理科数学 2017年高三2017年全国丙卷理科数学
理科数学
单选题 （本大题共12小题，每小题____分，共____分。）
1．已知集合A=
( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
，B=，则AB中元素的个数为
2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=( ) A.
B.
C. D. 2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．A. B. C. 40 D. 80
的展开式中
的系数为( )
5．已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆
有公共焦点，则C的方程为( )
A.
B.
C.
D.
6．设函数A. B.
的一个周期为
，则下列结论错误的是( )
对称
的图像关于直线
C. 的一个零点为
D. 在(,)单调递减
7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A. B.
C.
D.
9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a，a，a成等比数列，则
2
3
6前6项的和
为( ) A. B. C. 3 D. 8
10．已知椭圆C：的圆与直线
的左、右顶点分别为A，A，且以线段AA为直径
1
2
1
2
相切，则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
11．已知函数有唯一零点，则a=( )
A.
B.
C. D. 1
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若
，则
A. 3 B. 2C. D. 2
的最大值为( )
填空题 （本大题共4小题，每小题____分，共____分。）
13．若，满足约束条件，则的最小值为__________.
14．设等比数列满足a + a = –1, a – a = –3，则a = ___________.
1
2
1
3
4
15．设函数，则满足的x的取值范围是_________.
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
简答题（综合题） （本大题共7小题，每小题____分，共____分。）
17．（12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
，a=2
,b=2.
AC,求△ABD的面积.
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值. 20．（12分）
已知抛物线C：y=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
2
（1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点21．（12分） 已知函数（1）若
.
，求a的值；
，求直线l与圆M的方程.
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.
22．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [选修4
4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
1（t为参数），直线l的参数方程为
2
.设l与l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
1
2
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
，M为l与C的交点，求M的极径.
3
23．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [选修4
5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│. （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式
的解集非空，求m的取值范围.
答案
单选题
1. B 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. D 8. B 9. A 10. A 11. C 12. A 填空题 13. 14.
15.
16. ②③. 简答题 17. (1)18.
(1)分布列略；(2) n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元. 19.
(2)
(1)证明略；(2) .
20.
(1)证明略；(2)见解析 21.
(1)a=1； (2) 3 22. （1）
；（2）
23.
（1）；（2）
解析
单选题 1.
由题意可得：圆
中
有2个元素.故选B. 2.
与直线相交于两点，，则
由题意可得C. 3.
，由复数求模的法则可得，则.故选
由折线图，每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项A说法错误.故选A. 4.
由
可得：当，
当则5.
时，
展开式
的系数为
，
时，
展开式的通项公式展开式
的系数为
的系数为80－40＝40，故选C.
双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，
椭圆中： ，椭圆，双曲线的焦点为 ，
据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，
则双曲线 的方程为 .
6.
当 时， ，函数在该区间内不单调.故选D.
7.
阅读程序框图，程序运行如下： 首先初始化数值：
，然后进入循环体：
此时应满足，执行循环语句：；
此时应满足此时满足故选D. 8.
，执行循环语句：
，可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2.
；
绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，
结合勾股定理，底面半径，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.
9. 设等差数列
，又
10. 以线段线的距离
，
为直径的圆是
，整理为，故选A.
，直线
，即
与圆相切，所以圆心到直
，即
的公差为，且
，所以
，，
，故选A.
，
11. 函数的零点满足
，
设，则，
当当当设若当
时，
时，，当，函数
时，，函数 单调递减，
单调递增， ，
时，函数取得最小值
，当
，函数，
与函数
时，函数取得最小值
没有交点，
与函数
，
时，此时函数有一个交点，
即12.
，解得，故选C.
如图，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则 ，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
填空题 13.
作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.
目标函数即，易知直线
取得最小值，数形结合可得目标函数
在轴上的截距最大时，目标函数
在点
处取得最小值，
为14.
.
由题意可得： ，解得： ，则
15.
由题意： ，函数 在区间
三段区间内均单调递增，且
，
可知x的取值范围是： .
16.
由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由，即AC垂直底面，在底面内可以过点B，作，交底面圆C于D，如图，连结DE，则，所以，连接AD，等腰△ABD中，，当直线AB与a成60º时，∠ABD＝60º，故
，又在Rt△BDE中，BE＝2，
，过点B作BF//DE，交
圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF＝DE＝，所以△ABF为等边三角形，∠ABF＝60º，即②正确，①错误，由最小角定理可知③正确，很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB与a成的最大角为90º，④错误
简答题 17.
（1）由已知得
，所以
.
在 △ABC中，由余弦定理得 解得：
(舍去)，
.
，即 .
（2）有题设可得
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
又△ABC的面积为18. （1）由题意知，
所有可能取值为200,300,500，由表格数据知
，
因此
的分布列为
，.
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
. 当
时，
；
，则
；
.
时，
；
；
.
；
若最高气温不低于25，则若最高气温位于区间若最高气温低于20，则因此当
若最高气温不低于20，则若最高气温低于20，则因此
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元. 19.
（1）由题设可得，又
是直角三角形，所以
，从而
.
.
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO. 又由于所以在
是正三角形，故为二面角中，
.
的平面角.
.
又故
，所以.
，
所以平面ACD⊥平面ABC. （2）由题设及（1）知，方向，
两两垂直，以
为坐标原点，
.则
的方向为
轴正
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
.
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的到平面ABC的距离的
，即E为DB的中点，得
，从而E到平面ABC的距离为D.
故.
设是平面DAE的法向量，则即
可取.
设是平面AEC的法向量，则同理可取.
则.
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
20. （1）设
由可得
又=4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
所以OA⊥OB，
故坐标原点O在圆M上. （2）由（1）可得
.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆即
过点，因此，故，
，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆
的方程为
，圆心
.
的坐标为，圆的半径为
当径为
时，直线的方程为，圆
的方程为
，圆心的坐标为.
，圆的半
21.
（1）的定义域为.
①若，因为，所以不满足题意；
②若时，
，由
，所以
的唯一最小值点.
在
知，当单调递减，在
时，；当
在
单调递增，故x=a是
由于，所以当且仅当a=1时，
时，
.故a=1. .
（2）由（1）知当
令得.从而
.
故.
而，所以的最小值为.
22.
（1）消去参数得的普通方程
.
；消去参数m得l的普通方程
2
设,由题设得，消去k得.
所以C的普通方程为（2）C的极坐标方程为
.
.
联立得.
故，从而.
代入23.
得，所以交点M的极径为.
（1）
当当当所以（2）由
时，时，由时，由
的解集为
无解；
得，解得
. . 得
，而
，解得
且当时，.
故m的取值范围为
