匀变速直线运动难题
一
在水平面上固定着三个完全相同的木块,一子弹以水平初速度为v射入木块,若子弹在木块中做匀减速运动,当穿过第三个木块时速度为0,则子弹在每个木块中的速度比和穿过每个木块所用的时间比
解:先求物体做以初速度为零的匀加速直线运动,通过三个连续相等的三段位移的每-段所用的速度比和时间比
设每段位移的长为L,加速度为a
过笫-段位移,
L=(1/2)at1^2,t1=(2L/a)^1/2
过前二段位移,
2L=(1/2)aT2^2,T2=(2*2L/a)^1/2=(根号2)t1,
过第二段t2=[(根号2)-1]t1
过全部三段,
3L=(1/2)aT3^2,T3=(3*2L/a)^1/2=(根号3)t1
过第三段t3=T3-T2=(根号3)-(根号3)
t1:t2:t3=1:[(根号2)-1]:[(根号3)-(根号2)]
设过三段位移时的速度分别为V1.V2.V3
V1^2=2aL,V1=(2aL)^1/2
V2^2=2a(2L),V2=[2(2aL)]^1/2=(根号2)V1
V3^2=2a(3L),V3=[3(2aL)]^1/2=(根号3)V1
V1:V2:V3=1:根号2:根号3
本题目所讲的末速为0的匀减速运动,与初速为0的匀加速运动的情况相反。
通过每块木板的速度比对应于初速为0的匀加速运动的V3:V2:V1
故所求速度比为
根号3:根号2:1=1.732:1.4142:1
而通过每块木板的时间比对应于初速为0的匀加速运动的t3:t2:t1
故所求时间比为
[(根号3)-(根号2)]:[(根号2)-1]:1
=(1.732-1.4142):(1.4142-1):1
=0.3178:0.4142:1
二.
原地起跳时,先曲腿下蹲,然后突然蹬地。从开始蹬地到离地是加速过程(视为匀加速),加速过程中重心上升的距离称为{加速距离}。离地后重心继续上升,在此过程中重心上升的最大距离称为{竖直高度}。现有下列数据,人原地上跳的{加速距离}d1=0.50m,{竖直距离}h1=1.0m,跳蚤原地跳的{加速距离}d2=0.00080m,{竖直高度}h2=0.10m,假象人具有与跳蚤相同的起跳加速度,二{加速距离}仍未0.50m,则;人上挑的{竖直高度}是多少?
解:设加速过程的加速度为a,末速度为V
离地后的上升过程中,初速=V,末速=0
V2=2g(h-d)
由上两式得
ad=g(h-d)
a=g(h-d)/d
因人具有与跳蚤相同的起跳加速度,
故g(h1-d1)/d1=g(h2-d2)/d2
(h1-d1)/d1=(h2-d2)/d2
(h1-0.5)/0.5=(0.1-0.00080)/0.00080
h1=62.5m
三.
跳伞运动员从296m的高空跳下,他自由下落一段距离后打开伞,以2m/s^2 的加速度匀减速下降,到达地面的速度为4m/s。求:运动员在空中下落的时间
解:设自由下落的时间为t1
则自由下落的高度为h1=(1/2)gt1^2=5t1^2
打开伞后减速下落的初速度V1=自由下落末速度=gt1=10t1
减速下落高度h2=H-h1=296-5t1^2
减速下落末速V2=4m/s,加速度a=-2m/s^2
V2^2-V1^2=2ah2
4*4-(10t1)^2=2*(-2)*(296-5t1^2)
t1^2=10
t1=根号10=3.16s
V1=gt1=10*3.16=31.6m/s
t2=(V2-V1)/a2=(4-31.6)/(-2)=13.8s
运动员在空中下落的时间为
t=t1+t2=3.16+13.8=16.96s
四.
一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动,该公路每隔15m安置一个路标,汽车通过AB两相邻的路标用了2s,通过BC路标用了3s,求汽车分别通过A.B.C三个路标时的速度解:解法-:
Vt=V o+at
Vb=Va+2a
Vc=Va+(2+3)a=Va+5a
在AB和AC段平均速度分别为
V1=(Va+Vb)/2=(Va+Va+2a)/2=Va+a
V2=(Va+Vc)/2=Va+2.5a
位移=平均速度*时间
Sab=15=(Va+a)*2=2Va+2a (1)
Sac=2*15=30=(2+3)V2=5((Va+2.5a)
即12=2Va+5a (2)
<1>-<2>得
代入<2>得
Va=8.5m/s
Vb=Va+2a=8.5+2*(-1)=6.5m/s
Vc=Va+5a=8.5+5*(-1)=3.5m/s
解法二:
时间中点瞬时速度=平均速度
从过A的瞬时开始记时
A-->B的时间中点为t1=1s
t1=1s的瞬时速度V1=Sab/2=15/2=7.5m/s
A-->C的时间中点为t2=(2+3)=2.5s
t2=2.5s的瞬时速度V2=Sac/(2+3)=30/5=6s/s
加速度a=(V2-V1)/(t2-t1)=(6-7.5)/(2.5-1)=-1m/s^2
V1=Va+at1
Va=V1-at1=7.5-(-1)*1=7.5+1=8.5m/s
Vb=Va+2a=8.5+(-1)*2=6.5m/s
Bc=Va+5a=8.5+(-1)*5=3.5m/s
五.
