2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学等五校联考高三
（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）已知集合
A．（0，1） B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2] 2．（5分）下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，log2x=0 B．∀x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，cosx=1 D．∀x∈R，2x＞0 3．（5分）已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题： ①α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n； ②m∥n，m∥α⇒n∥α； ③m∥n，m⊥α⇒n⊥α； ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β． 其中正确命题的序号是（ ） A．①③
B．③④
C．①④
D．②③
，则（∁RP）∩Q（ ）
4．（5分）某几何体的三视图如图，则几何体的体积为（ ）
A．8π﹣16 B．8π+16 C．16π﹣8 D．8π+8 5．（5分）已知变量x，y满足约束条
，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．11
，则数列{log2an}的前12项和
6．（5分）已知等比数列{an}的前n项和等于（ ）
A．66 B．55 C．45 D．65
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7．（5分）如图所示，向量
则（ ）
在一条直线上，且
A． B． C． D．
8．（5分）函数f（x）=（0＜a＜1）图象的大致形状是（ ）
A． B． C．
D．
9．（5分）定义域为R上的奇函数f（x）满足f（﹣x+1）=f（x+1），且f（﹣1）=1，则f（2017）=（ ） A．2
B．1
C．﹣1 D．﹣2
的图象与x轴的两个相邻
个单位得到函数y=g
10．（5分）已知函数交点的距离等于
，若将函数y=f（x）的图象向左平移
（x）的图象，则在下列区间中使y=g（x）是减函数的是（ ） A．
B．
C．
D．
11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，过坐标原点的
直线依次与双曲线C的左、右支交于点P，Q，若|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，则
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该双曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
12．（5分）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）设向量为 ．
14．（5分）若函数f（x）=x2+ax+b的两个零点是﹣1和2，则不等式af（﹣2x）＞0的解集是 ． 15．（5分）数列{an}中，
，则 a10= ．
，
，
，若﹣与m+垂直，则m的值
D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若三内角A，B，C成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知直线l过点（1，2）且在x，y轴上的截距相等 （1）求直线l的一般方程；
（2）若直线l在x，y轴上的截距不为0，点p（a，b）在直线l上，求3a+3b的最小值．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=
，△ABC的面积为
，求△ABC的周长．
19．（12分）记Sn为差数列{an}的前n项和，已知，a2+a12=24．S11=121 （1）求{an}的通项公式；
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（2）令
数m的最大值．
，Tn=b1+b2+…+bn，若24Tn﹣m≥0对一切n∈N*成立，求实
20．（12分）如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点． （1）求证：AD⊥平面BCC1B1； （2）求点C到平面AC1D的距离．
21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为
，离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线L经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若线L的方程．
22．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣2ax+a（a∈R） （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程； （2）讨论f（x）的单调性．
，求直
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2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学等五校联
考高三（上）期末数学试卷（文科）
参与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）已知集合
A．（0，1） B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2] 【解答】解：P={x|x≤1}，Q={x|则∁RP={x|x＞1}，
则（∁RP）∩Q={x|1＜x≤2}=（1，2]， 故选：C
2．（5分）下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，log2x=0 B．∀x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，cosx=1 D．∀x∈R，2x＞0 【解答】解：对于A，令x=1，成立， 对于B，x=0时，不成立， 对于C，令x=0，成立，
对于D，根据指数函数的性质，成立， 故选：B．
3．（5分）已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题： ①α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n； ②m∥n，m∥α⇒n∥α； ③m∥n，m⊥α⇒n⊥α； ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β． 其中正确命题的序号是（ ） A．①③
