定积分换元法与分部积分法习题

3sin(x3)dx;

【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

3sin(x3)dx3sin(x3)d(x3)cos(x3)3

[cos()cos()][cos(cos)]0。

33333【解法二】应用定积分换元法

令x3u，则dxdu，当x从

24单调变化到时，单调变化到，u从

3334323于是有

3sin(x3)dx4323sinuducosu[cos42cos] 33[cos⑵

(cos)]0。

33dx2(115x)3；

1【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

dx11113(115x)2(115x)d(115x)2(115x)35252112

1115111[](1)。 22210(1151)(1152)5121016【解法二】应用定积分换元法

令115xu，则dx16，于是有

1du，当x从2单调变化到1时，u从1单调变化到5dx1163112uduu2(115x)3515211615111(21)。

5121016⑶

20sincos3d；

【解法一】应用牛顿—莱布尼兹公式

1422cossincosdcosdcos00433201[cos4cos40]

421 / 20

11[01]。

44【解法二】应用定积分换元法

令cosu,则sinddu，当从0单调变化到

0，于是有

时,u从1单调变化到2⑷

20011sincos3du3duu3duu4014101. 40(1sin3)d；

3【解】被积式为(1sin)d，不属于三角函数的基本可积形式,须进行变换。由于1是的，易于分离出去积分,于是问题成为对sind的积分，这是正、余弦的奇数次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分:sinddcos,

22余下的sin1cos，这样得到的(1cos)dcos便为变量代换做好了准备.具体

23的变换方式有如下两种：

【解法一】应用牛顿—莱布尼兹公式

0(1sin3)d1dsin2sind000(1cos2)dcos

01(coscos3)0

31(coscos0)(cos3cos30)

341(11)(11)。

33【解法二】应用定积分换元法

令cosu，则sinddu,当从0单调变化到时，u从1单调变化

到1，于是有

0(1sin3)d1dsin2sind000(1cos2)dcos

0111(1u2)du(uu3)1

1341(11)(11)。

33

2 / 20

⑸

2cos2udu；

6【解】这是正、余弦的偶次幂,其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式:cos2u1cosu1cos2u2，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：cosu，222使之可以换元成为基本可积形式： 【解法一】应用牛顿—莱布尼兹公式

1cos2u1162cosudu622du2(62du262cos2ud2u) 21(u2261112sin2u)[()(sinsin)] 222623613(). 234【解法二】应用定积分换元法

令2ux，则du于是有

1cos2u1162cosudu622du2(62du262cos2ud2u) 21dx，当u从单调变化到时,x从单调变化到，

62321(u226111cosxdx)[()sinx] 23226231311)。 [(sinsin)](2342323⑹

202x2dx；

【解】被积函数中含根号,且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：

为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x变化到

2sinu，当x从0单调

2时，u从0单调变化到

，且2x222sin2u2cosu，2dx2cosudu，使得

3 / 20

22002xdx22cosu2cosudu20201cos2udu 20202du2cos2uduu12cos2ud2u 20u112201sin2u2201(sin0)。

222⑺

1x2dx； 2x【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2,应该应用第二类换元法中的三角变换法：

为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令xsinu，当x从1单调21x21sin2ucosu变化到1时,u从单调变化到，且,dxcosudu,使得 x2sin2usin2u421121x2cosu22222dxcosuducotudu(cscu1)du 22x4sinu44(cotuu)⑻

24[(cotcot)()]1。

42424a0x2a2x2dx(a0）；

【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法:

为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令xasinu，当x从0单调变

化

到

a时，

u从0单调变化到

2，且

x2a2x2a2sin2ua2sin2usin2uacosu,dxacosudu，使得

a0x2a42axdxasinuacosuacosudu04222220sin22udu

a41a21cos4u(usin4u)du84402420

4 / 20

a411[(sin20)]a4。 82416⑼

3dxx211x2；

【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2,应该应用第二类换元法中的三角变换法：

为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令xtanu，当x从1单调变

化到3时,u从

单调变化到，且 43sec2ududxx2cosu1sec2udududsinu 222222sinusinutanusecu1xtanu1tanu使得

3dxx21x21341dsinu 2sinu这时，再令sinut，当u从

23单调变化到时，t从单调变化到, 4322322231112dt又得3dsinu22t2t4sinu2(222)2。 323⑽

102xx2dx；

【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法.