一质点沿直线作匀加速直线运动A,B,C是直线上的三点,AB=BC,若AB段的平均速度是3m/s在BC段的平均速度是6m/s,质点同过B点时速度为多少?
解:
在过A点时开始计时
因AB段平均速度V1'=(1/2)BC段平均速度V2'
且AB=BC
故过AB段的时间为过BC段时间的两倍
设过AB段的时间为2t,则过BC段时间为t
时间中点的瞬时速度=平均速度
t1=t时的瞬时速度V1=AB段平均速度=3m/s
t2=2.5t时瞬时速度V2=BC段平均速度=6m/s
t3=2t时的瞬时速度,即为过B点的速度V
a=((V2-V1)/(t2-t1)=(V-V1)/(t3-t1)
(6-3)/(2.5t-t)=(V-3)/(2t-t)
V=5m/s
六.
已知O A,B,C,为同一直线上的四点,AB间的距离为L1,BC间的距离为L2,一物体自O 点由静止出发,沿此直线做匀加速运动,依次经过ABC三点,已知物体通过AB段所用的时间与BC段所用的时间相等,求O与A之间的距离。
解:设O-->A所用时间为T,,A-->B和B-->C的时间皆为t,过B点的速度为V,O与A之间的距离为x
匀变速运动中,时间中点的瞬时速度=平均速度=位移/时间
t1=T+t/2的瞬时速度V1=A-->B的平均速度=L1/t
t2=T+(3/2)t的瞬时速度V2=B-->C平均速度=L2/t
加速度a=(V2-V1)/(t2-t1)=(L2-L1)/t^2
经过B点的时间T+t 为t1和t2的时间中点,
时间中点的瞬时速度=平均速度=(初速+末速)/2
V=(V1+V2)/2=(L1+L2)/2t
O-->B时:
V^2=2a(x+L1)
[(L1+L2)^2]/(4t^2)=2[(L2-L1)/t^2](X+L1)
x+L1=[(L1+L2)^2]/[8((L2-L1)]
O与A之间的距离为
x={[(L1+L2)^2]/[8(L2-L1)]}-L1
七.
一质点从A点由静止沿直线运动到B,整个过程中可以以6.4m/s平方加速,也可以以1.6m/s 平方减速,可以匀速直线运动,A到B间距离为1.6km,到达B点时速度为0 质点应该怎样运动,才能使运动时间最短,最短时间为多少
解:以a1=6.4m/s^2加速t1秒后,以|a2|=1.6m/s^2减速运动t2秒后并使末速度为0,
加速运动的末速度为V=a1*t1=6.4t1
减速运动中,0=V-a2*t2=6.4t1-1.6t2,t1=4t2
全程平均速度V'=V/2=3.2t1,全程用时t=t1+t2=5t1
S=V't
1600=(3.2t1)(5t1)=16(t1)^2
t1=10s
全程t=5t1=50s
在V-t图象中,上述过程对应于三角形OAB,O为坐标原点,B点在时间轴上,OB=t=50s, OA丶AB对应于加丶减速运动。这种过程用时最少。
如果是加速--匀速--减速,则在V--t图中对应一个梯形ACDE,CD//OA,E点在时间轴上, OE=运动总时间t'。因a1丶a2为定值,故C为三角形OA边上的一点,且DE//AB。三角形OAB和矩形ACDE的面积应相等。因为梯形上底CD在A点的下方,故梯形的DE边必在三角形AB边的右边才能使二者面积相等,CD交AB于F。小三角形ACF和平行四边形FDEB的面积相等。因OE>OB,故t'>t,加--匀--减模式比加--减模式用时多。
八.
木块由A静止做加速度为a1的匀加速直线运动,经过t秒到达B,立即做加速度为a2的匀减速直线运动,经过t秒到达点A。求a1:a2
解:规定由A指向B为正方向,
则以a1运动时的位移为S1=(1/2)a1*t^2
以做减速动时,加速度为-a2,初速度为a1*t,
位移为S2=-S1=a1*t^2-(1/2)a2*t^2
(1/2)a1*t^2=-a1*t^2+(1/2)a2*t^2
同除以t^2,并整理得(3/2)a1=(1/2)a2
a1:a2=1:3