B．③④
C．①④
D．②③
}={x|
}={x|0＜x≤2}，
，则（∁RP）∩Q（ ）
【解答】解：由两条直线m、n，两个平面α、β，知：
在①中，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n相交、平行或异面，故①错误；
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在 ②中，m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故②错误；
在③中，m∥n，m⊥α⇒由线面垂直的判定定理得n⊥α，故③正确； 在④中，α∥β，m∥n，m⊥α⇒由线面垂直的判定定理得n⊥β，故④正确． 故选：B．
4．（5分）某几何体的三视图如图，则几何体的体积为（ ）
A．8π﹣16 B．8π+16 C．16π﹣8 D．8π+8
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱切去一个三棱柱所得的组合体，
半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积V=π•22•4=8π， 三棱柱的体积V=×4×2×4=16， 故组合体的体积V=8π﹣16， 故选：A．
5．（5分）已知变量x，y满足约束条，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．11
的可行域如图，
【解答】解：作出变量x，y满足约束条
由z=3x+y知，y=﹣3x+z，
所以动直线y=﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．
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由得A（3，2），
结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时， 目标函数取得最大值z=3×3+2=11． 故选：D．
6．（5分）已知等比数列{an}的前n项和等于（ ）
A．66 B．55 C．45 D．65
【解答】解：等比数列{an}的前n项和可得首项为1，公比为2， log2an=log22n﹣1=n﹣1，
则数列{log2an}的前12项和为×12×（0+11）=66． 故选A．
7．（5分）如图所示，向量
则（ ）
在一条直线上，且
，
，则数列{log2an}的前12项和
第7页（共16页）
A． B．
得，
C．=﹣4（
D．）⇒3
=
﹣4
【解答】解：由3故选：D
8．（5分）函数f（x）=
，∴
．
（0＜a＜1）图象的大致形状是（ ）
A． B． C．
D．
【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；
x＞0时，f（x）=logax（0＜a＜1）是单调减函数，排除A． 故选：C．
9．（5分）定义域为R上的奇函数f（x）满足f（﹣x+1）=f（x+1），且f（﹣1）=1，则f（2017）=（ ） A．2
B．1
C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x+1）=f（x+1），f （2+x ）=f （﹣x）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f（x），T=4，f （1）=1， f（2017）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1．
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故选：C．
10．（5分）已知函数交点的距离等于
的图象与x轴的两个相邻
个单位得到函数y=g
，若将函数y=f（x）的图象向左平移
（x）的图象，则在下列区间中使y=g（x）是减函数的是（ ） A．
B．
C．
D．=2sin（ωx﹣
=
，∴ω=4，
【解答】解：函数
与x轴的两个相邻交点的距离等于若将函数y=f（x）的图象向左平移y=g（x）=2sin（4x+则在区间（﹣A； 在区间（件； 在区间（0，在区间（除D， 故选：B．
11．（5分）设F为双曲线C：
，
）上，4x+）上，4x+
∈（∈（
，
，
）上，4x+
∈（
，
﹣
）的图象
个单位得到函数
）的图象，
），y=g（x）没有单调性，故排除
）=2sin（4x+
∈（﹣π，
，0）上，4x+
），y=g（x）单调递减，故满足条
），y=g（x）没有单调递性，故排除C； ，
），y=g（x）没有单调递性，故排
的右焦点，过坐标原点的
直线依次与双曲线C的左、右支交于点P，Q，若|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，则该双曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，∴∠PFQ=90°， 设双曲线的左焦点为F1，连接F1P，F1Q，
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由对称性可知，F1PFQ为矩形，且故故选B．
．
，
12．（5分）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
，则g′（x）=
【解答】解：由题意设g（x）=
∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0， ∴当x＞0时，g′（x）＞0， ∴函数g（x）=
在（0，+∞）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数， ∴g（﹣x）=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数， g（x）在（﹣∞，0）上递减， 由f（﹣1）=0得，g（﹣1）=0， ∵不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0， ∴
或
，
即有x＞1或﹣1＜x＜0，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞）， 故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）设向量为
，，若﹣与m+垂直，则m的值
．
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【解答】解：根据题意，向量，，
则﹣=（2，3），m+=（m﹣1，2m﹣1），