由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式,需要先将其转

化为标准形：

2xx21(12xx2)1(x1)2，

现在,根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令

x1sinu，当x从0单调变化到1时,x1从1单调变化到0，从而u对应从变化到0，

而且2xx21sin2ucos2ucosu，dxcosudu，于是

单调2102xx2dxcosucosudu201cos2u11du(usin2u)2222002

5 / 20

11{[0()][sin0sin()]}。

4222⑾

41dx；

1x【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：

2【解法一】令xu,当x从1单调变化到4时，u从1单调变化到2,且由此得xu，

dx2udu，11,于是 1u1x222ududx122(1)du2(uln1u)1

111u1u1x41322(1ln)2(1ln)。 2[(21)(ln3ln2)]23【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令12xu，当x从1单调

变化到4时,u从2单调变化到3，且由此得x(u1)，dx2(u1)du,是

11,于

1xu4132(u1)3dx1du2(1)du2(ulnu)32 22uu1x32[(32)(ln3ln2)]2(1ln)。

2⑿

134dx; 1x1【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：

【解法一】令1xu，当x从

31单调变化到1时,u从单调变化到0，且由此得42x1u2，dx2udu，13411，于是

1x1u1120102u1dx)du2(ulnu1)1du22(10u11x12u1

6 / 20

112(lnln1)12ln2。

22【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令1x1u,当x从调变化到1时，u从3单412单调变化到1,且由此得x1(u1),dx2(u1)du，211，于是

1x1u134112(u1)1dx1du22(1)du2(ulnu)1uu1x12121

112[()(1)lnln1)]12ln2。

22⒀

11xdx；

54x【解】被积函数中含根号,可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法:

令

54xu，当x从1单调变化到1时,u从3单调变化到1,且由此得

1111，于是 x(u25)，dxudu,4254xu11111xdx11111(u25)udu(u25)du(u35u)13 33u8834254x111[(133)5(13)]。

683⒁

21edx; x21x1x111e11【解】由于2dxex2dx，为含复合函数ex的积分，且微分部份2dx仅与复合函数exxxx11之中间变量的微分2dx相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：

xx【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

21112e1dxexdex21xx1x21(ee1)ee。

12【解法二】应用定积分的换元法

7 / 20

令

于是

111u，当x从1单调变化到2时，u从1单调变化到，且由此得2dxdu，

2xx1x⒂

21112e1ux2udxedxeedu1x21x2121(ee1)ee。

12te01t22dt;

t22t22【解】为含复合函数e的积分，且微分部份tdt与复合函数et2之中间变量的微分

2tdt仅相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：

【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

ttedted()e0021t221t222t2210(e12e0)11。 e【解法二】应用定积分的换元法

t21令u，当x从0单调变化到1时，u从0单调变化到,且由此得tdtdu,

22于是

10tet22dtedu1edue

0212u0uu012

ee01211。 e⒃

e21dx；

x1lnx1dx与复合函数之中间变量1lnx的微分x1lnx【解】为含复合函数的积分,且微分部份

1dx相等,可以应用第一换元积分法： x【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式

e21e2dx1d(1lnx)21lnx1x1lnx1lnxe21

2(1lne21ln1)2(1210)2(31)。

【解法二】应用定积分的换元法

令1lnxu，当x从1单调变化到e时，u从1单调变化到3，且由此得

28 / 20

1dxdu，于是 x⒄

0e2131dxdu2u1ux1lnx312(31)。

(x2)dx2x22x2;

【解】为含复合函数的积分,被积函数为真有理分式，分母为二次无零点的多项式，且分子比分母低一次，可以分解为两个可积基本分式的积分：

(x2)dx10(2x2)22x22x222x22x2dx 102x21022dx2dx 22x2x222x2x20010112d(x2x2)d(x1) 22222x2x2(x1)110ln(x22x2)02arctan(x1)2 21(ln2ln2)arctan1arctan(1) 2⒅

