2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学等五校联考高二(上)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学等五校联考高二

（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）下列说法中正确的是（ ） A．“x＞5”是“x＞3”必要条件

B．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0” C．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数

D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题

2．（5分）在区间[﹣2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为（ ） A． B． C． D．

3．（5分）已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是（ ）

A．平均数＞中位数＞众数 B．平均数＜中位数＜众数 C．中位数＜众数＜平均数 D．众数=中位数=平均数

4．（5分）从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）

A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43 C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32

5．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ） A． B． C． D．

6．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

第1页（共23页）

A．7 B．42 C．210 D．840

7．（5分）椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为（ ） A． B． C． D．

8．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ）

A． B． C． D．

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率

，则C的方程

9．（5分）已知椭圆C：为

，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4

为（ ） A．

+

=1 B．

+y2=1 C．

+

=1 D．

+

=1

10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（ ） A．﹣

B．

C．﹣

D．

11．（5分）抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（ ）

第2页（共23页）

A．2 B．3 C．4 D．5

的离心率为 D．

12．（5分）若双曲线A．±2 B．

C．

，则其渐近线的斜率为（ ）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为 ． 14．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣15．（5分）方程

+

=1（b＞0）的一个焦点，则b= ．

=1表示曲线C，给出以下命题：

①曲线C不可能为圆；

②若1＜t＜4，则曲线C为椭圆； ③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；

④若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则1＜t＜．

其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）． 16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）

相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x（单位：i千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得

，

，

，．

（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a； （Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

第3页（共23页）

（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平

均值，线性回归方程也可写为．

18．（12分）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．

区间 [25，30） [30，35） [35，40） 人数 25 a b [40，45） [45，50] （1）求正整数a，b，N的值；

（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？

（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．

19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=1，点E为棱PC的中点．AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2． （1）证明：BE⊥DC；

（2）求二面角E﹣AB﹣P的大小．

第4页（共23页）

20．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的

原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是

（t为参数）

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）当m=2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值． 21．（12分）已知双曲线C：的一个顶点．

（1）求双曲线的方程；

（2）经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长．

22．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2

=0的距离为3．

﹣

=1的离心率为

，点（

，0）是双曲线

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

第5页（共23页）

2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学等五校联

考高二（上）期末数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）下列说法中正确的是（ ） A．“x＞5”是“x＞3”必要条件

B．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0” C．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数

D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题

【分析】利用充要条件判断A的正误；命题的否定判断B的正误；函数的奇偶性判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误．

【解答】解：对于A，“x＞5”是“x＞3”充分条件，不是必要条件；所以A不正确； 对于B，命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”，满足命题的否定形式，正确；

对于C，∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数，不正确，因为函数是二次函数，存在对称轴，不可能关于原点对称，所以不正确；

对于D，设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，只有两个命题都是真命题时p∧q也是真命题，所以D不正确； 故选：B．

【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，命题的否定，复合命题以及函数的性质的应用，是基础题．

2．（5分）在区间[﹣2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为（ ） A． B． C． D．

【分析】根据几何概型计算公式，用区间[0，1]的长度除以区间[﹣2，1]的长度，即可得到本题的概率．

【解答】解：∵区间[﹣2，1]的长度为1+2=3，区间[0，1]的长度为1﹣0=1，

第6页（共23页）

∴区间[﹣2，1]上随机取一个数x，x∈[0，1]的概率为P=． 故选：A．

【点评】本题用在区间上取值，求满足条件事件的概率为例，考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题．

3．（5分）已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是（ ）

A．平均数＞中位数＞众数 B．平均数＜中位数＜众数 C．中位数＜众数＜平均数 D．众数=中位数=平均数 【分析】计算这组数据的平均数、中位数和众数， 即可得出它们的大小关系．

【解答】解：一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80， 它的平均数为×（20+30+40+50+50+60+70+80）=50， 中位数为×（50+50）=50， 众数为50；

∴它们的大小关系是平均数=中位数=众数． 故选：D．

【点评】本题考查了平均数、中位数和众数的计算问题，是基础题．

4．（5分）从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）

A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43 C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32

【分析】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的． 【解答】解：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，

第7页（共23页）

采用系统抽样间隔应为 =10，

只有B答案中导弹的编号间隔为10， 故选B．

【点评】一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．

5．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ） A． B． C． D．

【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．

【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法， 而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法， 故所求的概率为：=． 故选C．

【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．

6．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．7

B．42 C．210 D．840

第8页（共23页）

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案； 【解答】解：当m=7，n=3，m﹣n+1=5， k=7时，不满足退出循环的条件，S=7，k=6； k=6时，不满足退出循环的条件，S=42，k=5； k=5时，不满足退出循环的条件，S=210，k=4； k=4时，满足退出循环的条件， 故输出的S值为210， 故选：C

