论文11

浅谈数学思想与方法在中学教学中的应用

系 名 称： 数学系 专 业 名 称： 数学与应用数学 年 级 ： 08数本 姓 名： 王琰 指 导 教 师： 张宏波

2012年5月18日

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河南教育学院本科毕业论文（设计）

浅谈数学思想与方法在中学教学中的应用

摘要：数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分。数学方法源自数学思想，数学方法就可以分为发现方法和化归方法两大类。教学不仅仅是使学生掌握数学基础知识、训练技能、发展能力，还应进行数学思想与方法的教学，培养学生良好的“素养”。 关键词：数学思想 ； 数学方法 ；教学应用

mathematical ideas and methods on the application in the middle

school teaching

Abstract：Mathematical thoughts and methods for math subject the general

principles of the important component. Mathematical methods come from mathematical thoughts. Though is produced by thinking, mathematical methods can be divided into found method and transforming method two big kinds .Teaching is not only to make the students master the basic knowledge of mathematics, training skills, developing skills, also should carry on the mathematical ideas and methods of teaching to cultivate good quality.

Key words: mathematical ideas; mathematical methods; teaching

application

1．引言

著名数学家陈省身先生曾不止一次地提出：“数学是美的。”数学的美体现在方方面

面，也许美在她在几乎所有学科中的广泛应用，也许美在她在几乎各个领域中的广泛应用，也许美在她是探索时间现象规律的出发点，也许美在她千变万化的思想与方法中。数学思想与方法是数学学习与教学中必不可少至关重要的一部分，也是探索许多时间现象规律的出发点，在整个科学领域也至关重要。

《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》明确指出：“初中数学的基础知识是初中代数、集合中的概念、法则、性质、公式、定理、公理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。这是我国首次将数学思想与方法纳入“数学基础知识”的范畴，

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它标志着我国数学教育思想的重大变革。现在就以我个人粗浅的看法来谈谈数学中丰富多彩的数学思想与方法。 2．对数学思想与方法的理解

2.1对数学思想的理解

数学的课程内容是由表层内容和深层内容组成的有机整体。所谓表层内容包括概念、定理、法则、公式、公理及其推论等数学基础知识。深层内容主要指的是数学思想与方法。所谓数学思想是现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动所产生的结果它是对数学事实与理论的本质认识，是指导学习数学，解决数学问题的思维方式、观点、策略、指导原则。在中学数学中学中应重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归（转化）思想和对应思想。此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学教学中也有不同程度的体现，应依据具体情况在教学中予以渗透。[1] 2.2对数学方法的理解

数学方法是实施数学思想的方式及手段，根据对思维品质的分类方法，数学方法可以分为发现方法和化归方法两大类。发现方法通常包括观察、联想、尝试、模拟、实验、归纳、猜想、类比等；化归方法通常分为化归方法、二维化归方法、单维化归方法、广义化归方法。中学数学涉及的数学方法有许多，如一般性的逻辑(论证)方法：推理（演绎、归纳、类比。由一个或几个判断推出另一个未知判断的思维方式叫做推理。）、分析、综合、公理化等；全局性的数学方法：以字母代表数的方法、坐标法等；技巧性的数学方法：还原法、待定系数法、配方法、消元法等。［２］ 2.3数学思想与方法的联系

数学课程呈现在我们面前的是概念和方法，但其中却渗透着对应思想、数形结合思想、转化思想、运动变化思想等。数学思想与数学方法既有差异性又有同一性。其差异性表现在数学思想是数学方法的灵魂，它指导数学方法的运用，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段；同一性表现在数学思想与数学方法同属方的范畴，它们有时是等同的，人们往往把某一数学成果笼统的称为数学思想方法，因此数学思想与数学方法紧密相联，水融。在中学数学教学中把数学思想与数学方法统称为数学思想方法。 3.1数学思想的形成与发展过程