()。 4422dxx1(x1)30；

【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法:

令2x1u，当x从0单调变化到2时，且由此得xu1，u从1单调变化到3，

dx2udu，21x1(x1)3dx31，于是 uu33112udu2du2arctanu321uu1u310x1(x1)31

2(arctan3arctan1)2()。

634⒆

2cosxcos3xdx；

22【解】由于cosxcos3xcosx(1cosx)cosxsin2xcosxsinx，

9 / 20

所以

22cosxcosxdx0302cosxcosxdx2cosxcos3xdx

032cosx(sinx)dx2cosxsinxdx

0于是有

02cosxdcosx2cosxdcosx

0【解法一】应用牛顿—莱布尼兹公式

22cosxcosxdx(cosx)dcosx(cosx)dcosx

22030121232(cosx)230232(cosx)2320

422(10)(01).

333【解法二】应用定积分的换元法

令cosxu，当x从调变化到

单调变化到0时，u从0单调变化到1，当x从0单2时，u从1单调变化到0,且由此得sinxdxdu，于是 222cosxcosxdx1302cosx(sinx)dx2cosxsinxdx

00udu10101uduuduudu

001011211223u23⒇

230du3u2224。 33301cos2xdx。

【解】由于1cos2x所以

2cos2x2cosx,

001cos2xdx2cosxdx2[2cosxdxcosxdx]

0202[2cosxdx(cosx)dx]2[sinx220sinx]

210 / 20

2[(sin0)(sinsin)]2[1(1)]22。 222．利用函数的奇偶性计算下列定积分： ⑴

x4sinxdx；

4【解】由于函数yxsinx是奇函数，即知

x4sinxdx0。

⑵

224cos4d；

4【解】由于函数f()4cos是偶函数，且有

1cos221cos44cos44( )12cos2cos2212cos222312cos2cos4 22即得

31222(2cos2cos4)d 24cosd4cosd02022244312(sin2sin4)2820

312[(0)(sin0)(sin20)]

2283。 2⑶

1212(arcsinx)21x2dx； (arcsinx)21x2【解】由于函数y1212是偶函数,所以

120(arcsinx)21x2dx2120(arcsinx)21x2120dx2(arcsinx)2darcsinx

2(arcsinx)33⑷

213233[(arcsin)0]()。

32432361212xarcsinx1x2dx.

xarcsinx1x2【解】由于函数y是偶函数，所以

11 / 20

1212xarcsinx1x2dx2120xarcsinx1x2120dx2arcsinxd1x2 1201202[1xarcsinx21x2darcsinx]

1111332212[1arcsin0dx]2[。 x0]0426261dtdtx3．证明：。 11t2（x0）x1t21【证明】作倒数变换t11，当t从x单调变化到1时，u从单调变化到1，

xu11u21且有，dtdu 21t21(1)2u21uu1211u11dt1xdu于是有 du1x1u211u2du 1x1u2u2x1t21证毕.

4．证明：

1x11dt， 1t20sinxdx22sinnxdx。

0n【证明】由于

n0sinxdx2sinnxdxsinnxdx，

02其中,对于

2sinnxdx,作如下的处理：

作变换xu,当x从

nn单调变化到时，u从单调变化到0， 22n且有sinxsin(u)sinu，dxdu,

于是，

2sinxdxsinudu2sinudu2sinnxdx,

n0nn020从而得

n0sinxdxsinxdxsinxdx22sinnxdx。证毕。

202nn012 / 20

5．设f(t)为连续函数，证明：

⑴当f(t)是偶函数时,(x)f(t)dt为奇函数；

0x【证明】当f(t)是偶函数时，有f(t)f(t)，

使得 (x)x0xf(t)dt tu x0f(u)d(u)f(u)du(x)，

0x可知此时(x)0f(t)dt为奇函数，证毕。

⑵当f(t)是奇函数时，(x)x0f(t)dt为偶函数。

【证明】当f(t)是奇函数时，有f(t)f(t)，

使得 (x)x0xf(t)dt tu x0f(u)d(u)f(u)du(x)，

0x可知此时(x)0f(t)dt为偶函数，证毕.

