对数平均数的不等式链的几何解释及应用

对数平均数的不等式链的几何解释及应用

中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：

abababab设a,b0,ab,则，其中被称之为对数平均数.

lnalnb2lnalnb童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地

探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.

1 对数平均数的不等关系的几何解释

反比例函数fx1x0的图象，如图所示，APBCTUKV，MNCDx轴，x111ab2K,作在点fxAa,0,Pa,,Bb,0,Qb,,Tab,,处的切线分别与ab2ababAP,BQ交于E,F，根据左图可知，

因为S曲边梯形ABQP所以

>S梯形ABFE=S矩形ABNM，

òba12dx=lnb-lna>(b-a), ① xa+b=又S曲边梯形AUTPòaba1dx=lnab-lna， x=11(lnb-lna)=S曲边梯形ABQP， 221÷1b-aab-a=?÷÷2abab1骣1çS梯形AUTP=ç+2ç桫a()1S， 2梯形ABCD学习好资料 欢迎下载

根据右图可知，S曲边梯形AUTP11骣11÷1+b-a<(b-a)2(b-a)1b-a1骣1b-a<1÷1b-a<()(b-a)， ÷÷baa+bb-a>>2lnb-lnaab>211+ab>a(b>a>0). ④

2 不等式链的应用

对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．

2.1

b>b-a>a(a>0)的应用

lnb-lna例1（2014年陕西）设函数（1）（2）（略） （3）设nN，比较g解析（3）因为gx所以g1g2f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，其中f(x)是f(x)的导函数．

gn与nfn的大小，并加以证明．

1g2x， 1x1223n11nn1231， n1gn而nfnnlnn1，因此，比较g1g2gn与nfn的大小，即只需比较

111与lnn1的大小即可． 23n11b-a根据b>a>0时，b>，即(b-a)令a=n,b=n+1,则

1231,ln(n1)lnn， n1学习好资料 欢迎下载

将以上各不等式左右两边相加得：故g11231lnn1， n11g2gnnfn.

评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．

当b>a>0时，

b-a1>a，即lnb-lna<(b-a),令a=n,b=n+1,

lnb-lnaa则ln(n+1)-lnn<1111,可得：ln(n+1)<1+++L+. n23n例2 （2012年天津）已知函数

fxxlnxaa0的最小值为0．

n2ln2n12nN*. （1）（2）（略）（3）证明：i12i1解析 （3）易求a1，待证不等式等价于

2223572ln2n1．

2n1根据b>a>0时，b>1b-a，即(b-a)22=2(n+1)-12n+12222(n+1)-1将以上各不等式左右两边分别相加得：

222357n22ln2n1，

2n12n122ln2n122.得证. 2n1i12i12.2

a2+b2b-a>(b>a>0)的应用 2lnb-lna学习好资料 欢迎下载

例3 设数列

an的通项an1nn11，其前n项的和为Sn，证明：Snlnn1．

a2+b2b-a>解析 根据b>a>0时，，即lnb-lna>2lnb-lna令b=2(b-a)a+b

22，

n+1,a=n,则ln(n+1)-lnn>22n+(n+1)22=22n+2n+12>2n+2n+22>an，易证Snlnn1．

2.3

a+bb-a>(b>a>0)的应用 2lnb-lna例4 设数列

11a1a的通项nn231，证明：anln2n1． n2(b-a)a+bb-alnb-lna>>解析 根据b>a>0时，，即，

a+b2lnb-lna令b=2n+1,a=2n-1,则ln(2n+1)-ln(2n-1)>1，易证anln2n1． nb-a2>(b>a>0)的应用 2.4

11lnb-lna+ab例5 （2010年湖北）已知函数f(x)=ax+b+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为xy=x-1．

（1）用a表示出b,c；（2）（略） （3）证明：1+111n++L+>ln(n+1)+(n?1). 23n2(n+1)解析 （1）b=a-1,c=1-2a；

（3）当b>a>0时，

b-a21骣1ç>lnb-lna<+，即çç11lnb-lna2桫a+ab1÷(b-a)， ÷÷b令a=n,b=n+1,则ln(n+1)-lnn<1骣11÷ç+, ÷ç÷ç2桫nn+1学习好资料 欢迎下载

1骣11÷1骣11÷çç,ln3-ln2<+÷,L， 所以ln2-ln1<ç+÷ç桫桫2ç12÷2ç23÷ln(n+1)-lnn<1骣11÷ç+, ÷ç÷ç2桫nn+1将以上各不等式左右两边分别相加得：

ln(n+1)<1骣1111÷1+ç+++L++, ÷ç÷ç2桫234n2(n+1)111111-, 即ln(n+1)<1++++L++234n2(n+1)2故1+111n++L+>ln(n+1)+.23n2(n+1)

例6 （2013年新课标Ⅰ）已知函数（1）若x0时,

x1xfxln1x．

1xfx0,求的最小值；

11ln2． ，证明：a2nann4n2（2）设数列

11a1a的通项nn23f00,fx解析 （1）易得

12xx2(1x)．

令

fx0,则x0,x12,

若0，则当x0时，fx0,fx是增函数，fxf00,不符合题意；若

0若1120x，则当

2时，fx0,fx是增函数，fxf00,不符合题意；



1

，则当x0时，fx0,fx是减函数，fxf00,符合题意； 2

1综上，的最小值是．

2（2)当b>a>0时，

b-a21骣11÷>+÷，即lnb-lna<ç(b-a)， ç÷ç桫lnb-lna1+12abab令a=n,b=n+1,则

学习好资料 欢迎下载

1骣11÷ln(n+1)-lnn<ç+÷, ç桫2çnn+1÷所以ln(n+1)-lnn<1骣11÷ç+, ÷ç÷ç2桫nn+1÷, ÷÷21骣11ln(n+2)-ln(n+1)<ç+ç桫2çn+1n+ln(n+3)-ln(n+2)<1骣11÷ç+,L ÷ç÷ç2桫n+2n+31骣11÷ln2n-ln(2n-1)<ç+, ÷ç÷ç桫22n-12n将以上各不等式左右两边分别相加得：

ln2n-lnn<1骣122221÷ç++++L++, ÷ç÷ç2桫nn+1n+2n+32n-12n1÷+, ÷÷14n1骣1111+ç+++L+即ln2<ç桫2nçn+1n+2n+32n-故

11n1n211ln2． 2n4nx2x1x0评注 本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值时，ln1x22x2加以赋值，并进行变形，令

x1k，有

2k11111ln1，亦即

k2kk12kk1111ln1klnk自然是运用对数平均值的不等式链的方达到放缩的目的.两者相比较，

2kk1法简捷.

2.5

b-a>lnb-lnaab(b>a>0)的应用

13x1． x1n11ln2n1对一切正整数n均

4n214例7 （2014福建预赛）已知f(x)aln(x1)（1）（略） （2）求证：成立．

解析 （2）根据b>a>0时，

234412142214321b-a>lnb-lnaab，即lnb-lna学习好资料 欢迎下载

令b=2n+1,a=2n-1,则ln(2n+1)-ln(2n-1)<24n-12,

1轾ln(2n+1)-ln(2n-1)<变形可得：臌411n2-4n11ln(2n1)对一切正整数n均成立．

4n2141评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a的最小值a2时，2ln(x1)3x10,

x11即3x12lnx1，结合待证不等式的特征， x12122令x312ln(1)， kN*，得22k12k12k112k18k82k1k11整理得：2，即2,借此作为放缩的途径达到2lnln2k1ln2k14k12k14k14证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？

对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.

234412142214321