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中学数学教育的目标是使学生体会数学与自然及人类社了解数学的价值，初步学会用数学的思维方式观察、分析、解决日常生活中其他学科学习中的问题获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识、数学思想方法和应用技能发展勇于探索、勇于创新的科学精神。数学思想的形成要经历从模糊到清晰，从理解到发展过程对这程，目前从宏观上可以划分为四个层次：渗透孕育期，领悟形成，应用发展期，巩固深化期。[1]数学思想从孕育到形成、发展，一般都需要经历一个复杂的“润物细无声”的过程。而这个过程中的教学目标往往不明确，课堂教学中的随意性、盲目性大，缺少计划性、系统性。既然数学思想方法被纳入数学基础知识的范畴，那么课堂教学中就应该有数学思想方法教学。 3．2数学思想与方法的目标

数学思想与方法教学的目标是教学的出发点也是教学的归宿。《大纲》既然规定数学思想与方法为数学“基础知识”，也就理应像数学基本知识一样来划分其教学目标。即用学生能接受的数学语言描述它们并分设学生应达到的不同水平及课时课堂教学要求。这样在实际教学中即可依据数学思想与方法教学目标进行，从而使数学思想与方法的教学变得易于操作便于检测。

4. 数学思想方法在教学中的具体应用

4.1处理中小学数学思想的基本思路

世界各国和各地区都已经认识到，在当今和未来社会的许多行业，直接用到学校数学知识的机会并不太多，而且也不是固定不变的，更多的是受到数学思想的熏陶与启迪，以此去解决所面临的实际问题。目前，在处理中小学数学思想方法有两种基本的思路：第一，主要是通过纯数学知识的学习，逐步使学生掌握数学思想和方法，特别是一些具体的，技巧性较强的方法，如换元法、因式分解法、公式法等；第二，通过解决实际问题使学生在掌握所要求的数学内容的同时，形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法，如试验、猜想、模型化、合情推理、系统分析等。这两类思想方法的取向有所不同，前者倾向技术方面，更多的是帮助学生学习解决问题的技巧，后者更多的是一般的思考方法，具有更广泛的应用性。

4.2中小学数学思想与方法的基本结构

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初中数学中所涉及到的数学基本知识，数学思想与方法汇成了数学结构中的两条“主线”。一条是“明线”指数学基本知识具体知识点它是数学的外显形式易于发现，一条是“暗线”指具有潜在价值的数学思想与方法，它是数学的内在形式，是获取数学知识、发展数学素养的有力工具。［３］有了数学思想与方法，基础知识不再零散、孤立。方法也就不再教条、死板。有了数学思想与方法教学课堂教学便生动多彩，便有了深刻的内涵。这种最佳结合点正是数学教学改革所苦苦探寻的有效途径与方法。 4.3数学思想方法的教学模式

我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：操作、掌握、领悟。“操作”是数学思想、方法教学的基础；“掌握”是指在表层知识教学过程中, 学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识, 是学生能够接受相关深层知识的前提；“领悟”是指在教师引导下, 学生对掌握的有关表层知识的认识深化, 即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟。［１］ 数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程, 往往是几种数学思想、方法交织在一起, 在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法,效果可能更好些。实施数学方法教学途径数学思想方法的教学不能游离于提出问题和解决问题的过程之外,不能离开教学活动。因而,有必要研究数学思想方法课堂教学的模式,依据课型的不同，给出“四环节教学结构”理论模式，具体为: 创设问题情景，激发思维动机，蕴含数学思想；揭示概念背景，了解合理性和必要性，渗透数学思想； 暴露形成过程，揭示数学思想；拓展概念教学, 深化理解定义, 激活数学思想。［１］没有模式，就没有特色, 当然, 不能把本应生动活泼的课堂教学变成僵化的模式操作。

我们知道，数学基础知识是大纲规定必须掌握的知识，也是必须掌握熟练的知识，一切事物都离不开基础，数学也不例外，因此数学基础知识是数学学习的基础。深层知识蕴含与表层知识之中，它是数学中的精髓，任何数学事实的理解，数学概念的掌握，数学理论的建立都是数学思想方法的体现和应用。学生对数学思想方法的真正理解及其灵活运用只有通过建构学习的方式才能获得和掌握。因此，在教学过程中应该把数学思想方法的培养与数学知识的传授融为一体。采用构建教学的方式，让学生经历知识的建构过程，从中体会数学思想的妙处，最终上升到自觉运用数学思想方法解决数学问题的境界。（建构主义是行为主义发展到认知主义以后的进一步发展，它是在吸取众多学习理论，尤其是在皮亚杰、维果茨基思想的基础上发展和形成的。建构主义对“什么是学习活动的本质”从整体上及一定的认识论角度作出了科学的分析）。 4.3.1化归思想在教学中的应用