6．设f(x)是以T为周期的连续函数，证明：对任意的常数a，有

aTaTaf(x)dxf(x)dx。

0T【证明】题设f(x)是以T为周期的连续函数，可知成立f(xT)f(x),

由于

af(x)dxf(x)dxf(x)dxa0aT000TaTTaTf(x)dx f(x)dx

f(x)dxf(x)dx其中，对于

TaTTf(x)dx,作如下的处理:

令xuT,当x从T单调变化到aT时，u从0单调变化到a， 使得

aTTf(x)dx xuT aa0f(uT)d(uT)

a0f(u)duf(x)dx，

0于是有 证毕。

aTaf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx，

0000aTaT7．计算下列定积分： ⑴

10xexdx;

x【解】被积函数属分部积分第一类,应选e为先积分部份,

13 / 20

【解法一】套用分部积分公式,

10xedxxd(e)xe0x1xx10(e)dxe0exdx

001x11e1ex【解法二】应用列表法

10e1(e1e0)12e1。

符号 求导 积分 x ex 1 \\ e1x

 0 \\ ex可得

⑵

0xexdx(xexex)10(1e1e1)(0e0e0)12e1。

e1xlnxdx;

【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选x为先积分部份,

e1xlnxdxlnxde11212exxlnx1x2dlnx

11222e1e1121221(elne0）xdxexdx

121222x11e12121e2x21e(e1)(e21)。 24244e（含不可直接积分部份的分部积分不应使用列表法）

⑶

10xarctanxdx；

【解】被积函数属分部积分第二类,套用分部积分公式，选x为先积分部份，

10xarctanxdxarctanxd1112122xxarctanx1xdarctanx 0002221111111(1)dx arctan1x2dx2200821x221x111(1). (xarctanx)1042824821⑷

20xsin2xdx；

【解】被积函数属分部积分第一类，应选sin2x为先积分部份， 【解法一】套用分部积分公式，

1122xd(cos2x)xsin2xdxxcos2x00222012(cos2x)dx 0214 / 20

111(cos0)2cos2xdx(1)sin2x22204420

1(sin0)。

444符号 求导 积分【解法二】应用列表法

 x sin2x1 1 \\ cos2x

21 0 \\ sin2x411可得 2xsin2xdx(xcos2xsin2x)0242011(cos0)(sinsin0)

22411()(00)。

4224⑸

41lnxdx; x1为先积分部份, x【解】被积函数属分部积分第二类,套用分部积分公式，应选4144lnx4lnxd2x2xlnx2xdlnx dx111x4141442dx 2xlnx12xdx2xlnx111xx42xlnx14x414 2x(lnx2)12[4(ln42)1(ln12)]4[ln41]4(2ln21).

⑹

34xdx; 2sinx1为先积分部份， 2sinx【解】被积函数属分部积分第一类,应选【解法一】套用分部积分公式，

x43sin2xdx43xd(cotx)xcotx343(cotx)dx

415 / 20

xcotx34cosx3dxxcotx4sinx34341dsinx sinx34xcotx34lnsinx34(xcotxlnsinx)

(3cot3lnsin3)(4cot4lnsin4)

(3132ln)(ln)

24233111113)ln。 ()ln2(4332243322【解法二】应用列表法

符号 求导 积分1sin2x 1 \\ cotx x  0 \\ lnsinx

可得

34xdx(xcotxlnsinx)sin2x(34

3cot3lnsin3)(4cot4lnsin4)

(3132ln)(ln)

24233111113)ln。 ()ln2(4332243322⑺

20e2xcosxdx；

2x【解】被积函数属分部积分第一类，e与cosx均可选为先积分部份， 【解法一】套用分部积分公式,选e为先积分部份，

16 / 20

2x12x12x22cosxdeecosxecosxdx00222x2012e2xdcosx 02101(ecosecos0)2e2xsinxdx

022211111(01)2sinxde2xe2xsinx0222242012e2xdsinx 041101(esinesin0)2e2xcosxdx

242401e12e2xcosxdx, 即得 2ecosxdx024402x移项,整理得

201e2xcosxdx(e2)。

5【解法二】套用分部积分公式,选cosx为先积分部份,

2x2020ecosxdx2edsinxe2xsinx02x2sinxde2x

0(esin2202x00)2esinxdxe22e2xd(cosx)