若﹣与m+垂直，则（﹣）•（m+）=2（m﹣1）+3（2m﹣1）=8m﹣5=0， 解可得m=； 故答案为：．
14．（5分）若函数f（x）=x2+ax+b的两个零点是﹣1和2，则不等式af（﹣2x）＞0的解集是 （﹣1，） ．
【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b的两个零点是﹣1和2， 即﹣1，2是方程x2+ax+b=0的两根， 可得﹣1+2=﹣a，﹣1×2=b， 解得a=﹣1，b=﹣2， f（x）=x2﹣x﹣2， af（﹣2x）＞0， 即为4x2+2x﹣2＜0， 解得﹣1＜x＜， 则解集为（﹣1，）． 故答案为：（﹣1，）．
15．（5分）数列{an}中，
，则 a10= ．
【解答】解：数列{an}中，取倒数可得：∴数列{
，
﹣=3，
}是等差数列，首项为，公差为3．
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则=
． ．
=．
解得：a10=故答案为：
16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若三内角A，B，C成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于 2 ． 【解答】解：△ABC中，内角A，B，C成等差数列， ∴2B=A+C， 又A+B+C=π， ∴B=∴2R=
；
=
=
=4，
，
，
∴该三角形的外接圆半径R=2． 故答案为：2．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知直线l过点（1，2）且在x，y轴上的截距相等 （1）求直线l的一般方程；
（2）若直线l在x，y轴上的截距不为0，点p（a，b）在直线l上，求3a+3b的最小值．
【解答】解：（1）①当直线过原点时，直线的方程为y=2x， ②当直线不过原点时，设直线的方程为+=1， 代入点P（1，2），解得：a=3， 则直线的方程为x+y﹣3=0，
综上，直线的方程为y=2x，或x+y﹣3=0； （2）由题意得l：x+y﹣3=0，∴a+b=3，
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∴3a+3b≥2
=2
，
=6，
∴3a+3b的最小值为6
当a=b=时，等号成立．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=
，△ABC的面积为
，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π， ∴sinC≠0
利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， 即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC 2cosCsinC=sinC ∴cosC=， ∴C=
．
（Ⅱ）由余弦定理得3=a2+b2﹣2ab•， ∴（a+b）2﹣3ab=3， ∵S=absinC=∴ab=16，
∴（a+b）2﹣48=3， ∴a+b=
，
+
．
ab=
，
∴△ABC的周长为
19．（12分）记Sn为差数列{an}的前n项和，已知，a2+a12=24．S11=121 （1）求{an}的通项公式； （2）令
，Tn=b1+b2+…+bn，若24Tn﹣m≥0对一切n∈N*成立，求实
第13页（共16页）
数m的最大值．
【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a2+a12=24，S11=121． ∴
，解得
．…（2分）
∴d=a7﹣a6=12﹣11=1，…（3分） ∴（2）∵∴
∴{Tn}是递增数列，∵∴
．…（5分）
…（7分）
，…（9分）
， ，
∴实数m的最大值为．…（12分）
20．（12分）如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点． （1）求证：AD⊥平面BCC1B1； （2）求点C到平面AC1D的距离．
【解答】（1）证明：证：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥面ABC； ∴BB1⊥AD，又∵AB=AC，D是BC的中点； ∴AD⊥BC，BC∩BB1=B； ∴AD⊥平面BCC1B1；
（2）连接C1D，由（1）AD⊥平面BCC1B1，AD⊥DC1 ∴
，AC1=
，∴
．
第14页（共16页）
==，
设点C到平面AC1D的距离为d．则解得d=
，∴点C到平面AC1D的距离 为
•d=•CC1
．…（12分）
21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为
，离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线L经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若线L的方程．
【解答】解：（1）设椭圆方程为因为c=2
．e==
，
+
=1，（a＞b＞0），
，求直
所以a=4，b=2， 所求椭圆方程为
+
=1．
（2）由题得直线L的斜率存在，设直线L方程为y=kx+1，
得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0，且△＞0．
则由
设设A（x1，y1），B（x2，y2），则由若又x1+x2=﹣所以﹣x2=﹣
，x1x2=﹣，﹣x22=﹣
， ，
，得x1=﹣2x2，
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消去x2解得k2=
，k=±， x+1．
所以直线l的方程为y=±
22．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣2ax+a（a∈R） （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程； （2）讨论f（x）的单调性．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=2lnx﹣4x+2， ∴
，…（1分）
∴f'（1）=﹣2，f（1）=﹣2，．…（3分）
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：2x+y=0；…（5分） （2）∵
…（6分）
若a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；…（8分） 若a＞0，当当
时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；…（10分）
时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．．…（12分）
第16页（共16页）