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所谓“化归”，从字面上看，可以理解为转化和归结的意思。数学方所涉及的“化归”方法，是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题解答的一种手段和方法．［４］通俗的说就是当我们遇到一个较难解决的问题时，不能直接去解原题目，而是进行转化，转化为一个已经解决的或比较容易的问题。只要是转化解决对象的都是。

一些熟知的结果，促使要解决的问题转化为某个已经解决了的问题，基本思维过程如下：

问题 化归 问题* 还原 解答 解答* 例2：已知函数f(x)=x2+(a+1)x+b满足（i）f(3)=3。(ii)对任意实数x都有f(x)错误！未找到引用源。,求f(x)。

解答的过程用基本模式如下：

f(x)=? 令g(x)=f(x)-x g(x)=? g(3)=0,g(x) f(x)=x2-5x+9 f(x)=g(x)+x g(x)=(x-3)2

例3：在公路的同侧有两个村庄，现要在公路上建一车站，使车站距两村的距 离相等，如何确定车站的位置？

分析：运用化归的数学思想先建立数学模型：把公路命名为 L，把两村分别命名为 A、B，待建的车站为 C，并画岀草图。不难得出把此问题转化为求线段AB垂直平分线与L的交点，此交点就是所求的点C。从而把实际问题转化为数学中的一般问题。通过这样的思考与教学使抽象的问题具体简明化，将较难的问转较容易的问题，起到事半功倍的效果。因此应重视培养学生运用数学思想方法的能力。 4.3.2类比思想在教学中的应用

类比是根据两个（或两类）对象具有某些相同或相似的属性而作出的另一属性也相同或相似的一种思维方式。类比的推理模式为［４］

A具有性质F1,F2,„,Fn, P

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B具有性质F1,F2,„,Fn

B具有性质P 就“相似形”这一章的教学而言，其内容比较多，知识点也不够系统。全章分为两大节，第一节是“比例线段”，第二大节是“相似三角形”，两大节的内容既相互又相互联系。为此，需要我们认真思考两个问题：一是，如何将这些知识点理顺，织成网，联成线，形成知识网络；二是，怎样找出重点、难点及关键并加以突破。这就要求教师充分调动学生的积极性，发挥师生的聪明才智，以“比和比例，相似变换”等知识点为线索和基础 ，从而构建知识网络。相似变换指的是把一个图形变成它的相似形的变换，这就是说，教学中可以紧扣相似形的定义，即相似形指的是对应角相等、对应边成比例的形状相同的图形。由此，挖掘出其内涵：（1）对应边成比例；（2）对应角相等；洞察出其外延：边数相同（即形状相同 ），其实质就是一个图形的放大或缩小。上述分析表明，“相似形”教学中，应将“相似 ”这一基本的数学思想渗透到该章的各知识点的教学中去。具体地讲，教学中应以最基本、最简单的图形——相似三角形为基础，把相似比（线段成比例）贯穿于整个章节的始终，在进行相关的几个重要定理（平行线分线段成比例定理及其推论；三角形一边平行线的判定定理及推论；三角形相似的判定定理及性质定理等）以及在相似多边形的有关性质的教学过程中用“相似”这一思想方法将各定理和性质联系起来。通过这样的教学，离散的知识就变得更有序了。稍作分析，我们就会发现许多知识点都体现了类比思想。如：比例线段——小学学过的比例；相似三角形——全等三角形；平行线分线段成比例——平行线等分线段；相似多边形——相似三角形。因此，我们可以充分运用类比思维进行教学。教师采用类比教学的方式对学生进行观察能力、比较能力的培养，让学生经历对相同或相似的知识点的属性、特征、内在联系进行摸索、比较的过程，从而构建出各知识的相同与相异之处。实际教学表明，通过这种教学方式，既激发了学生的学习积极性，又能使问题深入浅出；而且能够降低教学难度，让学生巩固已有的知识，从而收到意想不到的教学效果。［５］ 4.3.3集合思想在教学中的应用

在高一课本集合第一节中注解栏中说道：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托是集合论的创始人。目前集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域。

