 331∠当BQ＝AP时，t＝1或t＝4． ……6分

3∠BQ＝

（3）存在．

作MC∠x轴于点C，连接OM．

设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标为－当∠MPQ为等边三角形时，MQ＝MP， 又∠OP＝OQ，

∠点M点必在PQ的垂直平分线上，

221m－m＋2． 331∠POQ＝45°， 2∠∠MCO为等腰直角三角形，CM＝CO，

∠∠COM＝∠m＝－

221m－m＋2， 33解得m1＝1，m2＝﹣3．

∠M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）． ∠如图，

当M的坐标为（1，1）时，

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则有PC＝1﹣t，MP2＝1＋（1﹣t）2＝t2﹣2t＋2， PQ2＝2t2，

∠∠MPQ为等边三角形， ∠MP＝PQ，

∠t2﹣2t＋2＝2t2，

解得t1＝1+3，t2＝13（负值舍去）． ∠如图，

当M的坐标为（﹣3，﹣3）时， 则有PE＝3＋t，ME＝3，

∠MP2＝32＋（3＋t）2＝t2＋6t＋18，PQ2＝2t2， ∠∠MPQ为等边三角形， ∠MP＝PQ，

∠t2＋6t＋18＝2t2，

解得t1＝333，t2＝333（负值舍去）．

∠当t＝1+3时，1）抛物线上存在点M（1，，或当t＝333时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得∠MPQ为等边三角形． ……12分

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