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

7．（5分）椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为（ ） A． B． C． D．

【分析】根据题意，椭圆的这个顶点必须是短轴的顶点，又由椭圆短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形分析可得b、c的关系，计算可得a与c的关系，又由椭圆的离心率公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，这个顶点必须是短轴的端点，

若椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则有b=则a=

=2c，

c，

则椭圆的离心率e==； 故选：A．

【点评】题考查椭圆的几何性质，关键是依据题意，利用等边三角形的性质分析b、c的关系．

8．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ）

第9页（共23页）

A． B． C． D．

【分析】以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到平面ACD1的距离．

【解答】解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则D1（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．

=（1，1，﹣1），

=（﹣1，2，0），

=（﹣1，0，1），

设平面ACD1的法向量为=（a，b，c）， 则

，取a=2，得=（2，1，2），

点E到平面ACD1的距离为： h=故选：C．

=

=．

【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

9．（5分）已知椭圆C：为

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率

，则C的方程

，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4

为（ ）

第10页（共23页）

A．+=1 B．

+y2=1 C．

+=1 D．+=1

，可得c=1，

【分析】利用△AF1B的周长为4求出b，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF1B的周长为4

，求出a=，根据离心率为

，

∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a， ∴4a=4∴a=

， ，

，

∵离心率为∴∴b=

，c=1，

=

，

+

=1．

∴椭圆C的方程为故选：A．

【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（ ） A．﹣

B．

C．﹣

D．

【分析】以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面B1BD所成角的正弦值． 【解答】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴， 建立如图空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，

则D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）． ∴

=（﹣2，﹣2，0），

=（0，0，2），

=（﹣2，0，1）．

第11页（共23页）

设平面B1BD的法向量为=（x，y，z）． ∵⊥∴∴cos＜n，

，⊥

，

，令y=1，则=（﹣1，1，0）． ＞=

=

，

设直线BE与平面B1BD所成角为θ， 则sin θ=|cos＜n，故选：B．

＞|=

．

【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．

11．（5分）抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案． 【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y=﹣1， ∴点A到准线的距离为4+1=5，

根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离， ∴点A与抛物线焦点的距离为5， 故选：D

【点评】本题主要考查了抛物线的定义的运用．考查了学生对抛物线基础知识的掌握．属基础题．

第12页（共23页）

12．（5分）若双曲线A．±2 B．

C．

的离心率为 D．

，则其渐近线的斜率为（ ）

【分析】由双曲线的离心率为，可得，解得即可．

【解答】解：∵双曲线∴其渐近线的斜率为故选：B．

．

的离心率为，∴，解得．

【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为 ﹣ ．

【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣，即可求之．

【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y， 则其准线方程为y=﹣所以a=﹣． 故答案为：﹣．

【点评】此题考查了抛物线的简单性质，是一道基础题，也是高考常考的题型，找出抛物线标准方程中的p值是解本题的关键，要求学生掌握抛物线的标准方程．

14．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣

=1（b＞0）的一个焦点，则b= ．

=2，

【分析】求得双曲线x2﹣

=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），

可得b的方程，即可得到b的值．

第13页（共23页）

【解答】解：双曲线x2﹣由题意可得解得b=

．

．

=2，

=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），

故答案为：

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题．

15．（5分）方程

+

=1表示曲线C，给出以下命题：

①曲线C不可能为圆；

②若1＜t＜4，则曲线C为椭圆； ③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；

④若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则1＜t＜．

其中真命题的序号是 ③ （写出所有正确命题的序号）．

【分析】根据题意，结合椭圆、双曲线、圆的方程形式依次分析4个命题，综合可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析4个命题： 对于①，方程圆，故①错误；

对于②，当t=时，满足1＜t＜4，而方程为x2+y2=，表示圆，故②错误； 对于③，若曲线C为双曲线，则有（4﹣t）（t﹣1）＜0，解可得t＜1或t＞4；③正确；

对于④，若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则有t﹣1＞4﹣t＞0，解可得＜t＜4，④错误； 故答案为：③

【点评】本题考查圆锥曲线的方程，注意掌握二元二次方程表示圆锥曲线的条件．

第14页（共23页）

+

=1中，当4﹣t=t﹣1，即t=时，方程为x2+y2=，表示

16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）

．

相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于

【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵M是线段AB的中点， ∴

=1，

=1，

①，

②，

∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1， ∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），

∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：A，B两点，M是线段AB的中点， ∴①②两式相减可得∴a=∴∴e==

b，

=b， ．

．

，即

，

+

=1（a＞b＞0）相交于

故答案为：

【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x（单位：i

第15页（共23页）

千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得

，，

，．

（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a； （Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平