例1：能否找到一个点，使它到△ABC 的三个顶点 A、B、C 的距离相等？这样的点若存在，有几个？如何找？在什么位置？

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分析：引导学生运用集合的思想，采用交轨方法展开讨论，交流学生相互讨论的结果，教师完善。利用投影展示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中这个点的作法和位置。

数学思想方法来源于数学基础知识及常用的数学方法,在运用数学基础知识及方法处理数学实际问题时,具有指导性的作用。这方面的教学也应该引起我们全体数学教师足够的重视和探索。

5.数学思想与方法在高新领域的应用［６］

现代数学与计算机相结合而产生的威力无穷的“数学基数”，渗透到与人类生存息息相关的各个领域，成为一个国家综合国力的重要组成部分。国家的繁荣富强，关键在于高新科技的发达和经济管理的高效率，而高新科技的基础是应用科学，应用科学的基础则是数学，数学对国家的建设和发展极有巨大的作用。对此我国著名数学家王梓坤院士指出：“由于计算的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种普适性的技术，从航天到家庭、从宇宙到原子、从大型工程工商管理，无一不受惠与数学技术。因而今日的数学兼有科学与技术两种品质，这是其他学科所少有的。”因此应着重培养学生的数学应用意识和应用能力，帮助学生对数学的内容，思想和方法有一个直观生动而深刻的理解，它有助于正确理解认识数学乃至科学的发展道路，了解数学用于分析问题和解决问题的思维方式，可以是学生真正懂得数学究竟是什么。数学是很有用的，但有用之处并不仅仅在于它的那一条公式有用，那一条定理有用，而是整个数学会提供给学生门很重要的一种思想方法，即数学思想方法。数学科学的发展，特别是与计算机的结合，使得数据处理、算法、优化、离散数学等内容越来越受到广泛的重视；注重对数学和符号的理解、应用和表达，消弱繁琐的计算；发挥图形直观的功能。［１］ 小结

数学思想方法是对数学的知识和所使用方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼出来的一些观点，在后继研究和实践中被反复证实其正确性之后，就带有了一般意义和相对稳定的特征。数学思想方法是对数学规律的理性认识。通过数学学习，形成一定的数学思想方法，应该是数学课程的一个重要目的。《标准》在“学习内容”中提到了若干重要的数学观念，意识和能力，但没有提及关于数学思想方法方面的要求，随着关于数学思想方法研究的不断深入，应进一步在《标准》中加强渗透，应重视数学思想方法的培养，特别是在数学教学中的应用。

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参考文献

[１]惠银东．浅析数学教学中数学思想的渗透[J] 科技教育 2008年第3期（总第209期） [２]李洪新 ．中学数学思想与方法教学研究[J] 宿州师专学报 2003年6月第18卷第2期 [３]王道全，李道路 ．关于数学思想与方法教学的认识及目标宏观设置的初步探索[J] 科学教育 2003年第1期（第九卷）

[４]张雄，李得虎 编著 数学方与解题研究［Ｍ］高等教育出版社

[５]李新娇，周诗文. 浅谈“相似形”教学中数学思想方法的运用[J] 科学教研 科技信息 2009年第25期

[６] 数学课程标准研制组 编写，刘兼，孙晓天．主编；数学课程标准（实验稿）解读［Ｍ］ 致谢

在完成终稿的今天，在敲完最后一个句号的时刻，我的思想同周围凝固的热气一样停驻了，不知道是慰藉还是悲伤，大学四年的生活就这样结束了，而眼前的路还很长，虽然似乎有些迷茫，但我必须整理心情，背上行囊，坚定的踏上新的征程„„四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。 伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师，张博士。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”。 当自己怀着忐忑不安的心情完成这篇毕业论文的时候，自己也从当年一个从山里走出的懵懂孩子变成了一个成熟青年，回想自己的十几年的求学生涯，虽然只是一个本科毕业，但也实属不容易。首先，从小学到大学的学费和生活费就不是一个小数目，这当然要感谢我的爸爸妈妈，他们都是农民，没有他们的勤勤恳恳和细心安排，我是无论如何也完成不了我的大学生活。因此我要感谢那些在我求学时对我经济和精神上帮助的亲戚、朋友、老师和同学们，我的生活因你们而精彩和充实。同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。

最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。

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