20e[2e(cosx)2x2(cosx)d2e2x]

0e2ecosx2x2024e2xcosxdx

0e2(ecos2ecos0)42e2xcosxdx

00即得

20ecosxdxe242e2xcosxdx，

02x移项,整理得

201e2xcosxdx(e2)。

5⑻

21xlog2xdx;

【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式,选x为先积分部份，

17 / 20

212112122xlog2xdxlog2xdxxlog2x1x2dlog2x

11222212111xdx (4log220)x2dx2112ln222xln2112213。 2x12(41)22ln224ln24ln22⑼

20xcos2xdx；

【解】将三角函数降次后求解，

20xcos2xdxx02121cos2xdx(xxcos2x)dx

2022112(x20xcos2xdx)

022122xcos2xdx

20其中,积分

20xcos2xdx中的被积函数属分部积分第一类，套用分部积分公式，选

cos2x为先积分部份，得

211120xcos2xdx0xd2sin2x2xsin2x002sin2xdx

112sin40cos2x000(cos4cos0)

441(11)0， 421212222从而得 xcosxdxxcos2xdx0。

022022⑽

e1sin(lnx)dx；

【解】被积函数属分部积分第二类，且已经具有udv的结构,直接套用分部积分公式得

e1esin(lnx)dxxsin(lnx)1xdsin(lnx)

1e1esin(lne)0xcos(lnx)dx

1xeesin1cos(lnx)dx

1eeesin1[xcos(lnx)1xdcos(lnx)]

1e1esin1[ecos(lne)cos(ln1)]x[sin(lnx)]dx

1xeesin1ecos11sin(lnx)dx

1e18 / 20

即得

e1sin(lnx)dxe(sin1cos1)1sin(lnx)dx，

1e移项、整理得

⑾

1sin(lnx)dx[e(sin1cos1)1]。 12ee1elnxdx；

e1e1e【解】

1elnxdx1lnxdxlnxdx1(lnx)dxlnxdx

e1e11lnxdxlnxdx[xlnxe11e11ee1xdlnx]xlnx1xdlnx e11e1ee111111(0ln)1xdxelne0xdx1dxedx

11eexxeee1xe⑿

11eexe11121e(e1)2。

eeeln20x3exdx。

2【解】这是含复合函数的积分,可用第一换元积分法，

2令xu，当x从0单调变化到ln2时，u从0单调变化到ln2，

1ln22x221ln2u1ln2uueduude xedx0000222ln21uln2112 (ue0eudu)(ln2eln20)euln00222111ln2(eln2e0)ln2(21)ln2。

2221x2sint8．设f(x)dt,求xf(x)dx.

01tsint【解】因此，无法通过确定f(x)tdt是著名的无法用初等函数表示结果的一道积分题，

得

ln2x3exdx2的表达式来求解积分

10xf(x)dx,

但明显可见,易于求出f'(x)：

sinx2dx2sintsinx22222xf'(x)dt(x)'sinx， 221xdxtxx于是，可以通过分部积分法,由

10xf(x)dx转化出f'(x)从而解决问题：

19 / 20

111212120xf(x)dx0f(x)d2x2xf(x)002xdf(x)

111111[12f(1)0]x2f'(x)dxf(1)x2f'(x)dx

020222111121f(1)x2sinx2dxf(1)xsinx2dx

00222x11111f(1)sinx2dx2f(1)cosx210 22022111f(1)(cos11)[f(1)cos11] 222x2sint1sint由题设f(x)dt,可得f(1)dt0，

11tt11最终得到 xf(x)dx(cos11)。

02119．设f(x)x【解】由于

0f(x)cosxdx，求f(x)。

0f(x)cosxdx为常数,可知f'(x)1,

由此得

0f(x)cosxdxf(x)dsinxf(x)sinx00sinxdf(x)

0f()sinf(0)sin0sinxf'(x)dx

000sinxdxcosx00coscos02,

于是，f(x)x0f(x)cosxdxx(2)x2。

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