要判断一个二阶微分方程y+py+q=Q(n)*e^(rx)的特征根，首先要了解其特征方程z^2+pz+q=0。特征根z1和z2的性质决定了解特解的方法。
如果r不是特征方程的根，即r≠z1且r≠z2，那么特解的形式为P(n)*e^(rx)。通过将这个特解代入原方程，通过比较系数，我们可以确定P(n)的表达式。
当r等于其中一个特征根，比如r=z1且不等于z2时，我们称r为单根。这时特解的形式变为xP(n-1)*e^(rx)，同样的方法，通过比较系数确定P(n-1)的值。
如果r同时等于两个特征根z1=z2，即二重根，特解则为x^2*P(n-2)*e^(rx)。这时，将特解代入方程，通过系数的比较，可以找出P(n-2)。
微分方程，作为微积分的重要工具，广泛应用于物理学中的各种运动问题（如阻力与速度有关的落体运动），化学、工程学、经济学和人口统计等领域。它的发展与微积分紧密相连，如牛顿和莱布尼茨的研究中都包含了微分方程的内容。
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