均值，线性回归方程也可写为．

，

，代

【分析】（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得入可得b值，进而可得a值，可得方程； （Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判； （Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10，=

=

=8，===2，

故lxx=

=720﹣10×82=80，lxy=

=184﹣10×8×2=24，

故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，

故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；

（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）． 【点评】本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．

第16页（共23页）

18．（12分）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．

区间 [25，30） [30，35） [35，40） 人数 25 a b [40，45） [45，50] （1）求正整数a，b，N的值；

（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？

（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．

【分析】（1）根据小矩形的高=值；

（2）计算分层抽样的抽取比例为每组抽取人数；

，故频数比等于高之比，由此可得a、b的

=，用抽取比例乘以每组的频数，可得

（3）利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有1人在第3组的个数，根据古典概型概率公式计算．

【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，[25，30）与[30，35）两组的人数相同， ∴a=25人．

第17页（共23页）

且总人数

人．

人．

（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为第2组的人数为第3组的人数为

， ， ，

∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．

（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：

（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共有15种．

其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），共有8种． 所以恰有1人年龄在第3组的概率为

．

【点评】本题考查了频率分布直方图及古典概型的概率计算，解答此类题的关键是读懂频率分布直方图的数据含义，小矩形的高=

19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=1，点E为棱PC的中点．AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2． （1）证明：BE⊥DC；

（2）求二面角E﹣AB﹣P的大小．

．

【分析】（1）取PD中点F，连接AF，EF，推导出四边形ABEF是平行四边形，

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从而BE∥AF，进而 PA⊥CD，再由AB⊥AD，得AD⊥CD，由此能证明CD⊥面PAD，从而CD⊥BE．

（2）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出面EAB的法向量，面PBC的一个法向量，由此能求出二面角E﹣AB﹣P的大小． 【解答】证明：（1）取PD中点F，连接AF，EF， ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD，EF=CD， ∵AB∥CD，AB=CD， ∴EF∥AB，EF=AB，

∴四边形ABEF是平行四边形，∴BE∥AF， ∴PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD， ∴AB⊥AD，AB∥CD，∴AD⊥CD， ∴PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，

∴CD⊥AF，∴CD⊥BE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

解：（2）以点A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，

则A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） =（1，1，2），

=（1，0，0），

设面EAB的法向量为=（x，y，z）， 由

，令=（0，﹣1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

面PBC的一个法向量=（0，1，0），

设二面角E﹣AB﹣P的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|=

，

∴二面角E﹣AB﹣P的大小

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

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【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．

20．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的

原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是

（t为参数）

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）当m=2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．

【分析】（1）由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，能求出曲线C的直角坐标方程；直线l消去参数能求出直线l的普通方程． （2）当m=2时，直线l为：

﹣2=0，曲线C：x2+y2﹣2x=0是以（1，0）为

圆心，以r=1为半径的圆，求出圆心（1，0）到直线l的距离d，由勾股定理能求出|AB|．

【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ， ∴曲线C的直角坐标方程是x2+y2﹣2x=0．

∵直线l的参数方程是（t为参数），

∴消去参数得直线l的普通方程是x﹣（2）当m=2时，直线l为：

y﹣m=0．

﹣2=0，

∵直线l与曲线C交于A、B两点，

曲线C：x2+y2﹣2x=0是以（1，0）为圆心，以r=1为半径的圆．

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圆心（1，0）到直线l的距离d=∴|AB|=2

=2

=

．

=，

【点评】本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式的合理运用．

21．（12分）已知双曲线C：的一个顶点．

（1）求双曲线的方程；

（2）经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长． 【分析】（1）由已知得

，由此能求出双曲线的方程． ﹣

=1的离心率为

，点（

，0）是双曲线

（2）直线l的方程为y=（x﹣3），联立

，得5x2+6x﹣27=0，由

此能求出|AB|．

【解答】解：（1）∵双曲线C：点（∴

﹣

=1的离心率为

，

，0）是双曲线的一个顶点， ，解得c=3，b=

，

∴双曲线的方程为．

（2）双曲线

的右焦点为F2（3，0），

（x﹣3），

∴经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l的方程为y=

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联立

，得5x2+6x﹣27=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=

=

，．

，

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．

22．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2

=0的距离为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

【分析】（1）依题意可设椭圆方程为a2=3，故所求椭圆的方程为

．

，由题设

解得

（2）设P为弦MN的中点，由

得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，

由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．

【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为

，

则右焦点F（）由题设

；

解得a2=3故所求椭圆的方程为

（2）设P为弦MN的中点，由

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得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0

由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1① ∴

从而

∴则

又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，

即2m=3k2+1②

解得

．

把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得故所求m的取范围是（

）．

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

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