要判断一个二阶微分方程y+py+q=Q(n)*e^(rx)中的根性质，首先将其化为特征方程z^2+pz+q=0，特征根为z1和z2。
如果r不等于特征方程的任何根，说明r与微分方程的解无关，特解可以设为P(n)*e^(rx)。将此特解代入原方程，通过比较系数，可以确定P(n)的表达式。
如果r等于z1且不等于z2，这种情况称为单根，特解形式变为xP(n-1)*e^(rx)。同样，将此特解代入，通过系数比较确定P(n-1)的系数。
若r等于z1且等于z2，即r是二重根，特解应为x^2*P(n-2)*e^(rx)。通过这种方法，可以确定P(n-2)的系数。
微分方程，作为微积分的核心概念，不仅与Newton和Leibniz的工作紧密相连，而且在物理、化学、工程学、经济学等多领域都发挥着关键作用，如解决变力作用下的运动问题和许多其他涉及导数的复杂问题。总的来说，通过特征方程的特性来判断根的类型，是理解和解微分方程的关键步骤。
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