(完整版)2-14第十四节定积分与微积分基本定理(理)练习题(2015年高考总复习)

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1

1．(2013·江西卷)若S1＝2x2dx，S2＝2dx，S3＝2exdx，则S1，

1

1

xS2，S3的大小关系为( )

A．S1D．S3解析 本题考查微积分基本定理．

3

S1＝22x|27

xdx＝1

31＝3.

S21

2＝

xdx＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2.

1

S3＝2exdx＝ex|21＝e2

－e＝e(e－1)．

1

令e＝2.7，∴S3>3>S1>S2.故选B. 答案 B

A．3 B．4 C．3.5 D．4.5

解析

1

1

答案 C

3．如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )

2x2－1dx

 A.

0

B.2(x2－1)dx

0

C.2|x2－1|dx

0

D.1(x2－1)dx＋2(x2－1)dx

0

00

解析 面积S＝1(1－x2)dx＋2(x2－1)dx

1

＝2|x2－1|dx，故选C.

0

答案 C

4．(2012·湖北卷)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )

2

2πA.5 3C.2 解析

4B.3 πD.2

答案 B

5．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情25况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行

1＋t驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )

A．1＋25ln5 C．4＋25ln5

25

解析 令v(t)＝0,7－3t＋＝0

1＋t

∴3t2－4t－32＝0，∴t＝4，则汽车行驶的距离为4v(t)dt＝4

0

257－3t＋

1＋tdt＝ 

0

11

B．8＋25ln3 D．4＋50ln2

3432

7t－t2＋25ln1＋t|0＝7×4－故选22×4＋25ln5－0＝4＋25ln5，

3

C.

答案 C

6．(2014·武汉调研)如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形1

区域，E是D内位于函数y＝x(x＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为( )

ln2A.2 1＋ln2C.2 解析

1－ln2B.2 2－ln2D.2

答案 C

4

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·湖南卷)若Tx2dx＝9，则常数T的值为________．

0

解析 ∵答案 3

0

Tx2dx＝

x3TT3

|0＝＝9，∴T＝3. 33

8．(2014·厦门市质检)计算：1(x2＋1－x2)dx＝______.

0

解析 1(x2＋1－x2)dx＝1x2dx＋1

0

0

0

3

x11π211－xdx＝30＋4π＝3＋4. 1π答案 3＋4

1

9．已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B2，5、



C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图

象与x轴围成的图形的面积为________．

解析 设直线为y＝kx＋b，代入A，B两点，得y＝10x.

5＝1k＋b，

代入B，C两点，则2

0＝k＋b，

∴k＝－10，b＝10.

110x， 0≤x≤2，

∴f(x)＝1

－10x＋10， 2＜x≤1.

1210x， 0≤x≤2，∴y＝xf(x)＝12

－10x＋10x， 2＜x≤1.

5

5答案 4

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．若f(x)是一次函数，且的值．

解 ∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)． 由

0

1(ax＋b)dx＝5，得

1f(x)dx＝5，1xf(x)dx＝0

0

17fx2dx6，求x

1

1211

ax＋bx|0＝a＋b＝5.① 22

1717

由1xf(x)dx＝6，得1(ax2＋bx)dx＝6. 0

0

1312117即3ax＋2bx|0＝6. 

1117∴3a＋2b＝6.②

解①②，得a＝4，b＝3.∴f(x)＝4x＋3. 4x＋3fx32于是xdx＝xdx＝2(4＋x)dx



21

1

1

＝(4x＋3lnx)|21＝8＋3ln2－4 ＝4＋3ln2.

11．(2013·日照调研)如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．

6

解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1， 所以抛物线与x轴所围图形的面积

23xx111121S＝(x－x)dx＝2－3|0＝2－3＝6. 

0

又可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x′1＝0，x′2

＝1－k，

S1－k

所以2＝∫0(x－x2－kx)dx

1－kx3|1－k

2

＝x－30 2

1

＝6(1－k)3.

113

又知S＝6，所以(1－k)＝2. 3314

于是k＝1－ 2＝1－2.

12．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2. (1)求常数a，b的值；

(2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积．

解 (1)由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2，且f′(1)＝0，

1＋a＋b＝－2，a＝0，即解得 3＋2a＋b＝0，b＝－3.

(2)由(1)可知，f(x)＝x3－3x.

7

作出曲线y＝x3－3x的草图如图，

所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．

所以所求图形的面积为

8